TRAITE D E MECANIQUE CÉLESTE. TRAITÉ D E MÉCANIQUE CÉLESTE , PAR P. S. LAPLACE, Membre du Sénat conservateur, de l'Institut national , et du Bureau des Longitudes de France; des Sociétés royales de Londres et de Gottingue; des Académies des Sciences de Russie, de Danemarck, d'Italie, etc.. TOME TROISIEME. DE L'IMPRIMERIE DE CRAPELET. A PARIS, Chez J. B. M. DUPRAT, Libraire pour les Mathématiques, quai des Augustins. AN XI — l8 0 2. A BONA P A R T E , DE L'INSTITUT NATIONAL, Citoyen premier consul Vous m'avez permis de vous dédier cet ouvrage. Il m'est doux et honorable de l'offrir au Héros pacificateur de l'Europe , à qui la France doit sa prospérité, sa grandeur et la plus brillante époque de sa gloire ; au Protecteur éclairé des sciences , qui formé par elles voit dans leur étude , la source des plus nobles jouissances , et dans leurs progrès , le perfectionnement de tous les arts utiles et des institutions sociales. Puisse cet ouvrage consacré à la plus sublime des sciences naturelles , être un monument durable de la reconnoissance que votre accueil et les bienfaits du Gouvernement inspirent à ceux qui les cultivent ! De toutes les vérités qu'il renferme , l'expression de ce sentiment sera tou^ jours pour moi , la plus précieuse» Salut et respect LAPLACK, PREFACE. jM ou s avons donné dans la première partie de cet ouvrage, les principes généraux de l'équilibre et du mouvement de la matière. Leur application aux mouvemens célestes, nous a conduits sans hypothèses et par une série de raisonne- mens géométriques , à la loi de la gravitation universelle dont la pesanteur et les mouvemens des projectiles sur la terre , ne sont que des cas particuliers. En considérant ensuite un système de corps soumis à cette grande loi de la nature ; nous sonnées parvenus , au moyen d'une ana- lyse singulière , aux expressions générales de leurs mou- vemens , de leurs figures et des oscillations des fluides qui les recouvrent; expressions d'où l'on a vu découler tous les phénomènes observés du flux et du reflux de la mer , de la variation des degrés et de la pesanteur à la surface terrestre, de la précession des équinoxes, de la libration de la lune, de la figure et de la rotation des anneaux de Saturne, et de leur permanence dans le plan de son équa- teur. Nous en avons déduit les principales inégalités des planètes , et spécialement celles de Jupiter et de Saturne , dont la période embrasse plus de neuf cents années, et qui n'offrant aux observateurs , que des anomalies dont ils ignoroient les loix et la cause , ont paru long-temps faire exception de la théorie de la pesanteur : plus approfondie, elle les a fait connoître, et maintenant ces inégalités en sont une des preuves les plus frappantes. Nous avons développé les variations des élémens du système planétaire, qui ne se rétablissent qu'après un très-grand nombre de siècles. Au viij PRÉFACE, milieu de tous ces changemens , nous avons reconnu la constance des moyens mouvemens et des distances moyen- nes des corps de ce système que la nature semble a\oir disposé primitivement pour une éternelle durée , par les mêmes vues qu'elle nous paroît suivre si admirablement sur la terre , pour la conservation des individus et la perpétuité des espèces. Par cela seul que ces mouvemens sont dirigés dans le même sens et dans des plans peu diffé- rens , les orbes des planètes et des satellites doivent tou- jours être à-peu-près circulaires et peu inclinés les uns aux autres. Ainsi , la variation de l'obliquité de l'écliptique à l'équateur, renfermëeconstamment dans d'étroites limites, ne -produira jamais un printemps perpétuel sur la terre. Nous avons prouvé que l'attraction du sphéroïde terrestre, ramenant sans cesse vers son centre l'hémisphère que la lune nous présente , transporte au mouvement de rotation de ce satellite , les grandes variations séculaires de son mouvement de révolution, et dérobe pour toujours l'autre hémisphère à nos regards. Enfin, nous avons démontré sur les mouvemens des trois premiers satellites de Jupiter, ce théorème remarquable ; savoir , qu'en vertu de leur action mutuelle , la longitude moyenne du premier vu du centre de Jupiter, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est exactement et constam- ment égale à deux angles droits , en sorte qu'ils ne peuvent jamais être à-Ja^-fois éclipsés. Il nous reste à considérer particulièrement les perturbations du mouvement des pla- nètes et des comètes autour du soleil , de la lune autour de la terre , et des satellites autour des planètes qu'ils accom- pagnent. C'est l'objet de la seconde partie de cet ouvrage, spécialement consacrée à la perfection des tables astrono- miques. Les PRÉFACE. ix Les tables ont suivi les progrès de la science qui leur sert de base , et ces progrès ont d'abord été d'une extrême lenteur. Pendant très-long-temps , on ne considéra que les mouvemens appareils des astres : cet intervalle dont l'origine se perd dans la plus haute antiquité, et qui fut proprement l'enfance de l'astronomie , comprend les tra- vaux d'Hypparque et de Ptolémée , et ceux des Indiens , des Arabes et des Perses. Le système de Ptolémée , qu'ils ont successivement adopté, n'est au fond qu'une manière de représenter les apparences célestes; et sous ce rapport, il fut utile à la science. Telle est la foiblesse de l'esprit humain , qu'il a souvent besoin de s'aider d'hypothèses , pour lier les faits entre eux. En bornant les hypothèses à cet usage, en évitant de leur attribuer une réalité qu'elles n'ont point, et en les rectifiant sans cesse par de nouvelles observations ; on parvient enfin aux véritables causes, ou du moins, aux loix des phénomènes. L'histoire de la philosophie nous offre plus d'un exemple des avantages que peuvent ainsi procurer les hypothèses , et des erreurs auxquelles on s'ex- pose en les réalisant. Vers le milieu du seizième siècle, Copernic en démêlant dans les apparences, les mouve- mens réels de la terre autour du soleil et sur elle-même, montra sous un nouveau point de vue l'univers, et chan- gea la face de l'astronomie. Un concours inoui de décou- vertes a rendu mémorable à jamais dans l'histoire des sciences, le siècle suivant, d'ailleurs illustré par tant de chef-d'oeuvres en littérature et dans les beaux-arts. Kepler reconnut les loix du mouvement elliptique des planètes : le télescope trouvé par le plus heureux des hasards , et per- fectionné aussi-tôt par Galilée , lui fit voir dans les cieux , de nouvelles inégalités et de nouveaux mondes : l'applica- tion que fit Huygens, du pendule aux horloges, et celle Mécan. cèl. Tome 111. b x PRÉFACE. des lunettes au quart de cercle , en donnant des mesures précises des angles et de la durée, rendirent sensibles, les plus petites inégalités des rnouvemens célestes. En même temps que l'observation offroit à l'esprit humain de nou- veaux phénomènes, il créa pour les expliquer et les sou- mettre au calcul , de nouveaux instrumens de la pensée. Néper inventa les logarithmes : l'analyse des courbes et la dynamique prirent naissance dans les mains de Descartes et de Galilée : Newton découvrit le calcul différentiel, décomposa la lumière, et s'éleva au principe général de la pesanteur. Dans le siècle qui vient de s'écouler, les succes- seurs de ce grand homme ont achevé l'édifice dont il avoit posé les fondemens. Ils ont perfectionné l'analyse infinité- simale, inventé le calcul aux différences partielles infini- ment petites et finies, et réduit en formules, la mécanique entière. En appliquant ces découvertes, à la loi de la pesan- teur , ils ont ramené à cette loi tous les phénomènes céles- tes, et donné aux théories et aux tables astronomiques, une précision inespérée dont on est sur-tout redevable aux travaux des Géomètres français , et aux prix proposés par l'Académie des Sciences. Si l'on joint à ces découvertes , celles de Bradley sur l'aberration des étoiles et sur la nuta- tion de l'axe terrestre ; les mesures multipliées des degrés et du pendule , opérations dont la France a donné l'exem- ple en envoyant des Académiciens au nord, à l'équateur et dans l'hémisphère austral , pour y observer la grandeur de ces degrés et l'intensité de la pesanteur ; l'arc du mé- ridien compris entre Dunkerque et Barcelone , déterminé par des opérations très-précises , et servant de base au sys- tème métrique le plus naturel et le plus simple ; les nom- breux voyages entrepris pour connoître les diverses parties du globe , et pour observer les passages de Vénus sur le PRÉFACE. xj soleil ; la détermination exacte des dimensions du système solaire , fruit de ces voyages ; la planète Uranus , ses satel- lites et deux nouveaux satellites de Saturne , reconnus par Herschel ; enfin , si l'on réunit à toutes ces décou- vertes, l'invention admirable des instrumens à réflexion si utiles à la mer, et celles des lunettes acromatiques, du cercle répétiteur et des montres marines ; le dernier siècle envisagé sons le rapport des progrès de l'esprit humain dans les sciences mathématiques , paroîtra digne de celui qui l'a précédé. Le siècle où nous entrons , a commencé sous les auspices les plus favorables à l'astronomie. Son premier jour a été remarquable par la découverte de la planète Cérès , suivie presque aussi-tôt de celle de la pla- nète Pallas dont la moyenne distance au soleil est à très- peu-près la même. La proximité de ces deux corps d'une extrême petitesse à Jupiter, et la grandeur des excentri- cités et des inclinaisons de leurs orbes entrelacés , pro- duisent dans leurs mouvemens , des inégalités considé- rables qui répandront un nouveau jour sur la théorie des attractions célestes, et donneront lieu de la perfectionner encore. C'est principalement dans les applications de l'analyse au système du monde , que se manifeste la puissance de ce merveilleux instrument sans lequel il eût été impossible de pénétrer un mécanisme aussi compliqué dans ses effets, qu'il est simple dans sa cause. Le Géomètre embrasse maintenant dans ses formules, l'ensemble du système planétaire et de ses variations successives; il remonte par la pensée, aux divers états qu'il a subis dans les temps les plus reculés, et redescend à tous ceux que les temps à venir développeront aux observateurs. Il voit ce sublime spec- tacle dont la période embrasse des millions d'années , se b 2 xij PRÉFACE, renouveller en peu de siècles , dans le système des satellites de Jupiter par la promptitude de leurs révolutions , et produire de singuliers phénomènes entrevus par les Astro- nomes, mais trop composés ou trop lents pour qu'ils en aient pu déterminer les loix. La théorie de la pesanteur , devenue par tant d'applications, un moyen de décou- vertes aussi certain que l'observation elle-même, lui a fait connoître plusieurs inégalités nouvelles, et prédire le retour de la comète de 1769 dont l'action de Jupiter et de Saturne rend les révolutions très-inégales. Par ce moyen, il a su tirer des observations comme d'une mine féconde, un grand nombre d'élémens importans et délicats qui sans l'analyse , y resteroient éternellement cachés. Tels sont les valeurs respectives des masses du soleil , des planètes et des satellites, déterminées par les révolutions de ces diffé- rens corps et par le développement de leurs inégalités périodiques et séculaires ; la vitesse de la lumière et l'el- lipticité de Jupiter, données par les éclipses de ses satel- lites, avec plus de précision que par l'observation directe; la rotation et l'applatissement d'Uranus et de Saturne , conclus de la position dans un même plan , des différens corps qui circulent autour de ces deux planètes. Tels sont encore les parallaxes du soleil et de la lune, et la figure même de la terre, déduites des inégalités lunaires ; car on verra dans la suite , que la lune par ses mouvemens , décèle à l'astronomie perfectionnée , la petite ellipticité du sphéroïde terrestre dont elle fit connoître la rondeur aux premiers Astronomes, par ses éclipses. Enfin, par une combinaison heureuse de l'analyse avec les observations, cet astre qui semble avoir été donné à la terre pour l'éclai- rer pendant les nuits , devient encore le guide le plus assuré du navigateur qu'il garantit des dangers auxquels PRÉFA CE. xiij il fut exposé long-temps par les erreurs de son estime. La perfection de la théorie et des tables lunaires, à laquelle il doit ce précieux avantage et celui de fixer avec exac- titude la position des objets qui s'offrent à sa vue , est le fruit des travaux des Géomètres et des Astronomes, depuis plus d'un demi-siècle: elle réunit tout ce qui peut donner du prix aux découvertes ; la grandeur et l'utilité de l'ob- jet, la fécondité des résultats et le mérite de la difficulté vaincue. C'est ainsi que les théories les plus abstraites, en se répandant par de nombreuses applications , sur la nature et sur les arts , sont devenues d'inépuisables sources de biens et de jouissances pour celui même qui les ignore. TABLE DES MATIERES contenues dans le troisième volume. THÉORIES PARTICULIÈRES DES MOUVEMENS CELESTES. LIVRE VI. THÉORIE DES MOUVEMENS PLANÉTAIRES. Objet de cette théorie page i CHAP. I. Formules des inégalités planétaires dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des incli- naisons des orbites 5 Inégalités dépendantes de la seconde dimension des excentricités et des inclinaisons. Forme des termes qui les produisent. Influence qu'ont sur elles les rap- ports des moyens mouvemens à raison des petits diviseurs qu'ils peuvent introduire. Préparations des équations différentielles pour les divers cas que présente à cet égad le système solaire n09 1 et 2 Considérations par lesquelles on distingue les plus sensibles de ces inéga- lités n°. 5 Développemens des termes qui en résultent dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude delà planète troublée, nos. 4, 5 et 6 Inégalités dépendantes des dimensions supérieures des excentricités et des inclinaisons. Forme des termes qui les produisent n°. 7 Examen des cas où elles deviennent sensibles. Us sont dus aux rapports presque commensurables des moyens mouvemens ; applications à la théorie de Jupiter et de Saturne pour les termes de la troisième dimen- sion n°. 8 h TABLE DES MATIERES, etc. xv Inégalités dépendantes de la cinquième dimension. Sont sensibles dans la théorie de Jupiter et de Saturne. Leur calcul pour ces planètes. .. n". 9 Inégalités dépendantes delà troisième dimension , qui deviennent sensi- bles dans la théorie de Mercure troublé par la Terre 11°. 10 Les inégalités dépendantes de la seconde dimension , qui affectent le mou- vement en latitude de la planète troublée , en en introduisant d'ana- logues dans le mouvement de la planète perturbatrice. Ce sontles seules inégalités en latitude qui soient sensibles dans le système planétaire, parmi celles qui dépendent du produit des excentricités et des incli- naisons n°. 11 CH A P. II. Inégalités dépendantes du carré de la force pertur- batrice . page 33 • Développemens de leurs expressions analytiques données dans les nos. 65 et 69 du second livre. Elles résultent de l'influence que les inégalités à longue période ont sur les termes dépendans du carré des masses per- turbatrices. Les variations des excentricités et des périhélies , peuvent introduire de semblables inégalités dans les moyens mouvemens; mais on prouve que les termes dont ces inégalités se composent, s'entre- détruisent d'eux-mêmes \ d'où il suit que les moyens mouvemens et les grands axes , n'éprouvent aucune altération par l'effet des termes dont il s'agit n°. 12 Variations des excentricités, des périhélies , des noeuds et des inclinai- sons, dues à la seconde puissance des masses perturbatrices, nos. i3 et i4 Ces variations n'allèrent point les relations trouvées dans le second livre entre les élémens des orbites n°. i5 Examen des termes de l'ordre du carré des masses perturbatrices, qui ont une influence sensible sur les grandes inégalités de Jupiter et de Saturne . n°. 16 Corrections qu'il faut introduire dans les moyens mouvemens de ces deux planètes , en vertu de leurs grandes inégalités n°. 17 Les coëfficiens des inégalités des planètes varient à raison des variations séculaires des élémens des orbites. Manière d'y avoir égard. . . n°. 18 CHAP. III. Des perturbations dues à Vellipticité du soleil , pag. 55 Cette ellipticilé donne à la planète un mouvement direct dans son péri- hélie , et aux nœuds de l'orbite sur le plan de l'équateur solaire , un mouvement rétrograde égal au précédent. Ces inégalités s'affoiblissent rapidement à mesure que la distance au soleil augmente ; elles ne sont xvj TABLE DES MATIÈRES sensibles que pour Mercure. L'elliplicité du soleil n'influant ni sur l'excentricité de l'orbite , ni sur son inclinaison , ne peut altérer la sta- bilité du système planétaire n°. 18 CHAP. IV. Des perturbations du mouvement des planètes par l'action de leurs satellites Page 58 Ces perturbations se déterminent par les théorèmes du n°. 10 du second livre. Leur grandeur dépend des masses des satellites par rapport à celle de la planète , et de leurs élongations vues du soleil. Elles ne sont sensibles que dans la théorie de la terre troublée par la lune. . . n". 19 CHAP. V. Considérations sur la partie elliptique du rayon vecteur et du mouvement des planètes. page 60, n°. 20 CHAP. VI. Valeurs numériques des quantités qui entrent dans les expressions des inégalités planétaires . page 61 Valeurs des masses des planètes. Considérations d'après lesquelles elles ont été calculées n°. 21 Table des élémens planétaires n°. 22 Calcul numérique des formules données dans le n°. 4o. du second livre, 25 CHAP. VII. Expressions numériques des variations séculaires des élémens des orbites planétaires. .... page 86, nos. 24-26 CHAP. VIII. Théorie de Mercure Page 95 Examen de lalimitejusqu'à laquelle les approximations doivent s'étendre dans l'évaluation du rayon vecleui\ Valeurs numériquesdes inégalités sensibles qui affectent la longitude et le rayon vecteur. Elles sont pro- duites par l'action de Vénus , de la Terre et de Jupiter. Inégalités indépendantes des excentricités. Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. Inégalités dépendantes de la seconde dimension des excentricités et des inclinaisons des orbites. Inégalités dépendantes de la troisième dimension de ces mêmes quantités. Les inégalités en latitude sont insensibles et au-dessous d'un quart de seconde . n°. 27 CHAP. DE LA SECONDE PARTIE. xvij CHAP. IX. Théorie de J^énus. . . page gg Examen de la limite jusqu'à laquelle les approximations doivent s'étendre dans l'évaluation du rayon vecteur. Valeurs numériques des inégalités sensibles qui affectent la longitude et le rayon vecteur. Les planètes qui les produisent sont la Terre , Mars, Jupiter et Saturne. Inégalités indépendantes des excentricités. Inégalités dépendantes de là première puissance des excentricités. Inégalités dépendantes de la seconde dimension des excentricités et des inclinaisons des orbites. Inégalités dépendantes de la troisième dimension de ces mêmes quantités. Inégalités en latitude. Elles sont dues à l'action de Mars et de Jupiter, n°. 28 CHAP. X. Théorie du mouvement de la Terre page io3 Examen de la limite jusqu'à laquelle les approximations doivent s'éten- dre dans l'évaluation du rayon vecteur. Valeurs numériques des iné- galités sensibles qui affectent la longitude et le rayon vecteur terrestre. Les planètes qui les produisent sont Vénus , Mars , Jupiter et Saturne. Inégalités indépendantes des excentricités. Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. Inégalités dépendantes de la seconde dimension des excentricités et des inclinaisons des orbites. Inégalités dépendantes de la troisième dimension de ces mêmes quantités. Inégalités du mouvement de la terre en latitude. Elles sont produites par l'action de Vénus et de Jupiter n°. 29 Inégalités du mouvement de la terre produites par l'ac tion de la lune, n°. 5o Des variations séculaires de l'orbe terrestre , de l'équaleur et de la lon- gueur de l'année. L'action du soleil et de la lune influe considérable- ment sur leurs valeurs. Détermination de l'époque à laquelle le grand axe de l'orbe terrestre coïncidoit avec la ligne des équinoxes ; et de celle à laquelle ces deux lignes étoient perpendiculaires l'une à l'autre, n°. 3i CHAP. XI. Théorie de Mars. . . . page i\5 I . Examen delà limite jusqu'à laquelle les approximations doivent s'étendre dans l'évaluation du rayon vecteur. Valeur numérique des inégalités Mécan. cél. Tome III. c xviij TABLE DES MATIERES sensibles qui affectent la longitude et le rayon vecteur. Les planètes qui les produisent sont Vénus, la Terré, Jupiter et Saturne. Inégalités indépendantes des excentricités. Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. Inégalités dépendantes de la seconde dimension des excentricités et des inclinaisons des orbites. Les inégalités en latitude sont très-peu sensibles. Celle qui l'est le plus, résulte de l'action de Jupiter. ..'..' n°. 52 CHAP. XII. Théorie de Jupiter page 120 Examen de la limite jusqu'à laquelle les approximations doivent s'étendre dans l'évaluation du rayon vecteur. Valeurs numériques des inégalités sensibles qui affectent la longitude et le rayon vecteur. Les planètes qui les produisent sont la Terre , Saturne et Uranus , mais princi- palement Saturne. Inégalités indépendantes des excentricités. Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. Elles sont assez considérables pour qu'il soit nécessaire d'avoir égard à la variation de leurs coëfficiens. Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. Sont produites par la seule action de Saturne. Inégalités dépendantes des troisième et cinquième dimensions des excen- tricités et des inclinaisons, ainsi que du carré de la force perturbatrice. Ces dernières, qui sont dues aux inégalités à longues périodes, influent considérablement sur les variations séculaires des élémens elliptiques. Grande inégalité du moyen mouvement. Elle est produite par l'action de Saturne n°. 53 Inégalités en latitude. Ont pour cause l'action de Saturne. .... n°. 34 CHAP. XIII. Théorie de Saturne. . page i34 Examen du degré auquel les approximations doivent s'étendre dans l'éva- luation du rayon vecteur. Valeurs numériques des inégalités sensibles qui affectent la longitude et le rayon vecteur. Les planètes qui les pro- duisent sont Jupiter et Uranus. Inégalités indépendantes des excentricités. Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. Inégalités dépendantes delà troisième et cinquième dimension desexcen- DE LA SECONDE PARTIE. xix tricités et des inclinaisons, ainsi que du carré de la force perturbatrice. Grande inégalité de Saturne. C'est la réaction de celle de Jupiter, n°. 55 Inégalités en latitude. Sont produites par l'action de Jupiter et d'Uranus. n°..56 CHAP. XIV. Théorie d'Uranus. page i44 Examen du degré auquel les approximations doivent s'étendre dans l'éva- luation du rayon vecteur. Valeurs numériques des inégalités sensibles qui affectent la longitude et le rayon vecteur. Elles sont dues à l'action de Jupiter et de Saturne. Inégalités indépendantes des excentricités. Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. Inégalités dépendantes de la seconde dimension des excentricités et des inclinaisons. Inégalités dépendantes de la troisième dimension des excentricités et des inclinaisons. Il n'y en a qu'une seule produite par l'action de Salurne. n°. 57 Inégalités en latitude. Sont produites par l'action de Jupiter et de Salurne. n°. 58 CHAP. XV. De quelques équations de condition qui existent entre les inégalités planétaires , et qui peuvent servir à les véri- fier page 147, n°3. 5g-43 CHAP. XVI. Sur les masses des planètes et de la lune } page i56 Réflexions sur les valeurs données à ces masses dans le n°. 21. Nouvelle détermination de celles de Vénus et de Mars. Discussion de celle de la lune par la comparaison des divers phénomènes qui peuvent la détermi- ner, tels que les observations des marées, l'équation lunaire des tables du soleil , la nutation de l'axe terrestre, et la parallaxe de la lune. Il en résulte que cette masse est un peu moindre que ne l'indiquent les marées observées à Biest. . n°. 44 CHAP. XVII. Sur la formation des tables astronomiques , et sur le plan invariable du système planétaire. . page 162 , nos. 45-46 CHAP. XVIII. De l'action des étoiles sur le système planétaire. page !t»4 Le grand éloignement de ces astres rend leur action insensible. Réflexions sur la comparaison des formules précédentes avec les observations. •••••• • • n°. 46 c 2 xx TABLE DES MATIERES LIVRE VII. THÉORIE DE li'A LUNE. Exposé de cette théorie ; ses difficultés particulières. Considérations par lesquelles on doit y diriger les approximations. Comment on peut en conclure plusieurs élémens importans pour la théorie du système du monde, et entre autres Tapplatissement de la terre , qui s'obtient ainsi avec plus d'exactitude que par les observations directes , page 169 CHAP. I. Intégrations des équations différentielles du mouvement lunaire. . . . ...... page 181 Equations différentielles de ce mouvement données dans le n°. i5 du second livre. Manière d'avoir égard dans les calculs à la non-sphéricilé de la lune et de la terre n°. 1 Développemens des quantités qui entrent dans les équations différen- tielles, en supposant ces deux corps sphériques n°. 2 Ij'écliptique, dans son mouvement séculaire, emporte l'orbite de la lune de manière que l'inclinaison moyenne de cette orbite sur elle , reste toujours la même. Cette circonstance indiquée par l'analyse , simpli- fie les calculs, en ce qu'elle permet de prendre pour .plan fixe de pro- jection , celui de Fécliptique n°. 5 Recherche de la partie elliptique des mouvemens de la lune et de la terre n°. 4 Principes relatifs aux degrés de petitesse des quantités qui entrent dans les expressions des coordonnées de la lune. Examen de l'influence que les intégrations successives peuvent avoir sur les différens termes dont elles sont composées. Indication des termes du rayon vecteur qui pro- duisent l'évection et l'équation annuelle n°. 5 Usage de ces considérations. Développemens de l'équation différentielle qui donne le rayon vecteur , en n'ayant égard qu'à la première puis- sance de la force perturbatrice nos. 6 , 7 Recherche des termes de l'ordre du carré et des puissances supérieures des masses perturbatrices qui acquièrent une influence sensible par les intégrations. Il est nécessaire d'avoir égard aux perturbations du mou- vement de la terre par la lune. n°. 8 Réunion de ces termes aux précédens. Développement complet de l'équa- tion différentielle qui donne le rayon vecteur, . ^ ........ n°. 9 DE L A S E C O N D E P A R T I E. xxj Intégration de cette équation. Inégalités qui en résultent. Expression du mouvement du périgée lunaire. La variabilité de l'excentricité de l'orbe terrestre introduit une inégalité séculaire dans la constante de la parallaxe lunaire ; mais cette inéga- lité, est insensible. La même cause donne une inégalité séculaire dans le mouvement du périgée lunaire; ce qui est conforme aux observations. Expression ana- lytique de cette inégalité. L'excentricité de l'orbe lunaire est assujettie à une variation séculaire analogue à celle de la parallaxe, et pareillement insensible. . . n°. 10 Développement de l'équation différentielle qui donne la latitude , en n'ayant d'abord égard qu'à la première puissance des forces perturba- trices n°. 11 Recherche des termes de l'ordre du carré de ces forces qui acquièrent une influence sensible sur l'expression de la latitude. n°. 12 Réunion de ces termes aux précédens , et développement complet de l'équation différentielle qui donne la latitude n°. i5 Intégration de cette équation. Inégalités qui en résultent. Expression du mouvement rétrograde des nœuds. La variabilité de l'excentricité de l'orbe terrestre, introduit dans ce mou- vement une inégalité séculaire. Expression analytique de cette inéga- lité. Son rapport avec celle du périgée. L'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique vraie, est pareillement variable en vertu de la même cause ; mais cette variation est insen- sible "n°. i4 Développement de l'équation différentielle qui donne le temps ou la lon- gitude moyenne en fonction de la longitude vraie. Intégration de celte équation. Inégalités qui en résultent. La longitude moyenne éprouve aussi un changement séculaire résultant de la -variabilité de l'excentricité de l'orbe terrestre; expression de celte inégalité. Rapports analytiques des équations séculaires des moyens mouvemens" de la lune , de son périgée et de ses noeuds. Détermination numérique des divers coëfficiens qui entrent dans les for- mules précédentes, et développement numérique de l'expression de la longitude moyenne. Les perturbations de l'orbe- terrestre par la lune, se réfléchissent à cette dernière par le moyen du soleil, et elles s'affoi- blissent par cette transmission. Valeur numérique du mouvement du périgée et de son équation séculaire. Cette équation a un signe contraire à celle du moyen mouvement. Expression numérique du mouvement xxij TABLE DES MATIERES des nœuds et de son équation séculaire. Celte équation a aussi un signe contraire à celle du moyen mouvement : d'où il suit que les mouve- mens des nœuds et du périgée se rallentissent quand celui de la lune s'accélère. Rapports numériques de ces trois équations séculaires. Equation séculaire de l'anomalie moyenne n°. 16 Inégalités les plus sensibles du quatrième ordre qui entrent dans l'ex- pression delà longitude moyenne . n°. 17 Expression numérique de la latitude n°. 18 Expression numérirj ue de la parallaxe lunaire. n°. 19 CHAP. IL Des inégalités lunaires dues à la non-sphéricité de la terre et de la lune page iî5o La non-sphéricité de la terre ne produit dans la latitude de la lune , qu'une seule inégalité sensible. On peut représenter cet effet, en supposant que l'orbite de la lune, au lieu de se mouvoir sur le plan de l'écliptique avec une inclinaison constante, se meut avec la même condition sur un plan passant toujours par les équinoxes entre l'écliptique et l'équateur. Cette inégalité est très-propre à faire connoître l'applatissement de la tei're. Elle est la réaction de la nutation de l'axe terrestre sur le sphé- roïde lunaire, et il y auroit équilibre autour du centre de gravité de la terre en vertu des forces qui produisent ces deux inégalités , si toutes les molécules de la terre et de la lune étoient fixement liées entre elles, la lune compensant la petitesse des forces qui l'animent, par la lon- gueur du levier auquel elle est attachée. La non-sphéricité de la terre n'influe sur le rayon vecteur de la lune, que d'une manière insensible; la longitude de la lune n'éprouve de la part de la même cause qu'une seule inégalité appréciable. Le mouvement du périgée et celui du nœud , n'en reçoivent que de très-petites aug- mentations. n°. 20 La non-sphéricité de la lune n'introduit dans son mouvement que des inégalités insensibles .• n°. 21 CHAP. III. Des inégalités de la lune dues à l'action des planètes. . . page 265 Ces inégalités sont de deux sortes : les unes sont dues à l'action directe des planètes sur le mouvement de la lune ; les autres résultent des per- turbations que les planètes font éprouver au rayon vecteur terrestre. Perturbations qui se réfléchissent à la lune par le moyen du soleil, DE LA SECONDE PARTIE. xxiij en s'agrandissant parles intégrations qui leur donnent de petits divi- seurs. Détermination de ces inégalités pour Vénus , Mars et Jupiter. La variabilité des excentricités des orbes planétaires introduit dans la longitude moyenne de la lune, des équations séculaires analogues à celle que produit la variation de l'excentricité de l'orbe terrestre, réfléchie à la lune parle moyen du soleil; mais elles sont tout-à fait insensibles par rapport à cette dernière. Ainsi l'action indirecte des planètes sur la lune, transmise par le moyen du soleil, l'emporte beaucoup à cet égard sur leur action directe n°. 22 CHAP. IV. Comparaison de la théorie -précédente avec les obser- vations v page 275 Valeurs numériques de l'inégalité séculaire du moyen mouvement de la lune , de celles du mouvement du périgée et du nœud de l'orbite lunaire. Considérations qui confirment leur exactitude n°. 25 Inégalités périodiques du mouvement lunaire en longitude. Accord des coefficiens donnés par la théorie, avec ceux des tables lunaires de Mason et de Burg. Une de ces inégalités dépend de la parallaxe du soleil. En déterminant son coefficient d'après les observations, on en déduit la valeur de cette parallaxe, telle que la donnent les passages de Vénus. Une autre de ces inégalités dépend de l'applatissement de la terre. La valeur de son coefficient déterminée d'après les tables de Mason et de Eurg , indique que la terre est moins applatie que dans le cas de l'ho- mogénéité , et que son applatissement est —^ n°. 24 Inégalités du mouvement de la lune en latitude. Accord des coefficiens donnés par la théorie avec ceux des tables de Mason et de Burg. Une de ces inégalités dépend de l'applatissement de la terre. Son coefficient déterminé d'après les observations , donne le même applatissement que l'inégalité en longitude qui dépend du même élément. Aussi ces deux résultats s'accordent à montrer que la terre est moins applatie que dans le cas de l'homogénéité n°. 25 Expression numérique de la parallaxe horizontale de la lune. Son accord avec les tables de Mason et de Burg n°. 26 CHAP. V. Sur une inégalité à longue période _, qui paroit exister dans le mouvement de la lune page 289 L'action du soleil sur la lune, produit dans le mouvement de ce satellite, une inégalité dont l'argument est le double de la longitude du noeud de xxiv TABLE DES MATIERES, elc. l'orbite lunaire, plus la longitude de son périgée, moins troîs fois la longitude du périgée du soleil. La considération de la non-sphéricité de la terre, peut encore introduire dans le mouvement de la lune, deux autres inégalités dont la période est àtrès-peu-près la même que celle de la précédente, et qui , vu la position actuelle du périgée solaire, se con- fondent à-peu-près avec elle. Ces trois inégalités sont très-difficiles à déterminer par l'analyse: les deux dernières semblent devoir être insen- sibles. . . . : n°. 27 La première est évidemment indiquée par les observations. Détermina- tion de son coefficient n°. 28 CHAP. VI. Des variations séculaires des mouvemens de la lune et de la terre , gui peuvent être produites par la résistance d'un fluide éthéré répandu autour du soleil. ........ page 296 La résistance de l'éther ne produit d'équation séculaire que dans le moyen mouvement de la lune : elle n'en produit aucune sensible dans les mou- vemens du périgée et des noeuds. . . . , , n°. 29 L'équation séculaire du moyen mouvement de la terre , produite par la résistance de l'étber, est environ cent fois plus petite que l'équation correspondante du moyen mouvement de la lune. ....... n°. 3o FIN DE LA TABLE DU TOME TROISIEME. TRAITE TRAITE D E MÉCANIQUE CÉLESTE. SECONDE PARTIE. THÉORIES PARTICULIERES DEÉ MOUVEMENS CÉLESTES. LIVRE VI. THÉORIE DES 3I0T7VEMENS PLANÉTAIRES. Ijes mouvemens des planètes sont sensiblement troublés par leur attraction mutuelle : il importe de déterminer exactement les inégalités qui en résultent , soit pour vérifier la loi de la pesanteur universelle, soit pour perfectionner les tables astronomiques , soit enfin pour reconnoître si des causes étrangères au système plané- taire, ne viennent point altérer sa constitution et ses mouvemens. Je me propose ici d'appliquer aux corps de ce système, les méthodes et les formules générales présentées dans la première partie de cet Mécan. cél. Tome III. A 2 MÉCANIQUE CÉLESTE, ouvrage. Je n'ai développé dans le second livre , que les inégalités indépendantes des excentricités et des inclinaisons des orbites , et celles qui ne dépendent que de leur première puissance ; mais il est souvent indispensable d'étendre les approximations, jusqu'aux carrés et aux puissances supérieures de ces quantités , et même de considérer les termes dépendans du carré de la force perturba- trice. Je commence par exposer les formules de ces inégalités : en substituant ensuite dans ces formules et dans celles du second livre, les nombres relatifs à chaque planète; je donne les expres- sions numériques de son rayon vecteur et de son mouvement tant en longitude qu'en latitude. Bouvard a bien voulu faire le calcul de ces substitutions , et le zèle avec lequel il s'est livré à ce pénible travail , lui mérite la reconnoissance des Astronomes. Divers Géomètres ont déjà calculé la plupart des inégalités planétaires : leurs résultats ont servi de vérification à ceux de Bouvard , et lorsqu'il a trouvé des différences , il a remonté à la source de l'erreur , pour s'assurer de l'exactitude de ses calculs. Enfin , il a revu avec un soin particulier, le calcul des inégalités qui n'avoient point encore été déterminées ; et quelques éqtiations de condition qui ont lieu entre ces inégalités , m'ont fourni les moyens d'en vérifier plusieurs. Malgré toutes ces précautions , il peut s'être glissé dans les résultats suivans , des erreurs presque inévitables dans un aussi long travail ; mais j'ai lien de penser qu'elles ne portent que sur des quantités insensibles, et qu'elles ne nuiront point à la justesse des tables fondées sur ces résultats qui , par leur importance dans l'Astronomie planétaire dont ils sont la base, méritent d'être vérifiés avec les soins que l'on a mis dans le calcul des tables de logarithmes et de sinus. Les théories de Mercure , Vénus , la Terre et Mars , n'offrent que des inégalités périodiques peu considérables ; elles sont cependant très-sensibles par les observations modernes qu'elles représentent avec une exactitude remarquable. Le développe- ment des inégalités séculaires de ces planètes et de la lune, fera connoître exactement leurs masses dont la Yéritable valeur est la seule chose que leurs théories laissent encore à désirer. C'est prin- cipalement dans les mouvemens de Jupiter et de Saturne, les deux SECONDE PARTIE, LIVRE VI. G plus giands corps du système planétaire , que l'attraction mutuelle des planètes est sensible. Leurs moyens mouvemens sont presque commensurables ; en sorte que cinq fois celui de Saturne est à très-peu-près égal à deux fois celui de Jupiter : les inégalités consi- dérables qui naissent de ce rapport , et dont on ignorait les loix et la cause, ont paru long-temps faire exception de la loi de la pesanteur universelle , et maintenant , elles en sont une des preu- ves les plus frappantes. Il est extrêmement curieux de voir avec quelle précision les deux principales inégalités de ces planètes , dont la période embrasse plus de neuf cents années , satisfont aux observations anciennes et modernes : les siècles à venir , en les développant, mettront de plus en plus cet accord en évidence. Pour en faciliter la comparaison aux Astronomes, j'ai porté l'ap- proximation jusqu'aux termes dépendans du carré de la force per- turbatrice; ce qui me fait espérer que les valeurs que je leur assi- gne , s'éloigneront fort peu de celles que l'on trouvera par une longue suite d'observations continuées pendant une période entière. Ces inégalités ont sur les' variations séculaires des orbes de Jupiter et de Saturne , une grande influence dont je développe les expressions analytique et numérique. Enfin la planète Uranus est assujétie à des inégalités sensibles que je détermine, et que les observations confirment Le premier jour de ce siècle est remarquable par la découverte d'une planète dont l'orbe est situé entre ceux de Jupiter et de Mars , et à laquelle on a donné le nom de Cérès. Elle ne paroît que comme une étoile de la liuitième ou neuvième grandeur; son excessive petitesse rend donc insensible son action sur le système planétaire; mais elle doit éprouver de la part des autres planètes , et principalement de Jupiter et de Saturne , ttes pertur- bations considérables qu'il importe de déterminer. C'est ce que je me propose de faire dans la suite de cet ouvrage, lorsque l'obser- vation aura fait connoître avec une approximation suffisante, les élémens de son orbite. Il n'y a pas encore trois siècles, que Copernic introduisit le pre- mier , dans les tables astronomiques , le mouvement des planètes autour du soleil : environ un siècle après , Kepler y fit entrer les A 2 4 MECANIQUE CELESTE, lois du mouvement elliptique , qu'il avoit reconnues par l'obser- vation , et qui ont conduit Newton à la découverte de la gravita- tion universelle. Depuis ces trois époques mémorables dans l'his- toire des sciences , les progrès de l'analyse infinitésimale nous ont mis à portée de soumettre au calcul, les nombreuses inégalités des planètes, qui naissent de leur attraction réciproque; et par ce moyen, les tables ont acquis une précision inattendue. J'ose croire que les résultats suivans leur donneront une précision plus grande encore. SECONDE P ART I E , L I V R E VI. CHAPITRE PREMIER. Formules des inégalités planétaires dépendantes des can-és et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites. Des inégalités dépendantes des carrés et des produits des excen- tricités et des inclinaisons. 1. Pour déterminer ces inégalités , je reprends l'équation du n°. 46 du second livre , On a par les n03 20 et 22 du même livre, f 2 a3 r = a. {1 + \e* — e.cos. (nt-k-i — <&) — \é" .cos. (itnt+ 2e— 2^,)} ; l'équation différentielle précédente devient ainsi , o=— '■ — +raVJV+3rcaa.=fy. {e.cos. (nt+i—••« \da / ) a* {i.n'+f3 — JJ.rc} . {nz'+('i — i,}.n} Si cette expression de — est considérable, et si l'un des diviseurs in' +(5 — i)n, iri + (i — i).n est très-petit, comme cela a lieu dans la théorie de Jupiter troublé par Saturne, lorsque l'on sup- pose i= 5 , 2/z étant à très-peu près égal à jn'; la variabilité des élémens des orbites a une influence sensible sur cette expression ; il importe donc d'y avoir égard. Pour cela, nous mettrons l'équa- tion différentielle en rJV, sous cette forme, o=— -^ — \- n* . r fr ■{■ n* . a* . P . cos. {i.(n't — nt + t' — i) + 2nt -f 2e} + n*.a\P'.sm.{i.(n't— nt+t' — s) + 2nt+2t}. SECONDE PARTIE, LI VRE VI. 7 En l'intégrant et négligeant les termes dépendans des différences secondes et supérieures de P et de F, nous aurons , ïàT a* {in +(3-i).n] . {in'+(i-i).n} [ + {in'+(3-i)n}. { in'+(i—i).n} ,m z.{i(n'-n) + 2n}. -^ I sin_{i(n't_mnt+i'_i) + 2nt+2s] { in'+(5-i).n } . {in'+(i-i).n} La formule {Y) du n°. 46 du second livre deviendra en y faisant p= r , z.d(rir) , $(F+G).e\sin.{i.(n't—nt+i'— s) + 2nt + 2t— 2^}j '' \-\-H.ee .sïn. {i.(n't — nt+t' — t) + 2nt+2i — -s- — ^'} j { in -\-(a — i) ■ n } 2 * in -J-fa— £J . n I a fl ££! ) 3a-/Jndt.dR=^-,+(r>_;) „}AQ] * Y^{i.(n t-ht+i'-e) + 2ni+!ii) [ " in'+(2 — i).n) (6- 3 i)- n'a j fl.f£ ) ' ~ {,V+^-,-;.^p-]Q'_ dt }-cos.{i.(nt—nt+i'^l)+^t+2i}: {. in'+(2—i).n\ 8 MECANIQUE CELESTE, La formule (Y) du n°. 46 du second livre, donnera ainsi, éP~l^JÎl'l__i i(F-¥G).e\sm.{i.(n't—nt->ri'—i) + -2nt-\-2i—^}'\ ,™ aï.ndt • *'\-\-H.ee'.sin.{i.(n't— nt+ 1— i) + ^nt + 2î— &— ■&}) [ ,_ dt > 'Vda/V.cos. [i.(n't— nt^\— i) + snt+2i}. {m'+(2-.j;.n}"-)a.Q'-T- «- m' m'+(2 — y&J iii'-\-(z—i).n) Je supprime pour plus d'exactitude, le diviseur V 1 — ea, dans cette expression de S~v ; parce que ce diviseur n'affecte point, comme on l'a vu dans le n°. 65 du second livre , la partie de cette expres- sion, qui a pour diviseur le carré de in +(2 — i).n ; et dans le cas présent , cette partie est beaucoup plus grande que les autres. Déplus, en vertu du même n°. , il faut appliquer celte partie de n — ■»'}, i étaût ici positif; on aura (i(G+G').e\ cos. i . (Vf— n t -f- e'— eji -tz1.^ + Hee .cos. {i.(n't — nt+î — i)-\-ts — -s7} [ + H'ee'.cos.{i.(n't— nt+î— t)— n + v'}) >; (E) rît l+"*\a'-(^)-^>aNycos.{i.(n't-nt+i,-i) + L}] g2 ~ ~ {in'— ^-f-i;.n) . {in'—(i—i).n) [z.d'crïr) \(G—G').e\sin.i.(n't—nt+t'—i) - — jT — Hï« j + Hee .sin.{i.(n't — nt \-î — 0 + ^ — **'} (.— Hee'.sin.{i.C^— nt+î — %) — ^+-sr'}) (• 5 (-f) iv- + < — — -.a\[ — )——■ — —.aN\.$m.{i.(rit—nt+t—t) + L} - lin— m \daj (m'—in)* J . Si l'on désigne par — — , la partie qui dépend à la fois des carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites , et de l'angle i.(n't+nt-\-î — t) ; on aura Mkcan. cél. Tome III. B io MECANIQUE CELESTE, £il = l£!+i. !G+G'— F}.e\cos.i.(nt — nt+t'— t) a a2 +^. H ee'. cos. {i.(n't — nt + t — i) + ^ — -w'} ■\-^.H' .ee'.cos. [i.(rit — nt-\-t — t) — -w-f-'sr'}. Dans ces trois expressions , i doit être supposé positif. 3. Le grand nombre des inégalités dépendantes des carrés des excentricités et des inclinaisons ,. ne permet pas de les calculer toutes : on se dirigera dans leur choix , par les considérations sui- vantes. i°. Si la quantité in ' + (2 — i).n diffère peu de z±zn ; alors, l'un ou l'autre des diviseurs in'+(i — i).n, et iri + (i— i).n de la formule (^) du nn. i, est peu considérable, et par-là, cette formule peut acquérir une valeur sensible. 2°. Si la quantité in +(2 — i).n est peu considérable^ les termes de la formule (C) du même n°. qui ont cette quantité pour diviseur, peuvent devenir sensibles. 30. Si la quantité i.(ri — n) diffère peu de ±7z; l'un ou l'autre des diviseurs in — (i-\-\).n, et in' — (i — i).n,Ae la for- mule (E) dun°. précédent, est peu considérable , et par-là, cette formule peut acquérir une valeur sensible. 4°. Enfin, si la quantité i.(n'-n) est peu considérable ; les termes de la formule (FJ du n°. précédent , qui ont ce diviseur , peuvent devenir sensibles. Il faut donc calculer avec soin, toutes les inégalités assujéties à l'une de ces quatre conditions. 4.. Les quantités B\ G, G', H, H', sont déterminées par les approximations développées dans le second livre : nous allons déterminer M et jV. Pour cela , reprenons la valeur de R du n°. 4G du second livre , m' .(xx' -\-yy'-\- zz'J m' iî = r étant ici lexayon vecteur de in. Prenons pour plan fixe, celui de l'orbite primitive de m, et pour ligne des abcisses x , la ligne des nœuds de l'orbite de m avec ce plan. Si l'on nomme v l'angle formé par r et par cette ligne; v l'angle formé par cette même ligne' et par r; et y la tangente de l'inclinaison respective des deux orbites ; on aura SEGONDE PARTIE, LIVRE VI. n x =r.cos.v ; y =r.sin.v; «so; , r'.sin.i/' , r'y-sin.v' X = r . cos.i' ,• y = — .-; -s = — := ; Vl+y» yi+v* ce qui donne , en négligeant les quatrièmes puissances de y , r> m'r y ' \ m'v% r r r / \ / ' i 11 i? = — .cos.ff — v) T~'~' {cos.(V — v) — cos.(e + *v} m' m'y' rr' . [cos.(v' — v) — cos.(v'-{-v)} V/V— ar/.cos.^'— v)+ï" 4 {T*-2rr' .cos.(V'-v) + r>}ï Supposons . comme dans le n°. 48 du second livre , — . cos. (rit — ftt+t —i) — (a* — 2ad . cos.( ri t—nt-%- 1 — *) + a" } a* = |.S.^O.cos. i.(rit — nt+t'—i) ; (as— 2aa'.cos.(rit— nt+t— 0+a'1} * =£-.2.2?w.cos.i.(n'f— n*+e'— 0/ et représentons iJf.cos. \i.(rit — nt + e' — î) + 2tit-\-K}, par MS0). e\cos.{i.(rit—nt+i'—0 + 2nt + 2* — 2'sr} +M(-'Keer .cos..{i.{rit — ni+s'— e) + 7nt+%t — & — -s-'} + IW. e'\cos.{l.(V£— 7^ + e'— e; + 2«f+2ê — W}^ + M.W. y". cos. {i. (rit — nt+t — t) + znt+2i — 2n}; n étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite de m, sur celle de m , comptée de la ligne où l'on fixe -l'origine de rei-J-s. On a par le n°. 22 du second livre, - =i +^ea — e.cos.(nt + i — &) — ~e*. cos.(2 nt+ 2 1 — a*); a v=nt+z — U-{-2e.sin.(nt-\-i — -a-J + * e* . sin. ('2nt+2t — zv) • ce qui donne les valeurs de — et de v ', en marquant d'un trait les quantités rz, e et e. On a ensuite, par le n°. 48 du même livre, le produit de s.^^lKcos.{i.(rit — nt-\-& — t), par le sinus ou le cosinus d'un angle quelconque ft+I, égal à z.^.S^{i.(rit-nt+i'-0+ft+I}. De là il est facile de conclure , B ? ]2 MECANIQUE CELESTE, ;«»= _.f;.f4i-î;.^o+!1.f2i'_1j.a.(_)+0..(-_)j; m' ( . /dA(>-^\ /)\) ^,=_|..{4.fi-,^4+',o-.M(^)-3.f;^.M(^-^(^^)]; et dans le cas de i — i , ma. m , _, . jf(3)__ .aa'.BW. 4 a'a 8 Représentons N.cos. {i.(n't — «£+s' — i) + L], par les termes suivans , + N(-,hee'.cos.{i.(?ï't—nt+t'—t) + &—>*'} + N{*).ee.cos.{i.(ril—nt+î'—0—* + >n'}-:) nous aurons f étant supposé positif et plus grand que zéro , dans ces trois der- nières expressions. Dans le cas de i=i, il faut ajouter à JV"(°) le m'y2 a terme . — - . ^ 4 a'» Il est plus commode pour les calculs numériques , de n'avoir dans les formules , que les différences relatives à l'une ou à l'autre des deux quantités a et a'. On trouve alors par le n°. 4g du second livre, ' m' f ',• x'- -îr~ fdA^-^\ ■ /ddA«-*>\) „,, m' f ,. fdA'-/>;•+(•?'-?;•}; pip', q, q', exprimant les mêmes choses que dans le n°. 51 du second livre. De-là il est facile de conclure, par les n03 5 5 et 59 du second livre , an.£R = — (—.{h*+P+h'* + Vt\+UT\.(hh' + U') 2 + ^(o,l).{(p'-Py+(q'-qy}i ce qui donne an.dfR = dh. { — fo,\ ) ". h-hfZÏÏ.'H'} + dl. { — (o,i).l+\°7\.r} + ( o, 1 ; . dp . (p — p') + (o, 1 ; . dq . (q — q'). Le second membre de cette équation devient nul , en vertu des équations {A) et (C) des n°3 55 et 5 g du second livre ; on a donc an.à.S R = o ; d'où, l'on tire , en observant que n'a3 = 1 , ldt.fdt.dfR= -3mgt** : BOa. 1/ 1 — e'' m'g" étant une constante arbitraire ajoutée à l'intégrale /d . J"i?. Il nous reste a considérer la fonction -, qui entre Tz.dy J_ dans l'expression de dfv, donnée par la formule (T) du n°. 46 d u second livre. En négligeant le carré de la force perturbatrice , cette fonction se réduit a , ou par le n . cite , a T*.dv ' x 2a!.l - yndt m ndt.a I — j— 1 — . Cette quantité produit d'abord le terme , V/i— e» . \/i—é> , . im .gdt , 3m' .agndt , . qui ajoute a celui-ci, égal a -, a cause de na' , V/i — e4 V/i — e2 rCc? =1 , le détruit j parce que g~ — yfl.l — — 1, par le n . 50 du SECONDE PARTIE, LIVRE VI. *f second livre. Reprenant ensuite l'expression précédente de '.(Vf— tz* + s'— 0 + L}; d'où l'on tire en intégrant, f 1 . n2 . e y . aF. sin.fi . (rit — nt + e' — s j) + 2tz£ 4- 2 s — « — n} j _{ + n*a3.M.s'm.{i.(rit — nt+i — s) + 2nt + K] j {in' — (i — ij-n} • {in' — (J — î)-n} {\.n*.ey.aF.sm.{i.(rit — nt-\-i — i) + v — n}} { + n\as.N.sm.{i.(rit—nt+i'—i)+L} j {zV — (i-\- i/.n} . {in — (i — ij-w} On aura la latitude s , en observant que = — = — . {i + e.cos. (nt+i — &)} on aura donc s , en divisant l'expression précédente de z par a , et en lui ajoutant la quantité ^ey.F.sm.{i. (rit — n t + é — s) + 2nt+2i — -a — n} + ^ey.F.sin.{i.(rit— nt + i'— i) + *r— n}. Il ne s'agit plus que de déterminer M et N" ; ce qui sera^ aci.e , en suivant l'analyse du n°. 4. Mais nous nous dispenserons de suivre ce calcul ; parce que les inégalités de cet ordre en latitude , sont insensibles, excepté relativement à Jupiter et à Saturne, à cause de la commensurabilité très-approchée de leurs moyens mouve- mens , et nous donnerons dans le n°. jo un moyen très -simple de déterminer ces dernières inégalités. Si l'on rapporte le mouvement de m , sur un plan fixe très-peu incliné à celui de son orbite primitive ; en nommant

, 2a-dP la-dd£" } ,in {i.(n't-nt-\-t'-<.) \ T. {i.(n'-n)+în}.dt {i.(ri-n)+yi} \dt*j' "l+3«*. + 3 « _3.f3-fj.rn'.»» V {/.fn'-W+34a') S-p 2a-dF *a-ddp ]cos ti.(n't-nt+,'-*n\ [ \ {i.(iï-n)+in}.dt {L(n'-n) + în}\dL*y ^ + 3^+3. j l a'.( — ).cos.{i.(rit — nt+î — 0-t-3"£+3ê)j nmn J \ daj ' i-(n'-n^n'^a\(^ysïn.{i.(n't-nt+i'-i) + pit+3i} — s'm.{i.(rit — nt+t — 0 + 3"*+3ê — ^+^}. d\(r?r) ft.rïr O = ; 1 1-2. dt* J"3 L'équation différentielle ■''*+-$) donne, en ne considérant que les termes qui ont i.(n' — n) + ^n7 pour diviseur , rJV _ 2. et— i).m'n ( aP.sm.{i.(nt—nt + î'—i) + -}nt-irp}} ~ i.(n'—n)+in'X + aP'.cos.{i.(rit—nt+s'—t) + int+y.}j — \eH.cos.{i.(rit — nt-\-î — 0 + 3"*+ 3S — ^ + ^}. + ^eH.cos.{i.(n't—nt+s'—i) + nt+t + ^ + ^}. En réunissant cette équation à celle-ci , rïr — = H.cos.{i.(rit — nt+^ — s) + 2nt+2i + ^é}; on en tirera — = H.cos.{i.(n t — nt+i' — î) + 2nt+2s + ^4} — eH.cos.{i.(n't — nt+i' — 0 + 3'2f+3£ — /5r+^} + eH cos.{i.(n't — nt+i — s) + nt -\-i + , donnée par la formule (Y) du 11°. 46 du second livre. La . 2r.J^r+Jr.^r . . partie ; de cette expression, produit dans JV, le terme | . eH. sin. { i . (rit— n t + î— î) + n t + s + *+ ^}. ■2i MECANIQUE CELESTE, C'est le seul de ce genre qui ait i.(n — n)-\-yi pour diviseur. L'inégalité de JV , dépendante de l'angle i.(n't — nt+ s' — e) ■+- znt+ 25, est à très-peu-près , par le n°. 1 , en n'aj^ant égard qu'aux termes qui ont i.(ri — n) + $n pour diviseur, sH.sxn.{i.(n't — nt + i — s)-\-int-\-2i-\-A}. En désignant donc cette inégalité par K.sin.{i.(nt — nt+i' — s) + 2nt+2s + B] ; on a dans S~v l'inégalité ±eK.sm.{i.(nt—nt+i'—i) + nt+i + v + B}. o. C'est principalement dans la théorie de Jupiter et de Sa- turne, que ces diverses inégalités sont sensibles. En supposant z = 5, la fonction i.(ri — nj + ^n devient jri — 2n, et cette der- nière quantité est très-petite , en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvemens de ces deux planètes , ce qui donne aux inégalités correspondantes de JV, et de JV , de grandes valeurs. Pour les déterminer , reprenons l'expression de R donnée dans le n°. y et alors, les valeurs de P et de P' sont les mêmes, loi'sque l'on considère l'action de m sur m, et celle de m sur m'. Déterminons ces valeurs. On a par le n°. 22 du second livre , en ne portant la précision que jusqu'aux troisièmes puissances des excentricités inclusivement, SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 23 - = i + {e*— (e— le3).cos.(nt+s— v)— ±e*.cos.(2nt+2i— zn) a — \es.cos.(int+i°.—i*r) ; i> = nt+î + (2e — ±e3).s'm.(nt + s — v) + $e*.sm.(2nt + 21 — zm) + \±e3.s'm.(}nt+3t — $*}. Cela posé; si l'on développe i? suivant les termes dépendans de l'angle jn't — 2nt; on aura une expression de cette forme, R= M^. e'3. cos. (jn't — 2nt+y,'— 2 s — 3^'; +M{').e'ie.cos.(^n't — 2^+55' — 2 e — W — 9.) + J£W.eV. cos. (jrit — 2nt+«)i — 2 s — ■&' — 2^) + Jf(3> . e3 . cos. C5ra'f — 2 nt + 5 s' — 2 s — 3 ^J> + JlW.eV.COS.(f5ra^— 2 72^+^'— 2 5 — ^'— i2n; + M<-5K e ?*. cos. (j rit— 2nt+y.'— 2t — ■*— 211); et l'on trouvera après toutes les réductions ., de C3) tfcft C3) ^ C3)l 16 (. ï a* a«a ri*3 J , f <&/« <*<#/« «^Cfll a#JfW=— ^. 396.£ W + i84.*.-J ?- + 25.**.--l- + *3.--i- [i 16 t 3 a* o* d«J .1 , f db^ ddb& tebvri a'MW= ^-.l38o.£I(5)+i74.*.-4-+24.cr>.— l_+«s._l_ ; 48 (/ 1 j <£* <£** tf«3 j , f <&,C3:> ] «i«W)^^-^.-j1o.J,P}+*.-2L-j'î 16 ( - du J , f dAM'î de là, on tire + a31^\e'e*.s\n.(™'^2v) + aMV\e3.sm.T)™ + aM^.e'y\sm.(2n + v') + a'M{~D'>.ey*.sm.(2n + v). On aura m'.a'P',' en changeant dans cette expression de m'.a'P, les sinus en cosinus , et il sera facile de conclure les valeurs de aP M MECANIQUE CELESTE, et de aP', en multipliant celles de a'P et de a'P\ par — ou par «. On aura ensuite, en faisant j= 5, dans les expressions de JV et de i' du =-. précédent, Gm'.n1 f • ia. à? $a.ddP' 1 . , , ] \aP +- — ; -7 — - — ; — — }.sm.( t ( -j-, —j— -, se rapportant à l'époque de 1750. Cette expression peut s'étendre à mille ou douze cents ans avant et après cette époque. On aura de la même manière, les expressions de v, e\ &', y et n. On calculera par leur moyen , les valeurs de P , correspondantes aux trois époques de 1750 , 2250 et 2750. Soient P, Pn Pu ces valeurs; l'expression générale de P étant _, dP P ddP P + t.-r—î . : dt J 2 dP ' on aura en faisant successivement t es 500, t= 1000 , Mécan. CEI,. Tome III. D 26 MECANIQUE CELESTE, _ dP ddP -t- o. c nnnn . - . dt* '+5 oo .— I-25OOOO dt ' dP ddP P + I OOO . —— + I OOOOOO . r • — — dt * dr ce qui donne dp _4P/_3p_P/; ddP _ Pir-aP,+ P dt 1000 dt* 250000 ()• Les termes dépendant des cinquièmes puissances des excen- tricités peuvent avoir une influence sensible sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne ; mais le calcul en est pénible par son excessive longueur. Son importance a déterminé Bur- ckhardt , très-habile astronome, à l'entreprendre. Il a discuté avec une scrupuleuse attention, tous les termes de cet ordre qui dépen- dent de l'angle jn't — znt , en se permettant seulement de négliger les produits des excentricités , par la quatrième puissance de l'in- clinaison mutuelle des orbites ; ce qui ne peut, en effet, produire que des quantités insensibles. L'expression de i? du n°. 4 est rela- tive à l'action de m' sur m : la partie de cette expression , qui a ]e plus d'influence sur cette inégalité , est le produit de m' par le facteur — . rr . {cos. (V — v) — cos. (v + p)} 1 . 4 V r> — 2 rr'. cos, (v' — v) + r'* {,-*_ -,•-'. cos.(V— vj + r'2}1 Ce facteur est le même pour les deux planètes ; en le développant , et en ne considérant que les produits des excentricités et des incli- naisons, relatifs à l'angle <^rit — znt, on a une fonction de celte forme, iV(<0.cos. (jrit— sn t+ 5 + N<~'Lcos. (jrit — znt+y. 4-JVW.cos. (<)rit — znt+y. + N{3K cos. (yi'l — 2nt+y. + N (4>. cos. (' 5 rit — 2 n t + 5 s + N^.cos.(^nt — 2,nt+ji + N W. cos. (j rit — 2nt+y. + N^Kcos. (a') — 2 £ 2 fs v) 2 l ns — 2~f>) — 2s + w — 4 1*) 2ê 2isr'-+"sr 1}TI) _2£ -j' 2.TI) - 1 s - — ~r — 2 n_} i-i/SES •+- -ar'— 2« — 2 n j) (O) SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 27 et l'on trouve 768 \ d^.OÎ dsô.^î 5 —38.**. ce du.6- d«5 ) dbW 1— f 20267. e'3 + 24896. ).*\—-^- + (i<:H2.e*+i7io.e*).*.3.-i— ' dit2 ' ' dx? d^b W d5ô W Z28 ?a.ey* ) + ri52.e'«+i92.ea;-*4.-^r- + r4^+6^;.a5.-^r +29. *3 /d*è,o:> #■£,(« V /d36,« [+"-8-'{-k -=- +-' c?«a / \ da3 du3 I J -f i i84o . e* + 1 52000 . e'*) . b^— (6560 . ^ + 65168 .e'\) •*■— Jj-J d*b& (Pb^V ' + (-26.6* + 128. e";.«*.-j L- +^» + 4e";.«5.— V- 4i448.6,W+ 18302. a.~f-+ i78o.*'.— î— / 7 ri. c3) &.b (ni-i — (i6).** d»2 de3 J dbW} , |— <'i74.e*+i96.e">.£,W — (50.^+180. «»'■;. «»._I_| 128 1 «/« **>*«> rï + fi4e'a— + 86. «'.-À 8«3.— i *4 ^g--Jî8o.«.A/5) + 86.«,.-^r -8 de" d«3 SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 29 Lorsque l'on considère l'action de m! sur m , il faut par le n°. 4 a augmenter dans a'N^, bj-l\ de——, ou de — e, ce qui àiïg- a 312? .u.e'^e mente a'N^K de — . Lorsque l'on considère l'action de ' 768 u 772 sur 77z', il faut augmenter bSl~> de ; ce qui augmente a'JVW de — . Cela posé , on multipliera les valeurs précédentes de a'iV(o', a'NW, &c. par /?i , et l'on décomposei'a chacun des cosinus qu'elles multiplient dans la fonction (O), en sinus et cosinus de }n't — ant-b- 5s' — 2s ; ce qui donne à cette fonction la forme suivante, m'.a'P, .sin.(*yrit — int+y.' — z£) + 772' . a'Pj' ■ cos. (. e'* .cos. (.{rit — 2nt + 4n'— 2e— ja'J + L{3Ky .cos. (kn't— znt+bi'-r- 2s — an). On observera ensuite que cette valeur de résulte des varia- as tions de l'excentricité et du périhélie , dépendantes de nt — kn't dans l'expression elliptique de £ . — : cette expression contient le terme — e. cos. (nt-^î — nr) , dont la variation est — JV.cos. (nt + i — nr) — e/V.sin. (nt+t — n) ; «Te et J1 <* étant les variations de eetdew, dépendantes de nt—brit. On a par le n°. 6g du second livre , ro .an fe— , n— lin' m .an eS-m-= n — An ( — J.sin. (knt — nt-\-ii'—i)\ ' + /__ j . cos. (krit — nt+ 4 1 — i)\ (— J.COS. (kilt 7lf + 4ê' — t), (^-J.s'm. (&n'tr-nt+it'—t)\ SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 5i La variation de — sr) J' 32 MECANIQUE CELESTE, Pareillement , les mêmes termes produisent dans la valeur de s', ou dans le mouvement de m en latitude, l'inégalité gaV m f e'?.MW.sm.(4trii — 27z2-i-4e' — as — n — «z/n 51-21 'm'' X + ey.M^.sin. (krit — 2rc£+4e' — 2s — n — v) J ' n étant comme dans l'inégalité précédente de s, la longitude du nœud ascendant de l'orbite de m sur celle de m. Ce sont les seules inégalités sensibles en latitude, du système planétaire, dépen- dantes du produit des excentricités et des inclinaisons des orbites. On a vu dans le n". 6, que la valeur de «As introduit dans le mouve- ment de m , réduit au plan fixe , le terme — tang. . I f — - \.cos.( ^nt-2nt+ 5 s'-20 — ( — ).sin.(î7i't-2nt+ p'-2ij + /n . ] ( — \cos.(^n't-2nt+^i'-2î) — ( — j.sin.^'"'-^ + ^i'-2t) Je, «JW, /'e', , <^n étant les parties de e, ®ye', ■»', 7-, n, qui dépendent de l'angle jn't — 2nt. On a par le n°. 8, /dP\ /dP'\ (dP'\ (dP\ (d±\- > (H2\ (dl\~ ,' (dL\ \flw>) ~G \de-J ' \4w'J ~ \d»'.J? 5(4 dp\ fdp'\ (dp'\ (dp\ In) = y\-^)> Vn~) = - *' V5/ De plus , on a par le n°. 69 du second livre , /dP ).cos.( et de ; ce qui donne — fs = f?.&n.(t> — n; — >.^n.cos. (v — n;; Urona par le n°. 71 du second livre , SECONDE PARTIE, LIVRE VI. I ( -— ].cos. (îrit — 2nt+*s — 2s — f + n,, man ) \dy J ' ' ' ts=—W) sin. (jrit — 2 7ît+ 55' — 25 — f -{-rTn En comparant cette expression , à la précédente 5 on aura m an fy = /dp\ .••■•; "i -r- ).Sin.( 5«f 27z£-{-5S 25^)1 S«'— an" /dP'\ ' + ( -7- J.COS.^572'f— 2/Z^+5« 2 0 m on [ — J.COS. (K71 t — 272^+55 — JS sj)i 5 » — 2 re -( — J-sin. (; cP II = ^11+^11; m a' ri m an' fy = ..~ •< - — - ^ — !i2.sin.2.( ^nt~int+ s2 ~Zi) (<>n'-2n)\e m Va' 2.(^n—zn) v> i \ 1 \±l V de il .ÇQS.2.C \rit-ant+ Kt'-ai) \ 2.(jri — 2n) (fdP'\ /ddP\ /dP'\ /ddP'\ /dP\ / ddP \ /dP'\ /ddP'Y\ \\~de~) ' \de^) + \~de~) ' \dF) + \ày J ' \de~dy) + \dy)' \de~dy) j " * (}dP\2 (dP'\2\ + \\&) \d7J j • , ' u ,, ' i ^ sin. 2.(^nt — znt+p — a) (îri—2n).e ) 2.e.( (snVZ+bm'V^') f fdP\ /dP\) 53 MECANIQUE CELESTE, Cette inégalité peut être mise sous la forme suivante : si l'on repré- sente par K ■ sin. ( 5 n't — 3 n t+ 5 s' — 3 s + B ) , l'inégalité de m, dépen- dante de yit — jrit+y. — 52', etparif.sm.^/z'* — znt+p' — iî+Â1), la grande inégalité ; l'inégalité précédente sera par le n". 6g du second livre , ^mV^-i-fa'V^') _ _ 7. TÏPn -HK. sin. (yat — ion't+ çs — îos' — B-~A\. m V a On trouvera pareillement , en n'ayant égard qu'aux variations séculaires dépendantes du carré de la force perturbatrice, ■ 3m'.flV.* fjmV^+am'VC'; r (d£\_p< (dZ\\ Se'~~ (in'-anf.a' ' mVt~ Y'. \de' ) * '. [de1 ) J m\a'*n°.t U dP'\ f ddP\ fdP\ fddP'\ /dp\ fddP\_/dP\ (ddP'X\ + 5n'_2ra '\\d7)'\de'*) \de') \de* ) + \dy )'\de'dy) \dy)\de'dy)} mm'.aa'.nn'.t }(dP\ ( ddP Y (dP\ ( MP' \ (dP'\ ( ddP \ (dP\ (ddP' \ 1 - + 5„'_2„ * \ \de~J ' \dede'J \ de ) ' \de de') + \~dy~ ') ' \dedyj \dy ) ' \de'dy J J ' f W*.a*n>t { ) + \de' )' \ de* ) + \dy )' \dedy) + \dy )' \ de'dy) j mrn.aa.nn-t ( fdP\ /ddP\/dP'\ /ddP'\ /dP\ / ddP\ /dP_\ (ddj^\\ + (^n'-2n).e' ' \\de )\dede' )+\de )\de de' j + \dy )\de'dy )+ \d} )\dedy}y On trouve encore que le mouvement de ni en longitude , est affecté de l'inégalité r ,r~ „/-,-> i \P.(% S) + P'.(d£))-cos.(i77t— 9«'*+4£— 9*'— »';) 3m'.a^s {ZmVa+omYtt}_ ) \ \ de J \de ) ) K y \ "~(in-2ny.a~'-~ mV^ ' ) f p, f^\-P &\\, sin, (int-c>n't + £*-&'-* ')} Si l'on désigne par K. sin. (4 n't — int-\-kî — 2i + B') , l'iné- galité de m , dépendante de znt — 4 n't + 1 s — 4- ■> et Par — H' .sin. (^'t — %nt^-y.' — 21 + A'), la grande inégalité de m'; on aura pour son inégalité dépendante de but — Qn't+-/ie — 9s', » (J 21_ y.f/X'.sin,f4^ — 9^+ 4s — g*' — 5'— >*';. SECONDÉ PARTIE, LIVRE VI. 39 1 4. Les nœuds et les inclinaisons des orbites de Jupiter el de Saturne, sont assujétis à des variations analogues aux précédentes. Pour les déterminer, nous observerons que ç> et et de ç, ç/.sin. 9' — p.sin. 9 = ^.sin.rij — -77= — T7=.{^>.cos.rn— 9; — ^./n.sm. rn— 9;}: mV a-\-m!V cl' .' et 9' dépendent ainsi des variations de > et de n. On a par le n°. 12 , — ( — ) .sin.Cjnt — 2/z<+5« — 20\ / + ( — - J.cos.(57z2 — znt+js — 2s;\ De-là on tire , en négligeant les quantités périodiques dont l'effet est insensible , et en observant que dy — - — = — ■ : 777= -.ni an dt m Va' 4o MECANIQUE CELESTE, /dP'\ /ddP\ /dP\ fddP'\_ V^y )' \~dfr) ~ \dVj \W~) = ° 5 ?)jri*.a*n? (m\/â+m'Va') (imVâ+sm'V'â' ) a ■'■H^-m (^ri — 27i ) m'Yl? rrivt m'\a*n* (mV^+m'V^') UdP'\ f ddp\ /dP\ /ddP' <,n' — un m'\/a' ' \\de J \dedy J \dej \dedy mm'.aa'.jiri (mV^+m'Va ) ( I dP' \ /ddP\ (dp\ (ddP'\\ ^ri—ln ' inV? 't'\\JÏP~)\d7dy)~\^)\d7dy)\ ' im'*.a*n3 (nVZ+m'V^') (5mV7+ im 'VZ' ) f (dP\ (dP'\\ aTÎ ^^ - — . r~>^» • tï~>^ <-t. \ Jr > [ ■ — J -f* Jr . i 1 \ y.fjn'— an/ m'V^P ro'VT' \ Wv/ V*>/J m'.Œ'n* fmVCfm'l^"'; _ ) \de )' \de dy) \d[J' \de dy)[ j /dP\ )ddP\ (à l Kàv) ' K^y7) + \dv J ' \ d** + y.(,n'~2n)' m'V* ' *' ) , (dp\ fddP\ (dP'\ /ddP^ f /dP\ /ddP\ (dP'\ fddP'Y] mm'.aa'.nn (mVa+m'Vâ') J \d7 ) ' \de'dy) + \d7 )' \de'dy)\ + v.(în'—2n)' n7K7' 'fjL.Ï&S ( ddP\ (dP'\ ( ddP\ C\dY)\dy>J+\dyj\dy*J) 10. Si l'on vouloit déterminer pour un temps quelconque, les élémens des orbites planétaires ; il faudrait intégrer les équations différentielles {A) et (C) des nos 55 et 59 du second livre, par la méthode exposée dans le n°. 56 du même livre; mais l'ignorance où nous sommes encore sur les valeurs des masses de plusieurs planètes , rend inutile à l'astronomie , ce calcul dans lequel il devient indispensable de faire entrer les variations séculaires dé- pendantes du carré de la force perturbatrice, que nous venons de déterminer, et qui sont très-sensibles pour Jupiter et Saturne. Ces . . dh" dl" dp*? dqiv dhv _ variations augmentent les valeurs de— — , — - — ,<—— , — — , — — , &c. c dt ' dt ' dt J' dt \_dt .' relatives à ces deux planètes ; respectivement des quantités — - — /".^iv Ziv.^e" h™.^™ pw.^ç>" çIT.JN t ' e"t t cp™t t & c. dérant dans «Te", 'd).m\/ra +(V du n°. précédent 377i'.('577iV/^-f-2m'V/^'; (mVa'+m'V'a' ) aV^a' .(•jii — 277J2 m^^m^m On aura, en n'ayant égard qu'à ces termes . / — 1 '•■'. . / — , m m'. V ad eïe.mVa + eïe .m Va + ~ry=. r^-7^ mV a\-vdV a' ,nt. < ("571' — 2/2 Y .V ad [ ( /dp'\ , /fZP'\ /«WNl 3 7^.^777^7+2777'^; # j ^ | « \&) + ? ' ^7/ + ? \^ j or P et P' étant des fonctions homogènes en e, e', et >-, de la troi- sième dimension , on a Ydp'\ fe(2MÇ&r? on a donc s— ., mm' .V ad v mla + m Va' Considérons ensuite, le terme de ry\dy> )-) /dp\ r /ddp'\ , /ddp'\ (ddp'\} ( — j et ( — — ) sont homogènes en, e, e et y , de la seconde dimen- sion ; ce qui donne fddP\ , fddP\ (ddP\ /dP\ e\lF)+e \d7d7J+y\d^)==2\^)' e (iËL\+è> (ddpL\+y (^-\-a (^)- e\de> ) + e \dede') + y\dedyj- \de J ' de plus , f — J et ( — J sont homogènes en e, e' et y, de la seconde dimension , ce qui donne e\dedy) + " \de'dy) + 7\dy) \dyj> dedy) + 6 \de'd7ry\dy )~ \dy)> on a donc encore , en n'ayant égard qu'à ces termes, ' .V aa o = e£e.my~a +e'fe .m'^a' + mm mya + m V a F 2 U MÉCANIQUE CELESTE, Considérons enfin le ternie de Se, mm' .t \(dP'\ / ddP\ /dP\ /ddP'\ /dP'\ (ddP\fdf\ (ddP'\\. } ' \ \dï ) ' \de de'J\d7j ' \dTde'J + \dy) ' \de dy) \dy J ' \de dy) j ' (îri — 2n).\/aa' le terme de Se' mH UdP'\ (ddp\ fdP\ /ddP'\ (dP'\ / ddP \fdP\ fddP'\\. ftn'-2n).a'' { \de' J' \d^~ ) \d7J '\d7r) + \ dy~ ) '\dTdy) \dy )'\de' dy)]' et le terme de J'y mm (mVZ+m'VZ') Udp'\ ( ddP \ (dE\ fddP'\). C^.'-2n)V~a~a~' ' m'VZ' ' \ ' \ \d7 ) ' \d7d~J\ck') ' [de'dy) j ' on aiira encore, en n'ayant égard qu'à ces termes, y— , , , /- r mm' . .V a a' o=eSe.mva -reSe.mva + — r^ ,.^~ .y S'y. mV a -f- m V a' Cette équation a donc lieu généralement , en ayant même égard aux termes dépendans du carré de la force perturbatrice. La détermination du plan invariable, donnée dans le n°. 62 du second livre, est fondée sur les trois équations , c —m.V a.(\ — . e'\cos.C}JÏl — nt+iî'—i — 2™') + M('h ee. cos. (liït—?it+ le'— i—v — ™') + M^K e\cos.(lrit — nt + !<.'— i— 2 . e'1 . (JV— JV; . sin. f 3 nt—nt+ 3 «'— « — 2 v ) (dM^\ , JV + a . — — .ea. — .cos.r37z'f — nt+l°. — s — im ) \ da J a , /dMW\ , JV + a . [.-— — .ea.— -.cos.^ra* — /zH-ie — s — a»J> \ da J a d'où résultent dans R , les termes — \.M-°\é\E' .cos.(<\n't — 2nt+^t'— 2 s — 2-»'— 5'j + '-.M^.e'\E.cos. (* — B) — \.ridt.aa! . f —- — J . F. e*. sin. (^n't — 2 nt + 5s' — 2 e— - 2 -sr — A). Enfin, le terme M^y0, .cos. ($n't — nt+^e — s — 2U) résulte du terme multiplié par y", cos. (^v — v) dans l'expression de R\ il faut donc y faire varier a de >$■ v'— £p).s\n. C^n't — nt+^e'— s — 2n; /dM&\ ?r ' ,. + c.( — - — ).>". — .cos. O71' — wf+3e' — e — 2IIJ + .— — .cos. ^3/j * — nt+$t — 1 — 2TI); d'où résultent dans a' .A'R, les termes suivans %.(jri—n).dt.a'MVKE'.y\siï\.(j;sm.(rit— zn't + t— s «' + <*'; + a.[ — - — .e . — .cos. Çnt — an't+t — 2 s' + <&') \ da J a + <3 •( — 7T_ )-e .-^-•cos. frai? — zn't-\-i — 2.1' -\-— {.m. aa> . f^Ç-\ En réunissant toutes ces expressions partielles de a '.d'i?, on aura un terme de cette forme , mn .I.dt.sïa. (jn't — 2nf-\- jz — 2 e — O). Le terme yd .ffndt.HB.., de l'expression de JV, donnera ainsi, 3ra'3.r.m , , ; — ; .sin. ( %.n t — 2nt+ ti — 25 — O). ( mars la valeur de ^d{'> n'est pas la même pour les deux planètes, et par conséquent les termes ' M^.e'\cos. ('T,nt — nt+p' — s — '&<*') , et N^..e' .cos. (nt — aa'i+s — 2è' + Vj , SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 51 divisés parles masses perturbatrices , sont différens pour chacune d'elles. Mais il résulte du n°. 65 du second livre, qu'en n'ayant égard qu'aux termes qui ont (jn — in)* pour diviseur , on a dans ce cas, fdR/+fà'R = o, Rt étant ce que devient R, relativement à Jupiter , etla caractéristi- que différentielle d se rapportant aux coordonnées de Jupiter; d'où £1 suit que l'inégalité de Jupiter qui correspond à la précédente , est ; . l.sin.f=.(^rit — 2?it)-\-^ + E} . Maintenant, la suite des opérations qui lient Hk L, donne aux parties de H les diviseurs (i'ri — in)2, i'ri — in, i'ri — in±n. La même suite d'opérations donnera à l'inégalité correspondante aux parties de q H. cos. {i'rit — int =h (^rit — 2nt)+^4+E}, les diviseurs {i'ri — in d= (^ri-2n)}î,i'ri-inid=.(^ri-2n), i 'n '-in-±z(jn f-2n) dtzn. Si in — in ou i'ri — inds^n ne sont pas très-petits de l'ordre ri — 2n, dans ces derniers diviseurs, et alors l'inégalité correspondante à q H. cos. {i'rit — intd^Ç^rit— 2nt) + '^+E} sera qL.sin.{i'rit— intzàz(^rit — 2nt) + B + E}-, G 2 fa MECANIQUE CELESTE, ce qui revient à augmenter dans L*sin,(i'n't — int-\-Bj, nt et n't, des grandes inégalités. Il faut pareillement augmenter dans les termes dépendans des simples excentricités , les quantités e , e\ -sr, <&', de leurs varia- tions dépendantes de l'angle ^n't — int ; mais on s'assurera faci- lement qu'il n'en résulte que des inégalilés insensibles. ÎO. Les coefficiens des inégalités des planètes varient à raison des variations séculaires des élémens des orbites : on peut y avoir égard de la manière suivante : on mettra d'abord l'inégalité rela- tive à un angle quelconque i'n't — int, sous cette forme, P. sin. (i'n't — int-\-i't' — ie) + P' .cos. (i'n't — i nt\ iV — it). On déterminera les valeurs de P et de P', pour l'époque de 1750 ; en faisant ensuite , P' tang. ^ = ¥ ; L = VP* + P'*; le signe de sin. ^4 étant le même que celui de P', et son cosinus étant du même signe que P ; l'inégalité dont il s'agit sera, Zv.sin. (i'n't — int+i't — it-\-.^4). On déterminera les valeurs de P et de P' pour io,<)0, en ayant égard aux variations séculaires des élémens des orbites 5 et l'on aura ainsi pour cette inégalité, en 1950, (L+ S;L) . sin. (i'n't — int+ iî — i s + A + £^4) ; en exprimaut donc par t, le nombre des années juliennes écoulées depuis 1750, l'inégalité précédente relative au temps t, prendra cette forme , / t.*L\ . ("., , . ., , . ' t. *J) L> + - — - ) . sin. \mt — mt-\-i i — n + ^x-\ ; . \ 200 / (. 200 J Sous celle forme , elle pourra s'étendre plusieurs siècles avant et après 1750. Mais ce calcul ne doit avoir lieu que pour les inéga- lités un peu considérables. Relativement aux deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, il sera utile de porter l'approximation jusqu'au carré du temps, dans la partie qui a pour diviseur (}n — 2n)2. Cette partie de l'expression de .JV est parle n°. 8, SECONDE PARTIE, aa.dP' LIVRE VI. 53 (jiï — 211)* u< p- ■Le- (jri — an), dt 2 a. dP' ($n' — 2n).dt la.dàP' ") . , , , ) ; — >.sm. () K' ^> y( ■\a.ddP ") — - — ps -<—r-\.GOS.(Krit — 2Tlt-\- r' aa.dP' ^n.ddP ddP' (în'—2n).dt (yi—anf.d? f dP za.ddP' ) {a'~dt"~ ( et négligeant le carré de e , 56 MECANIQUE CELESTE, . n'.r£r. { i +ie.cos.(nt+i — ■*)} — —.nW* (t-kq) dt* - • '- 3 La parlie elliptique de — est 1 — se.cos. (nt-ri < — <&); en y fai- ■.n\D\ (t-^e.cos.f/zi-H <*)}; i ce qui donne en intégrant, — — r-0 — ïsO-— • (i— 3e.7Z^.sin.(f;zZ-l-e — ^J)}. sant donc varier ■s- de S ta , on aura — = — eJ^.sin. ( ntA-î — «). Si l'on compai'e celte expression de — ^-, à la précédente ; on aura D2 D'.t a2- l'effet le plus sensible de l'ellipticité du soleil sur le mouvement de la planète dans son orbite , est donc un mouvement direct dans son périhélie ; mais ce mouvement étant réciproque à la racine carrée de la septième puissance du grand axe de l'ellipse plané- taire , on voit qu'il ne peut être sensible que pour Mercure. Pour avoir l'effet de l'ellipticité du soleil sur la position de l'or- bite ; reprenons la troisième des équations (P) du n°. 46 du second livre. Cette équation peut être mise sous la forme suivante : ddz Prenons pour plan fixe celui de l'équateur solaire , ce qui donne (; f4a"=— . En observant ensuite que ri = x*+y* -f z*, on aura 'dR\ , n\D* l'équation différentielle précédente devient ainsi , ddz ( 3^r , , -O'I or on a par ce" qui précède , 2 on SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 57 on a donc ddz f , „ un o =■ ce qui donne en intégrant, ? étant l'inclinaison de l'orbite à l'équateur solaire , et ô étant une constante arbitraire. Ainsi les nœuds de l'orbite sur cet équateur , ont un mouvement rétrograde égal au mouvement direct du péri- hélie , et qui par conséquent ne peut être sensible que pour Mer- cure. On voit en même temps que l'ellipticité du soleil n'ayant aucune influence ni sur l'excentricité de l'orbe de la planète, ni sur son inclinaison à l'équateur solaire , elle -ne peut pas altérer la stabilité du système planétaire. Mécan. cku. Tome 111. H •ç8 MECANIQUE CELESTE CHAPITRE IY. Des perturbations du mouvement des planètes , produites par l'action de leurs satellites. 10, JLes théorèmes du n°. 10 du second livre, offrent un moyen aussi simple qu'exact , pour déterminer les perturbations des pla- nètes, dues à l'action de leurs satellites. On a vu dans le n°. cité , que le centre commun de gravité de la planète et de ses satellites , décrit à très-peu-près un orbe elliptique autour du soleil. En considérant cet orbe . comme étant l'ellipse même de la planète ; la position respective des satellites entre eux, et par rapport au soleil , donnera celle de la planète par rapport au centre commun de gravité , et par conséquent les perturbations que la planète éprouve de la part de ses satellites. Soit M la masse de la planète ; R , le rayon vecteur du centre commun de gravité; U, l'angle que ce rayon fait avec une droite invariable prise sur l'orbite de ce centre , et d'où l'on compte les longitudes. Soient m , m, &c. les masses des satellites; r, r, &c. leurs rayons vecteurs; v, v', &c. leurs longitudes vraies ; s, s, &c. leurs latitudes au-dessus de l'or- bite du centre commun de gravité. Enfin , soient X , Y, Z les coordonnées rectangles de la planète , en supposant leur origine au centre commun de gravité , et prenant le rayon R pour l'axe des X, Z étant la coordonnée perpendiculaire au plan de l'orbite de ce centre. On aura à très-peu-près , par la propriété du centre de gravité , et en observant que les masses des satellites sont très- petites par rapport à celle de la planète , o = M. X+mr. cos. (v — U) + m V . cos. (v'—U)+ &c; o = M.Y+mr.sm. (v — U) + m V . sin. (V — U)+ &c; o = M.Z + m.rs + m'.r's'+ &c. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 59 La perturbation du rayon vecteur est à très-peu-près égale à X, et par conséquent à t .7*. cos. (v — U) .r'.cos. (v — U) — &c. La perturbation du mouvement de la planète en longitude est à y très-peu-près — , et par conséquent égale à . — .sin. (v — U) — ^-^.'sk (v — U) — &c. M R M R v y Enfin , la perturbation du mouvement de la planète en latitude , est à très-peu-près — , et par conséquent égale à m rs m' r's' g£C M' R M R Ces diverses perturbations ne sont sensibles que pour la terre trou- blée par la lune ; les masses des satellites de Jupiter sont si petites par rapport à celle de la planète , et leurs élongations vues du soleil , sont si peu considérables , que ces perturbations sont in- sensibles. Il y a tout lieu de croire que cela a également lieu pour Saturne et Uranus. Hs 6o MÉCANIQUE CELESTE, CHAPITRE V. Considérations sur la partie elliptique du rayon vecteur ei du mouvement des planètes. 2 0. -L^ous avons déterminé dans le chapitre vi du second livre, les arbitraires , de manière que le moyen mouvement et l'équation du centre ne reçussent aucun changement par Faction mutuelle des planètes ; or on a dans l'hypothèse elliptique , — ^-==m*^là masse du soleil étant prise pour unité ; ce qui donne a = n J .(i + \m) : tel est donc le grand axe dont on doit faire usage dans la partie elliptique du rayon vecteur. Si , comme nous le ferons dans la suite , on suppose 2 1 a = n 3 5 a = n' 3, &c. ; il faudra dans le calcul de la partie elliptique du rayon vecteur, augmenter respectivement a, a', &c, des quantités jma, jra'fl',&c, ; mais cette augmentation n'est sensible que pour Jupiter et Saturne. On appliquera ensuite au rayon vecteur, les corrections don- nées par les formules du n°. 50 du second livre , et par les nos pré- cédens. Ces corrections contiennent les deux termes, — m'a.fe.cos.(nt + i — m) — m'a.f'e .cos. (nt+i — '&')-) fetf étant déterminés par les deux équations suivantes, équations données par le n°. 50 du second livre, en changeant seu- lement le signe du terme o3.!--— - ) dans l'expression de f du n°. cité ; ce terme devant être affecté du signe — . La partie précé- dente du rayon vecteur peut être réunie dans une même table, avec la partie elliptique de ce rayon. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. CHAPITRE VI. Valeurs numériques des diverses quantités qui entrent dans les expressions des inégalités planétaires. 21. roDR réduire en nombres , les formules exposées dans le second livre et dans les chapitres précédens ; on est parti des don- nées suivantes : Jlîasscs des planètes , celle du soleil étant prise pour unité. Mercure * ..... . m — ; 202,8 lO Vénus m = ■ : ; La Terre m" =; - — - — ; 329650 1 Mars ni 1846082 7 Jupiter -. 77zIT= Saturne m Uranus ni 1 1067,0g 1 3359,4°' 1 i9î°4 De toutes ces masses , celle de Jupiter est la mieux connue : je l'ai conclue de l'équation suivante qui résulte du n°. 25 du second livre. Si l'on nomme T la révolution sydérale d'une planète m ; T, celle d'un de ses satellites , dont q est le sinus de l'angle sous lequel le rayon moyen de son orbite est vu du centre du soleil à la moyenne distance de la planète à ce centre ; la masse de la pla- nète , celle du soleil étant prise pour unité, est !-3o de celle que nous avons admise; la valeur de la masse de la terre doit varier comme le cube de cette parallaxe, comparé à celui de J'ai conclu la masse de Vénus, des formules que je donnerai dans la suite, de la diminution séculaire de l'obliquité de l'éclipti- que à l'équateur, en supposant cette diminution égale à 15430". C'est en effet celle qui résulte des observations qui me paroissent mériter le plus de confiance. Quant aux masses de Mercure et de Mars, j'ai supposé, d'après les observations , les diamètres moyens de Mercure, Mars et Jupiter, vus à la moyenne distance de la terre au soleil, respectivement de 2i",6o ; 3 5",iq, et 626",o4. Ces diamètres donneraient leurs masses , celle de Jupiter étant connue , si l'on connoissoit la loi de leurs densités; or, en comparant les masses de la Terre , de Jupiter et de Saturne , à leurs volumes; on trouve que la densité de ces trois planètes, est à-peu-près en raison inverse de leurs moyennes distances au soleil ; j'ai donc adopté la même hypothèse, relativement aux trois planètes, Mercure, Mars et Jupiter ; d'où résultent les valeurs précédentes des masses de Mercure et de Mars. L'irradiation et les autres difficultés qu'offre l'observation des diamètres planétaires , jointes à l'incertitude de l'hypothèse adoptée sur la loi de leurs densités , rend ces valeurs d'autant plus incertaines , que cette hypothèse s'éloigne de la vérité, relativement aux masses de Vénns et d'Uranus. Heureuse- 64 ME CANIQUE CELEST E,' ment , Mercure et Mars n'ont qu'une très-petite influence sur le système planétaire, et il sera facile de corriger les résultats suivant! qu'elles affectent, lorsque le développement des inégalités sécu- laires aura fait connoître exactement leurs masses. 2 2, Moyens mouvemens sydéraux des planètes , pour une année julienne de 365>ours \ , ou valeurs de n, n', &c. Mercure. , n == 1 6608076", 50 Vénus ri = 65oig8o",oo La Terre n" = 3Cjgc)93o",o9 Mars ri'"= 2 126701 ",00 Jupiter... nIV=: 3372io//,78 Saturne ri" = 1 357g 2/y, 3 4 Uranus ri*l= 476o6",62. En employant pour n , ri, &c. ces valeurs , le temps t désigne un nombre d'années juliennes. De-là , en prenant pour unité la moyenne distance du soleil à la terre , on a conclu , par la loi de Kepler, les distances moyennes suivantes, des planètes au soleil. Distances moyennes des planètes au soleil , ou demi-grands axes de leurs orbites. Mercure a = 0,38709812; Vénus a = 0,72333230; La Terre a''== 1,00000000; Mars a"= 1,52369352; Jupiter — a"= 5,20116636; Saturne av — 9,53787090; Uranus. ...... 0^=19,18330500. L'action mutuelle des planètes altère un peu ces moyennes distan- ces : nous déterminerons dans la suite ces altérations, Rapports SECONDE PARTIE, LIVRE VI. fr Rapports des excentricités aux moyennes distances , ou valeurs de e , e', &c. pour iyâo. Mercure e = 0,20551320; Vénus e' == 0,00688405 ? La Terre e" — 0,01681395; Mars e"— 0,09308767 ; Jupiter e,T= 0,04807670 ; Saturne e = 0,05622460; Uranus eTI= 0,04669950. Longitudes des périhélies en iySo, ou valeurs de «■, -s-', &c. Mercure ?.-.= 8i°,74oi ; Vénus «•' == i42°,i24i ; La Terre -s-" = ioy°,579o; Mars ^w= 368°,3037; Jupiter ■srIÏ= ii", 501 2; Saturne = 2,1721751 ; £/')— 0,6057052 bl{î'>= 0,1 107665 ; b^>= 0,0520855 £i(G)= 0,0123166 ; bJ-7'>= 0,006063 3 &/9)= 0,0012758. èi(a)= 0,2465877 ; 2 ô/5)= 0,0251378 j £,W= 0,0029287 ; rf5rco — j — =0,780206 ; ace "ir=0'69,487 ; ;== 0,147708 ;. = 2,756285 ; d'bzw -~- = 1,5110.6 ; du dS d>bS3"> -ir=1^^ ; --^=1,07007!; dbW db^-) 0,423818 ; -^—=0,252376; dbW ■^ = 0,085953 ; -^-=0,050726. da dbS^ d''b co da. a d*a d*b,W — = 2,426165 ; 2,826559 2 2 = 3,395022; V379°6i =.1,014134. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 67 tPbW dsbt^ d3bW _L- =11,308703 ; _^:=12,o6'4245 5 -^r- = 11,983424; dsb& d3bj-f) d3b^î -^-=14,584366 ; —tr= i6,o67g4o ; -^--=15,617274 5 d3b es) d«3 ^-=13,720218. <£t3 rf^CO <**&/« d*bW -^-=69,605945 -^-=82,36773; -^"=93,726105 -^-=105,33962. b,}°) = .452iéiî4 ., 6/0= 3,0353*76*; *,(•>= 1)95o536; 1 x 1 è/3)= 1,19,2372 ; 6/0=0,708667; 6, (3)= 0,413762; 1 1 6 6/0=0,238807. dbW dbW db,W = 12,506305 _JL_ = 9,76666 ; _I__=7jo8399; 4- =4,88781. rf* ^-=78,094765 _i_.= 67,i4764 MERCURE ET LA TERRE. *.— ^ = 0,38709812; d'où l'on a conclu , 6^ = 2,07565247; £«= — 0,37970591. I2 68 MECANIQUE CELESTE, Ensuite , £*>= 2,081980 ; £/0 = o,4in4o ,- £/0 = 0,120178; 2 2 a bW = 0,03 8900 ; bW == 0,01 3 202 • bj» = 0,00 i6o3 ; u a a ^=0,001629; A/0— 0,000573 3 i/0 =0,000177. » 3 3 «fô/O jft^CO o^c»0 -^- = 0,464378 5 _^=Ij]99633 . ^_=0jG6î739. d&/3) ^^4) rf^CS) -|- = 0,316756 ; ~j- = o,i4i792 ; -|~=b;o6i453i ^-=0,026l30 5 -^- = 0,011153. **iCOJ **rw «rt.w -^-=1,672199,5 -^=1,220775 i -^=2,235935; rf2è/3) ^4) ^£S) -^= 1,852364 ; -^-= 1,197245 ; -^-=0,670874. c% c0 tpj, C3> o5535. MERCURE ET MARS. " = 7,7=0,254053123 d'où l'on a conclu , bil\~ 2>°3 240384 ; *!!5x = — 0,2 51 9865 7. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 69 Ensuite, b^o) = 2,033500 ; b}l) = o,26o462 ; b}z) = 0,049765 ; a ■ 3 3 btW = 0,010546 ; iI(4) = 0,0023 31 ; bj^ = 0,000538. 3 3 » rf^CO dbj» dbW -A-= 0,2738,9 ; -±-=1,077839 5 -£- = o,4oflg8o; -^- = 0,127139; -^-=O,O3778l0 d*b& d*bW d'bW -^-=1,244725 j -^- = 0,656780; -^-=1,778641; -^-=1,050458. ^m =2,322536 j. £/'> = 0,863876 j èî(ï' = o,-272o85. MERCURE ET JUPITER. «=-^ = 0,07442555; d'où l'on a conclu , b{°\ = 2,00277053 ; b(-\ =—0,07437397. En déterminant , au moyen de ces équations et des formules du n°. 4g du second livre , les valeurs de b^°\ ô^'^&e.; on a reconnu 3 3 qu'elles deviennent de plus en plus inexactes , ce qui a lieu dans tous les cas où * est peu considérable ; parce qu'alors ces valeurs sont les différences de nombres qui diffèrent très-peu entre euxj en sorte qu'il faudroit avoir ces nombres avec une très-grande préci- sion, pour déterminer exactement ces différences, ce qui exige- roit l'usage des tables de logarithmes à dix ou douze décimales. 70 MECANIQUE CELESTE, Pour obvier à cet inconvénient , il faut recourir à la valeur de bs^\ en séries : on trouve par le n°. cité, s s+i „. s.s+i s+i.s+i+i Kfi>— „'-'+i-H-a *+£— 1 J n+i 1,2 i+Li+2 ï-2-3 1 S.S+l .S+2. s+i.s + i+i ..S-fî + 2 ■ , - .ab + &C.| 1.2.3 t-j-i . i-^-2.i+3 Cette valeur de b® est ici très-convergente , à cause de la petitesse de a. : c'est par son moyen que l'on a déterminé les valeurs de &/0), b^'\ &c. ; b^°). 1 ,&ç. , dans tous les cas où a. est peu considérable. On a trouvé de cette manière, pour Mercure et Jupiter, b}°)= 2,002778 ; £/0 = 0,074581 ; ^^3=0,004164; â â â ô^3)^ 0,000258 ; bJ>V= 0,000017. rf^'o») tfiJCO rfj/o db C3) -f— = 0,074891 ; -3—= 1,006269 ; -^—=0,1113805 cla au cl» du = o,oio4s8. d>bt<-°> ■■&&&?■ &bW 1,0188765 —-^- = 0,171781; —^-=1,499780. d«* ' ' ' rf«* ' ' ' ' da* 6,(0)= 2,025143 j £/') = 0,225613 ; £_/*> = 0,020984. MERCURE ETSATUR NE. « = -^r == 0,04058547; d'où l'on a conclu , *«3^s 2,00082368 ; je15 = — 0,04057711. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 71 Ensuite , b^ = 2,000823 j é^'> = o,o4o6io j h^ — 0,001236; 2 a a £/3)= o,oooo42 ; b^ = 0,000001. e»xC<0 dbW db^ o,o4o66fl ; —~ — — i,ooi84i 3 -^— = 0,060919$ da. ' ' rf* ^« -J- = 0,003085. -^-=1,003904 ; -^-=0,091840; -^-=i,469i88. MERCURE ET URANUS. *=-— = 0,02017895 ; d'où l'on a conclu , W\ = 2,00020360 ; b{1\ = — 0,02017792. Ensuite, b}°\= 2,000182 ; V') = 0,020183 ; iW- 0,0003063 _|- = 0,020196 ; -X- = 1,0009x3. VENUS ET LA TERRE. a *«= ^r = °^7233323°5 d'où l'on a conclu , #*» =2,271591625 6e0, = ■ — 0,6722632151,, 72 MECANIQUE CELESTE, Ensuite , V°> = 2,386343 ; ^0 = 0,942413 j £«= 0,527589; a 2 a Z>,(3? = 0,323359 ; .£/« = 0,2068 u j */5> = 0,135616; 0/^ = 0,090412 j i>tyz= 0,66'iiai j by> = 0,041731. db^ db^o db^i 1,643709; — f— = 2,272414 ; —*— = 2,069770 ; rf£/3) rf^GO ^'C5) = 1,738781; --^- = 1,407491; -^-= 1,11370/1 = 9>992539 5 £/'> = 8,87x894 ; £^ = 7,386580; "*,(,)=5>9539*o 5 ^(t)= 4,704321 ; i/3) = 3,653052, 12 1 db,W dbW -^— = 56,65440 ; —J— = 50,90-290. VÉNUS SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 73 VÉNUS ET MARS. * = ^7 = 0,47473390; d'où l'on a conclu , £M = 2,11436649; 6^ = — o,46og43go. Ensuite , b& = 2,129668 ; b™ = ©,521624 ; b^= 0,187726; 9 3 2 £/3> = 0,074675 ; 6/^ = 0,031127 ; V5) — °;OI3337> 2 22 6^ = 0,005829. a rf^C0) dft/O i&W -^- = 0,6317^ ; -i-= 1,3307.81 ; -f- = o,S84io6; db& dbw db^n -—- — 0,510976 ; -—- = 0,279002 ; "-—- = o,i476o6. d*b rW (f'ôjCO rf^O) -^- = 2,192778; -^-=1,815836; -^-=2,795574; — r^— = 2,628516 ; — -2 — = 2.oo442Q. «Pi/O d3i/0 <#£ CO _^_ = 7,6544o; -^- = 8,45655; ^=8,17676; = 10,66513. 6/°)= 3,523572 ; 6/1> = 2,3o448i ; ft.W — 1,325959 6/^ = 0,722687. MÉGA.N. cél. Tome J/J. jç 74 MECANIQUE CELESTE, VÉNUS ET JUPITER. *= — = 0,13907116; d'où -l'on a conclu, b{°\ = 2,009682 1 5 ; ~ 2 b(-'\ = — 0,13873412. . *~ 2 Ensuite , 6/°> = 2,009778 ; 6/') = 0,140092 ; 6/2) = 0,01 46*2 3 ; 2 2 2 6/^=0,001695 ; 6/4) = 0,000206 ; 6/5) = 0,000026. â 2 2 «B^o «»/») d^CO = o,i42i6o ; —^ — = 1,022206 ; -— — = o,2i2o45; dm. ' ' d* 7 7 dcc db.& dbW ~ — = 0,036783 ; — ^— = 0,006111. CL Jr CLd \ d*bw = 0,432801 ; 6/^ = 0,075054. VENUS ET SATURNE. «= -- = 0,07583790; d'où l'on a conclu, ôWt = 2,00287673 ; — 2 #", = — 0,07578334. 2 Ensuite , 6/°) = 2,002886 ; 6/') = 0,076002 ; 6/a) = 0,004323 j 6/^ = 0,000273 ; 6/^ = 0,000018. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 75 tft/O db& db^W --2— = 0,076331 ; ~- = i,oo64go j -~- = 0,1 14267 ; dbK&) — ~ = 0,011085. d'^O) #6/° «*»&,<» -^-=1,019629 ; -^-=0,172510 ; -^-=1,419950. £,<°> = 2,026116 ; bt? = 0,229988 ; 6.^ = 0,021791. VÉNUS ET URANUS. a' *= — = 0,03770634 ; d'où l'on, a conclu , iï°\ = 2,00071095 j — a ftw = — 0,03769964. " a Ensuite , 6^°)= 2,000712 ; è^') = 0,037725 ; 6,^=0,001067; 2 2 â fc W = 0,000034. <&,<» di/O rf^o) -J— = 0,716690 ; -^- = 1,000829 ; _jL- = 0,056634. LA TERRE ET MARS. a" « = -7^ = 0,65630030; d'où l'on a conclu , #°> = 2,22192172 ; ^ = —0,61874262. K2 76 MECANIQUE CELESTE, Ensuite , £^0)= 2,291132 .bW = 0/224598 èx(6) = 0,046595 ^0=0,804563 ; b^ = 0,405 584 j bM= 0,129973 ; b^ == 0,077170; 6^ = 0,028480 5 bp = 0,017565. dM°> dô.d) -^ = i,228o78; -ir=1>871211 dM3) <%(*) -A- = i,24o99o 5 -£- d& (6) : -7—= 1,6012365 0,920710 ; -7- = 0,666207 j _'_ = 0,473942 ; J6(7) d« 0,333444. d*b^°) 2 d«2 d2^ 2 d«* d«* d*b(>) d*b~M = 4,985108; --J- = 4,744671 ;_ -^-=5,731111; 6,057860 ; = 4,388001. da 2 d3è c°) «PJCO d»3 2 ~~dJ' = 29,03400 ; ---- = 29,78930 j d«3 d^i (4) = 33,2938l d«3 36,32093 cFIS--) d«? d3b^ 2 " d«? 30,1 8848; = 37,2390b. b,M= 6,856336 ; b,M è> = 3,255964; i« 2, 2 Z>/6) = 1,174650. 5,727893 ; 2>,(2) =4,4o453o 2,351254 ; b{i) = 1,671668 -£- = 31,80897} (3) dbp) da 32,26285 ;i .-|-= 18,25867. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 77 LA TERRE ET JUPITER. a" A — = 0,ÏQ22646l : d'où l'on a conclu , aw =2,018525935 ^ = — 0,19137205. Ensuite , 0^= 2,018885 ;' £(■> = 0,105003 ; J(') Q ! } ' ! ' J^ i ' I =0,028195 ; b&= 0,004516 5 ôtw= 0,000779 ; £t(5)= 0,000132 ; - 2 â Ôi(6,= O,OOO023. 2 -^ = 0,200586 ; -£- = I,o432o4 ; ^=0,297995; dbj3) dbM dbx& — ^- = O,07O932 - —^ = 0,0163695 -^-=0,003448. &b£°) d?bfi) d*b^) ~d~= 1,132355 5 -ir = o?466i65 ; -^~= 1,628667 ; d*bW * -^- = o,74668i. (Pbf d3b^ c&bM SSC = ]'4727^ 5 -^J- " 2'874g86 ; -^- = 1,418830. ô,w= 2,176460 ; 0^=0,619063; ^=0,1 48 198; è/s>= 0,032439. LA TERRE ET SATURNE. a *= — = 0,10484520 ; 78 MECANIQUE CELESTE, d'où l'on a conclu , £W = 2,00550004 ; b('\ == — 0,10470094. Ensuite , &/0)= 2,005535 ; 0/°= 0,105283 ; è™— 0,000*282; fc/3)= 0,000724 ; b1^)= o3oooo66a . ** ï ift.W dJ/O cZ5/0 _L_ =,0,106155 ; -^-=1 ,01^36 j -^-=0,158723 ; -^-=0,020779. rf^C») rf'i/O d»^ÇÔ -^- = 1,037816 ; -^- = o,a46i93 5 -^- = 1,526303. érW== 2,050321 j ô/°= 0,321144 ; 5,w= 0,041977. LA TERRE ET URANUS. * = — = 0,015212866: d'où l'on a conclu , b= 2,045112 ; £ w = 0,302922 ; £« = 0,066812: 6^ = 0,016357; £1(4) = o,oo4j92 ; è/s) = 0,001109; 1 1 1 i/63 = 0,000297 5 £,(7) = 0,000081. rf*.w <»,('> tf^w - -£- = 0,32*004 j -^-=1,10,998 ; -±- = 0,473717; &>£* db±«> . d»rW ~ir = 0'F72096 ; ~ = 0,058420 ; -J-- == 0,019258; -~ =0,006173. ^iW d'A/O rf^M "^-=1,338759 ; ~^- = 0,794557 ; -±-:= ,,87I538: -zr=1^88^ 5 -^- = 0,623184. «PJ.fc #4,(0 d3ip -^- = 2,69358; ~- = 3?77722 ; ^,=s9fQlpQS. 1 ~ = 5,47068. »iw = 2,i44762 ; b;i* = I,o4o2o6 ; , J,w = o,376693 ; £/3) = 0,127942. 8o MECANIQUE CELESTE, dbf** dbM rffr.W -^=3,488î5'; -±- = 458o54o j -p= 2;99684. MARS ET SATURNE. tir * = 7T = 0>M97 5l87; d'où l'on a conclu , b^L— 2,01278081 ; z b('\ = — o, 1 5924060. Ensuite , b^ = 2,012945 ; i/1) = 0,161305 ; b^ — 0,019347 '■; Z*/3) = 0,002577 j 0/^=0,000360 ; é/5) == 0,000052. T T T «B.co ds.co db.& -^ = o,i64463; -J- =1,029493 ; ~^= o,244843 5 — > - — = o,o4874o : — ; — = 0,000065. da .11 fa j d*è,w d*by> d*by> _I_= 1,090095 ; -^- = 0,379322; -^-=1,596248; d*b l» -^=0,620632. j(0) = 2,119585 ; bW= 0,503071 ; 6,W = 0,100136. MARS ET URANUS. * = — — 0,07942807 3 d'où l'on a conclu, SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 81 £^ = 2,00315565 ; z b<-K = — 0,07936538. Ensuite , b}°î = 2,003 167 ; £_,(,) = 0,0796 1 7 ; î/9 = o,oo4y46 ; * » » è/3) = 0,000314 ; b^> = 0,000022. db£>~> -~ = o,oj9995 ; -^- = 0,011982. ; — = l,O07i44 : a* --^— = 0,119822; JUPITER ET SATURNE. d'où l'on a conclu Ensuite, b,W = 2,1802348 ; z bP = 0,1179750 ; .3,(6)= 0,0139345 ; bp = 0,0018056 ; * = — = 0,54531725; ^=2,15168241; &(0, == — 0,52421272. 2. £/') = 0,6206406 ; X bW = 0,0565522 ; by> = 0,0070481 ; z by°ï = 0,0008632 ; £/) = 0,2576379 ; 1 b$) = 0,0278360 ; z 6/3 = 0,0035837 ; z J/l,)= 0,0003223. -ir 7F °'8°8789 -^=0,726550 db& -^-=0,163506 dè/9) : 0,033083 de. _ï_= 1,483154 ; dbw -?-= 0,453285 ; dô/7) -f- == 0,096019 ; -4— = 0,020265. d» Z d*. db.W —7— = 1,105160 ; = o,-27 47 17 _!_ = 0,056171 ; Mécan. cél. Tome III 82 MECANIQUE CELESTE, d^bW d*by> d*bW -±- = 2,875229 ; -jL- = 2,55^8 ; -±- - 3,y2ioio; d-b^ [d*bW dfbW -^—=3,533622; _X_ = 2,995647 ; -^—=2,302428; rf^/6) d'i/O d>b^ -jL-= i,664586 5 -^L = 1,144377 5 -^-=0,760603; -^-=o,485i3î. d?bi?) dtë/O d^co 4- = 12,128630 ; -jV= 12,878804 ; _J- = 12,832050; d*3 ; J ' d«3 ' ' ' d«3 ïPè2C3) ip^M) iPi^CS) -^- = 15,454850; _£_= ,.7,058155 ; -^-=16,655445; ePb-W d3b^ d3b& 14,958762; -^-—12,234874; —^—=9,566420. d^C») d^co -'dtf/o -5- = 84,40159 5 -# = 83,94825 ; J£- - 87,3027 ; rf4JxC3) d^/4) d^C5) -^=89,8615 ; _!_=! 01,3809; -A- = 113,5238 d*£ C6) rf4£ C;) -^-=118,6607; -^- = 115,9588. d=b^ tf^Oî d&#,« _î_ = 747,48o ; -^-=753,4x7 ; ._*_ = 76i,843i dtf C3) c£>£ (4) dob C5) -^-= 785,884; -^ = 8,9,180; -A- -884,505; d?b^ -^- = 912,301. ^=4,358387; i/') = 3,185493 ; 0^=2,082131; 6/)= 1,295672 ; ô,W)s= o,784o84 ; *,W= o,466o47; SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 85 b& = 0,273629 ; ^ = 0,158799; V8)= 0,0922903 X 1 x *,<9)— 0,0539a 2. X t^O) <&}C0 dJ$CO -^-=14,681324 } _L_= 15,339657 ; -^- — 13,416026; dbw dbto db& ~j^= 10,5986! 1; -^-=7,802247 ; -^-=5,470398; db}& dbW dbW -^- = 3,710043 ; -^=2,426079 ; _!_ = M63695. d*bf) d*b}& d*bW ^- = 96,68536; -J_=94,9l7ol ; ^L_= 93,19282; d'bW d*bW &b& -^- = 86,90215 ; _^_--= 75,08115 ; -^-=61,10155; d'b.W d'b W -^- = 47,48x85 5 -^- = 3 ^7^3 5 5- <23è,C°) d3è,C') d^CO _JL_ = 830,0586 j -JL-= 830,1580 ; -il = 8.o,io45 ; d3bW d3o; «3 d3b^) -^- = 785,5855 i -^- = 740,6775 ; -é- = 666,4o8o; = 0,01 287g bp = 0,0001 8 5. M1) = 0,278966 ; J,W = 0,0569065 £^ = 0,003058; b,^ = 0,000745; du. db C3) c/Ê.CO (0 133359- ^ = 2,372983 ; 0^=0,938794 ; ^ = o,3i5i86: 7. 2 a £/3) =0,099 2 60. SATURNE ET URANUS. a = — = 0,49719638; d'où l'on a conclu , tt\ = 2,12564287 ; 1 ic0, = — o,48 131675. Ensuite , 6,(0) = 2,i4444o ; ô/0 = 0,552007 ; è/2) = 0,208313 3 %w = °'°3 79 °9 î è/5) = °>ol699° î i,w = 0,003522 ; 6/8) = 0,001 ^47. 6^=0,086834 z è/6) = 0,007728 SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 85 tfè/°) dbM dby-1 -L.= 0,683055 ; -j- = 1,373806 ; -£- = O049ia8; db& dbW db& -Jl_= 0,572896 ; -JL = 0,327198 5 _J_ = 0,181370; -^- = 0,098799; -^-=0,053642. rf*/&,C°> «***,« d*b& -JL- = 3,377io2 ; -^- = 2,017767 ; -J-. = ,,992245 ; &&& dfbtf] d*b£?> _X. = 2,881218 ; -^=2,278077 ; -gp = i,6i647o ; = 1,067430. da2 cPb& cPbW iPbM ^V- = 87798999 5 -^V=9,578267 '; -^-=9,425450; ePbW cPbW d3b& -~-= H,9o4l4o ; -^T= 12,988670 ; -^-=12,135721. V°)==3375°905 5 ^(,)=2;547992 5 £J(S)= 1,530452; 1 1 x £/3> = 0,872105 ; fc «') = 0,482564 ; b,f == 0,262146. -^- = 9?75656; -|r- = 7^4o97 ; -jr = 4*95052. 86 MECANIQUE CELESTE CHAPITRE VIL Expressions numériques des variations séculaires des élémens des orbites planétaires. 1 4. JMous allons présentement donner les valeurs numériques des variations séculaires des élémens des- orbites planétaires. Re- prenons pour cela les variations différentielles. des excentricités, des périhélies , des inclinaisons et des nœuds des orbites , données dans les nos 58 et 60 du second livre. Pour les réduire en nombre , il faut d'abord déterminer les valeurs numériques des quanti- tés (o,\), Qm], Sic. On a d'abord calculé les valeurs de (^0,1^ et pôTH, au moyen des formules suivantes données dans le n°. 55 du second livre, 3m'ra.«2.&Wi ■$m'.ii*.((i + a.*).b{,\ +id..b(-"\ -1 r^T] =±= l- -l ~-l-±. On en -a conclu les valeurs de (1,0) et [jj°] , au moyen des équa- tions suivantes trouvées dans le même n°. m. Va m. Va m . y a' m .y a On a obtenu de cette manière les résultats suivans réduits en secon- des , et dans lesquels les chiffres 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 se rapportent respectivement à Mercure , Vénus , la Terre , Mars , Jupiter , Saturne et Uranus. On a multiplié les masses précédentes des pla- nètes , respectivement par les facteurs indéterminés i+p, 1+^, i + ju", &c. , afin de pouvoir corriger immédiatement ces résultats, quand on aura les corrections des masses. (o,\) = Ci+^;.9//,42ii^2 ; fJ3 = fi+/0-6>53725; (o,u) = fi +/*";. a",974746 ; Q*] = (i + t,").i"^uo96; SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 87 (o,i) = ri+^';.o",i254o3 (0,4) = fi + ^;.4",862 57o (-0,5; = Ci+^v;.o",2486ii (0,6) = ('i+/uvi;.o",oo52 52 0,0; (l+P ). 1*303450 ; E3 o,*; (l+H"). 22^889753 ; EU 0,3; — (y+v"). o",4 57288 5 LidJ (^A) = (i+y-lv)- i2",7505i2 5 QÂ] 0,0 = r>+^;- 0 ",64003 2 . L^J o,v — (i+fV- o",oi3439 ; oà (2,0) = Ci+y. )■ o",30i 1^4 ; EE] foi; = O+f*'). i6",74c)o6o ; [m (^) = (*+•**/. 1 ",3364i7 ; El] 0,4; = rn-^V- 2i/,',444oi5 ^ El] (*,v = ri+^;- l/>5°745 i [îs] (2,6) rr: (i+^ti;- o",o2i899 ; 1 2,6 1 0,°; = 1V814.7 ; [13 (h*) = rnv;. 6",o634i3 ; PF1 (3,0 = (!+/*";. 44",47g5io ; m tW = Ci+^;- 2>3igi8 ;- [m] (hV = ci+k1;- o",o4i4S8 ; LmJ (tya) = ri+^ ;■ 0^,000699 ; EB CW = ru-* ;• o",oi3244 ; LiiJ (VO = rnv;. o",o3o439 i |xq r4,3; = o+p-"';- o",oi3gi6 ; [Ml (%0 o+^;- 2 3",77i4n s [SI] (4,6) Ovt/îV- 0", 298 294 ; EU f5>oJ ri+p ;■ •o",oooo83 , f^°l (5f0 = fi+p'J O%O0l^i') 5 03 65,2) ri+A") . o",oo3467 5 Liil Cm] = fi + f."')-o",039496; CËZ1 = ri+^ITj>-o",45i633 ; [^7] = (\-\-yy ).o'\o\zQiq; I 0,6 1 = ( 1 +^'9-°"j000129- = r-i-H-f* ;• o",837553 = r»+^";-i9>)8562 = ('l +/""'/ • O ",263 124 == (^£-'M"9! 2>11195 = ( 1 + f?' ) • o",o&o62i = (i+y"')- o",ooo634 (i+H )■ o",i'i^85 5 ; fi+// j.i3",9M67i ; (i-\-y."'). 1 ",027656 ; ('i+P,vJ>- 5",i 29740 ; ^i+^v;. o", 1.373 9° i (i+^*). o>oi4a8. fl+/0i478 Ci+,(/-'v;..55",263722 (i+P*'')- i", 096 340 Ïhl2 = '(ï+p'"); o",ooo294 ; U£\ 0 ri + '-,v;-36",i2i899 • [L3 = (i+'t?1)' C',658505. (Q,o) = (i-\-f- ^.o",ooooo7 (6,\) == (1 '+ p). 0^000x33 ^6,»^) = fi+//',).o",ooo296 (6,3; = Ci + /";.o",oooi24 (6,i) = ^ + ^;-2",838932 f6,5; = ^k;.4",488i96 EU rër fi +/'• ^).o",oooooo ; Ci+A*'^.o",oooo07 ; ('i-f-^"/).o",ooooig j ('i+^'"J).o",ooooi2 ; Ci4-^,v;-o",9 53096 j f1 + ^;.2",695783. 2 0. Au moyen de ces valeurs et des formules données dans les nos 58 et 60 du second livre , on a conclu les résultats suivans , dzr dans lesquels -— exprime le mouvement sydéral du périhélie en longitude, à l'époque de 1760, et pendant une année de 365>°ursj; est la variation annuelle de l'équation du. centre , ou du double dt dtp de l'excentricité, à la même époque; — est la variation annuelle dtpt de l'inclinaison de l'orbite, à l'écliptique fixe de 1750; — est Ja variation annuelle de l'inclinaison de l'orbite, à l'écliptique vraie; dt — est le mouvement annuel et sydéral du nœud ascendant de For- dt bite sur l'écliptique fixe de 17505 — ' est le mouvement annuel et sydéral du même nœud sur l'écliptique vraie. MERCURE. cfzr dt de dt I7%367383 + 9 ",30256g. / + 2",87oi6i.Jw// + o", 1291 51./*'" + 4",8 i4g47./tt,v + 0,245303 .p.v + o ",005 2 5 2. p.". o",o42252 + o",o6yyi2.y.' + o ",020096.// — o ",007 190.//" — o",o38766.jU,v + o",ooo3 5 8 . ^ + o",ooooi2.^vt. dcp dt SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 89 — •= — o",3 70349 — o",2 7 1 I5 3 • // — o/',oooi62 . y!" — o//,o88777 . /u,T — o ",009924./*' — 0^,00003 3 ./*VI. dtp -- = o",547557 4- o".2in4o.// + c/,001569.//" + o ",302730./*" 4- o ",03 201 5 .if + o",oooio3 ./*VI. d) -7-= — i3",o4oio6 — 5 ",446264.;/ — 2/7,974745./' — o ',092442.//' — 4", 3 0898g. y>" — o",2i2g2g.^T — o",ooijij.^\ dé -^ = — 23/;,354327 — o",3oii54'.^— ii/;',5i366i.^'— 2//,g74745.^ — o/,,443748./"— 6//?75o288.^" — o"',363854.K — 0", 00687 7.^'. VÉNUS. as' — =— 7",23i874— i3",3l8446.//— i7",76i229.iW/;+3s,7i5362.iw" + i9",863664.^v-)-oV58684.^ + o",oioogi .(*". de 2.—-= — o",8o42i8 — o",27g256./^ — o ",3 12252.//' — o ",019686.//" — o/V887i4.^,T — o",oo4348.^Y + o",oooo38./*T'. da>' — =— o",o4g228 + o",c>77777.<" + o/',oo6658.f/"— 0^,1 16834./*" — o",oi683 5./^v + o",ooooo6./*TI. -p= o", 13 7464+ o",o5g8o7./a — o ",012801.//" + o",07g65g./*'* + o//,oxo8o3 . /*" — o,ooooo4 . /*VI. dV — = — 3o",55863o+i>5572o^— 22",88g753-^— o",234914y" — 8//,2i5i38.^'v — o//,264i64.^T— o",oio38i./uït. di,' ^r = -l6",75235i+o",5io648.^— i6",749o53y-22",889753y — o",884798.//' — i5"}84a8oo.f*"— o",88i23o.^ — 0,015365.//". LA TERRE. — = 36",88i443 — a",28o6a8./t* + ii",76937i.|*'+4",773i07.f«w 4- 2i",ooA2io.^" + o",5g897o.iwT + o",02o4).3.luT MÉCAN. CÉL. 7o7?274o4 . /*" — o ",o 3 84 3 7 . /*v — o",ooo 1 1 2 . f*vl. — = — 3o>254i 5 +o",i6 1185. ^ + 0^69343. /— 6",o634i3.iu" — 24",244i44.^'v — o ",822630./^— o",o2 5756./*", —-- == — 7o",3384gg— o",g827oi.^— 26",474o72.^'— 6",o634i3 .//' — i",3364i7.//'"— 33",ggg862.^ï — i",447g8o.^r — o",o34o54.^". JUPITER. —— = 20 ,369659 + o ",000574./* + o",oi3.364.^'+ o ",03036 2.//' + o,/,oo63ig.^,"+ i9",93i7o] .y."+ o ",387339.^'. de'" 2 -—7-= 1 ",7 iii 68 — o",oooo24.// + 0 ",00002 8.// + o ",000244.//' — o ",000 5 88.//' + 1 ",707742. /*v + o ",003 766. j"". -^7- = — o",24ii74+o",oooo68.f/.+ o",ooo3i3 .// + o",ooo346. o",24362l .;j.y + o",001720.^VI. ~jT — — 0 ',688820 — o",02g2g2.f/ — 0 ",395414.//— o",03285'6. — 0^2328 5'â-i ,vaT-{r 0//,ooi5:'94.^'. »/ ^ SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 91 dê'r — — = i9",g267g2 + o",ooi57o./w + o",oi8o76.|«' — o ",03043g.//' — 0,001423 ./x/;'+2o",o78g23.//.v — o",i399i 5 .^.v'. de Iv -~=— 45",257336— o",976oo8.f*— 3 9", î 9^863. ^'— o>3o439.^" — 1 ",201 089.^' — ai ",444015. ^ + i8",i4o62i.^r SATURNE. dwy ' = 49",73o637 + o",oooo68./n + o"ooi53i.^'+ o ",003 3 3 4./"" dt 4-o",ooi697./"+48",73 7o68.^"r+o//,986939.^T'. 2.—— = — 3^334597 — o"000O00./"+o",0O00Ol.//+o'',OO0O02.//." dt — o",oooo48 . (/.'" — 3 ",3 9481 2 . [a" -f o"o6o26o . i*1". = o",3 07841+ o ",000009.^ + 0 ",000055./!/ + o ",000043 . y'" dt + o ",298443.//' + o^o00,^1-/""- -^- = — 0",47g290—o",0338i3.^—o;5g85i3.^—o ",038709.^'" + o",l8263g.^" + o",oo9IOfi•iwV,• — — = — 27",794iio+o",oooon .^+o",oooi3o.^' — o", 00 3467. y." — o",ooogg6.^'"— 26//,9S755g.^— o",832229.^'. de" ~-j— = — 58 ,770060 — o",342473./*— 18", 158175.^' — o//,oo3467.^* — o/;436463.iu'"— 37",94i234.^"— i",oî0744./a' — o/',837 5o4.^1". U R A N U S. —7— = 7^,576700 + o",ooooô8.^ + o",oooi32./t/-' + o ",0002g 3.//' W',oooi47.^"/ + 3",737i3o.i""+3//,8389go./-t\ de™ 2 . — — = O", 333901 o",000000 . [*■ o",0OOO0O . /*' — 0^,000000 . (■!■" + o/;,oooooi.//" — o ",03 6890.//" — 0^2970 1 2. /*T. dp"' —7- = — o'/,i5o8o7 + o",oooooo.^ + o",oooooo.iw' + o",oooooi .[*■'/ — O ",027888.//.™ — o" ,1220^20 . fJ.\ M 2 gs MECANIQUE CELESTE, d

94i42.^\ -r— = 8^336037 + o ",000051.^ + o",ooo450./w' — o ",000296.// 4- o",ooo 1 44 . t*f" + 1 ", <; 3 2043 . m" + 6",8o3 64 5 . i*\ -^-=_i06",i83322-2",433693.^— 73",5058i7.^— o",ooo296.^" — ay^sg.//.'"— 3i//,484265.^ï + 4"7i6oo79.p.v — o",02igoi ./*". Je n'ai point compris clans les formules précédentes, les varia- tions de l'orbe terrestre ; on les déterminera par les équations , tangV.sin.9"=p" ■ tang. ?".cos. 9" = g". Quant aux valeurs de p" et de g", on les déterminera par les for- mules du n°. 59 du second livre, et l'on aura, en prenant pour plan fixe l'écliptique de 1750, dp" t* ddp" 1 dp 2 dt* ' ,, dq" t* ddq" g" = t.— + — .—?- + &c: 1 dt 2 dr- ^ ' t exprimant le nombre des années juliennes écoulées depuis 1750 , et les valeurs de — , — , — - , &c. se rapportant à cette époque. CLC CtC CLu On pourra ne considérer que la première puissance de t dans ces deux séries, lorsque t n'excédera pas 300 ; et lorsqu'il ne surpas- sera pas 1000 ou 1200, on pourra rejeter les puissances supérieures au carré, ce qui est permis , même relativement aux observations les plus anciennes , vu leur imperfection. On trouve par les for- mules citées , -^- = o",236792 -f o ",02 5989. /a + o",2664o8.// + o ",029082.//' — o ",067966./^' — o",oi68og./"v + o'/,oooo88.p.T'. ^- = —i*,546i56 — o",o2G3oi.^ — o",g56638.^' — o",o3i898./' — o",488376 i*,v — o",o42658.p.ï— o ",00028 2. f-1'. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 93 26. On a vu dans le chapitre III, que l'ellipticité du soleil produit dans les périhélies des orbes planétaires un léger mou- vement égal à (? — iq)'--nf- Considérons ce mouvement par rapport à Mercure, q est le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur solaire : soit mt le mouvement angulaire de rotation du soleil ; la force centrifuge à l'équateur solaire , sera m* .D. Si l'on exprime par S la masse du 5 soleil, on aura — — = n"a, ou S=n'/!l.a"3 ; ce qui donne la pesan- s • „, ■ ,' • , ! 1 n'"-a"3 teur — a 1 equateur solaire, égale a — - — ; on a donc Da D1 m3 D3 La durée de la rotation du soleil est, suivant les observations, à très-peu près égale à 25i — q=: 0,00000133 5 ; on peut donc négliger toutes les inégalités du rayon vecteur de Mercure , dont le coefficient est au-dessous de =to,oooooi. Parmi > 96 MECANIQUE CELESTE les inégalités du mouvement en longitude , nous ne rapporterons que celles dont le coefficient est au-dessous d'un quart de seconde , excepté les inégalités qui dépendent de la simple distance angulaire de la planète , et qui peuvent être réduites dans une même table avec des inégalités plus considérables. Inégalités de Mercure , indépendantes des excentricités. 2",o442gg.sin. (n't — nt+t'—t) - 4",497 255. sin. 2 . (n't — n t + 1 — 1)\ J> = (i + p ').{ — o",3 95294. sin. Z.(n't — nt+t' — t) I — o",ogo322 .sin. 4.f/z'£— nt+i — 2 )\ {_ — o ",02748 5 .sin. 5 .(n't — nt+t — t) j C o",f)2^493 .sin. (n"t — nt+i" — t) I — o",5ii 1 50. sin. 2. (n't — nt+t" — e)\ + (ï+t*')-{—o",o5977/*-sin.CnT*+sT— *T) ] l + i",220658.sin. (znyt — nt+2sv— e — <*)) £r = — (1 + fj.'). 0,00000 13 48 2. cos. C3ra'^ — arctf 4- 35' — 2 s — c\) — (1 4- ^"^.0,00000 2962 5 .cos. (zn"t — 7z£4-2s,y — s — <&). Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites- Ces inégalités ont été calculées par les formules des nos. 1 , 2 et 4. Le double du mouvement de Mercure diffère très-peu de cinq fois le mouvement de Vénus ; en sorte que ^.(n — n)-\-2n est à très- peu-près égal à — n ; il faut donc par le n° 3, considérer l'inégalité dépendante de jnt — ^rit. L'angle ^n't — nt, croît avec assez de lenteur , pour avoir égard à l'inégalité qui en dépend. Pareillement, le mouvement de Mercure étant égal à très-peu-près à quatre fois celui de la terre , &.(n" — n)-\-2n diffère peu de — n ; il faut donc par le n° 3, considérer l'inégalité dépendante de 2nt — &n"t. On trouve ainsi , JV=— ri4-/0 f 5'>74i7-sin-0^— 5»'*+3«— 5£'— 48°,i2ioh y'[4-i",8i464i.sin.C3/2'^— "^+3^— ê + 45°,i2ig; } — Ci +/L40-°"j8 13190. sin. (2?it — ), Inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimen- sions des excentricités et des inclinaisons des orbites. La première de ces inégalités dépend de l'angle -$nt — 'jn't; elle a été calculée par les formules du n°. 7. La seconde dépend de Mécan. cél. Tome III. N > 98 MECANIQUE CELESTE. l'angle nt — l\n't; elle a été calculée suivant la méthode du n°. 10. On a trouvé ainsi , «T^ = -— (^i+^-26",i8446o.sin. ^2 72i— 572'i+2£— 5e' + 33°,5852; — (1 + p.") . 2",i3 1 5X7 -sin. (nt— bri't+s — 4s"+ 2i°,i 522;. Les inégalités du mouvement de Mercure en latitude , ont été cal- culées par les formules du n°. 5 1 du second livre. Comme elles sont insensibles, et au-dessous d'un quart de seconde, je crois inutile de les rapporter ici. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 93 CHAPITRE IX. Théorie de T^ênus. 20. Oïl'on fait — = «, et si l'on nomme J^' la longitude géo- centrique de Vénus , l'équation £r = — r".(i— *?).£V donnée dans le n°. précédent , deviendra , relativement à cette pla- nète, *") j — 4V7825B1 -s™- (l>n"t — 2n't + ^i" — 2s + 0 +"')■< + l4",7I0902.sil^.|f3«"^, — snp+ji" — 2 e 1 — o ",924314. sin. (iri't — 3 «7 + 4/' — 3 s j + 2",92484i . sin. (4?î't—} ?ît+ 4s"— 3 s [ — 2", 13 50 11. sin. (<,n"t — 4/z'£+5e" — 4 e + 6",77g4o5 .sin. (99l07î-sm.f2 7z"£— rit + 2°."— %'— v') (— o",5o4538.sin.C3n'vi— 2 7î'f+3£,v— 2 s'— ^,v; — Ci +^. 0^,67 5 132. sin. (V2+sv — ®v^"j JV' = — fi +^.0,000000883 1 .cos. ("2 7z'i — nt + 2 s' — s — ^ {0,000001 6482. cos.f3?z"2 — 27l't+-$ï" — 2 s'- — ™")\ — 0,000001 i4o6. cos. (jri't — in't+ ji" — 4 s' — ^' )\ + 0,0000036421 .cos.C^ri'l — krit-\- je" — 4e' — ™")\ — ( ! +(*■"') • 0,00000 1 g4o4 . cos. (lri"t — 2 rit 4- 3 s"' — 2 s' — ^"'y). Inégalités dépendantes des carrés et des produits de deux dimen- sions des excentricités et des inclinaisons des orbites. «V = — C 1 +p) . 1 ",02 961 7 • sin. f 4 rit — a nt+ U — 2 s — 43°,8s8o j _. .. f 4",645i72.sin.r5^— 3"^+ï^— 3e' + 23%23°2;} (1 ^'[ + o//,275774.sin.('4ra/'f— 2«'i + 4e/;— 2£' + 29°,9358;j + fi+lM'";.6",2027o6.sin.C37z"'f— w^ + 3êw— e' + 73°,2o65;. En vertu des rapports qui existent entre les moyens mouvemens de Mercure, Vénus , la Terre et Mars , les quantités zn — 572', •)ri' — 372', et ri — 377.'" sont très-petites par rapport à ri; ainsi, par le n°. 3 , les inégalités précédentes paroissent être les seules de l'ordre des carrés des excentricités, qui puissent être sensibles. Inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites. cV= (1 + p) .3",6>i6g2o.sm.(2nt — ^rit + 2i — p' + lVrfSjs)- Inégalités du mouvement de F^énus en latitude. Les formules du n°. 51 donnent, lo'à MECANIQUE CELESTE, o")385 197. sin. (ri't+e'!— 6') + o",28o6 5 5 . sin. (% ri't — rit-i- 2 e" — s' — ô') J4-o",22667 5.sm. (jri't — in't + 32" — 2e' — 6' )\ [_o'/}24i 1 08 . sin. (1 rit— n"tf 2 e'— s"— ô') — (i+Hl").o"^ + io",7 501 1 5 . sin. 2 . (ri"t—ri't+ e'"^?pj — 0^6643 50. sin. 3. («'"*— !?"*+■*'-- •*;[ — o/',i45i3o.sin.4.0z"'^— rPt+t"— •*;.) !— o",o48g84 . sin. 5 . f *"'* — »&*-■•" — «";( — o>i993i .sin.6.^'"*— ri't + t"'— t")] — 0^009022. sin. 7. (V'*^- tz"£+s'"— e"j ) f 2i",78720i .sin.Cra"f — ri't + i"— t") )— 8",2 5 3880 . sin. 2 . (n"t — ri't + t"—s") j j_ o",5i78o8.sin. i.('n"t — ri't+t"— i")\ ' — o",05 1076. sin. 4. (Vv£ — «7 -f i" — ■/) ! 1 ",35 6204. sin. (nvt — n"t+ev— i") o",342623.sin. s.(nyt — n"t+ ?—i")\ o",oi2792.sin. 3 . (nvt — ri't + sv — t")\ + (i.+.p"> '+(!+!*")■ +c» +/**;• 0,0000015553 -0,00000600 12. cos. ('n'f — ri't+t — t") 1 + 0,000017143 1 .cos. 2. (rit — n"t-\- i — i")\ fr"= (i+ri) • < +0,0000027072.003. 3 . C7z'f — ri't+ i' — i"), 1+0,00000093 58. cos. 4. C»'£ — ri't+t — s")\ | + o,oooooo4o86.cos. ^.(rit — ri't+i — s")' + 0,0000002008. cos. 6. (rit — ri't + t — s") r — 0,000000047 8 + 0,0000005 487 • cos- (n'"t — n"t+ s" + (l j^fj."') . J + 0,0000080620 . cos. 2 . (ri"t— ri't+t"— t") ] — 0,0000006475 .cos. 3 . (V"£ — ri't + t'" — t")\ -0,0000001643. cos. 4. (ri" t— ri't+t" — '-"y + (i+t^)- °-°) SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 105 -0,0000011 58 1 J+0,0000] 59384. cos. (rTt — n"t+t™ — e") , — 0,0000090986. cos. 2.(n"t — ?i"t-\-i" — 1") -0,0000006 550. cos. 3 . (n"t — ri'i ';+ 1" — y) -0,0000000704 . cos. 4 . (n"t — n"t-\- 1" — s") — 0,0000000580 -r 0,00000 10337. cos. (rf t — n"t+ s* — t") — 0,0000003859.003. 2,(n"t — n"t + i* — t")\ Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. o",2342go.sin. (rit+i' — <&" ) | — o ",4002 3 3 .siiL, (2 rit — | n"t+ 1 s' — i"— ri') + o ",448o83 .sin. (2>i"t — n't+2i"— i'— ri') I — o",52 1547. sin. (iri't — rit-\-2i — • s' — ri) (i+l*')'l— n",3i8a47. sin. (yri't — 2 ri t+ y/'— 21'-* ri1} -I- 3",66i6g6.sin. (iri't — 2n't-\-y." — 11 — ri )\ — 7",23i346.sin. (iri't — 3^ + 4*"— y'— ri')\ i+ 2 ",229704. sin. (iri't— y,i't + 4s"—y'—ri)\ {+ o",6678o2.sin. (^ri't — irit+ y."— 4s'— ri')) ' — 3 ",381490. sin. (2ji'"t — n"t+2im— t" — ri') > + 6", 5977 11. sin. (2ri"t—n"t + ii/"—i"—ri") i \— o",<26çj767702.sin.r4"",f-2;/^+4=-'"-2s"+750,3 5o6n. -ry- ^l+1«;0857go.siur5re'^_3re^+5£'»_3£'/+76o}02l4Jj En vertu des rapports qui existent entre les moyens mouvemens de Vénus , la Terre et Mars; jn" — yn, et 472"' — 2/2", sont de petits coëfficiens 5 en sorte que par le n°. 3 , les deux premières de ces inégalités sont les seules de cet ordre qui doivent être sensibles. On a cependant calculé la troisième , parce que i?i" — =jri" n'étant fi-peu-près que la moitié de «", il étoit utile de s'assurer que cette inégalité n'acquiert par cette considération , qu'une valeur très- peu sensible. Inégalités dépendantes du cube et des produits de trois dimensions , des excentricités et des inclinaisons des orbites. S-v" — (i+y).o",7i^']8'j.ahi.(nt — lkn"t H — 4's"4-2i°,i522;. Inégalités périodiques du mouvement de la terre en latitude. On a trouvé par les formules du n°. 5 1 du second livre , . „ ■ " ,, fo",3o6ii2.sin. (2n"t — 7i't+2s" — t — Ô'J ) (,0 ,723012.8m. (4n t — in t+ 4 s — }i — S J) -r(i+ ^') . o", 508343. sin. ('2 rit — n't 4- 2 e'v— «."— fl'vj. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 107 Inégalités de la Terre, dépendantes de l'action de la Lune. ÙO. Si l'on nomme Ula. longitude de la lune vue du centre de la terre ; et v" la longitude de la terre vue du centre du soleil : si l'on nomme encore R le rayon vecteur de la lune, et r" , celui de la terre ; enfin , si l'on désigne par m et M les masses de la lune et de la terre , et par s la latitude de la lune ; on a vu dans le cha- pitre IV, que l'inégalité du mouvement de la terre en longitude r produite par l'action de la lune , est . R . s'm.(U — v " ). M L'inégalité du rayon vecteur de la terre , est et l'inégalité du mouvement de la terre en latitude , est m R . — r • 5. M r" Il faut, pour plus d'exactitude , substituer ■ au lieu de — , dans ' r r ' M+m M , les expressious de ces trois inégalités.. Nous supposerons , conformément aux phénomènes des marées ( livre IV, nos 3 1 et 3 5 ) , m 3.5 ~R3 ~ W? S étant la masse du soleil. Or on a par la théorie des forces centrales, M+m S R3 —n,> r»3-7i > nj, étant le moyen mouvement de la lune ; on a donc, m 3n"2 •1 n Suivant les observations , — = 0,07480 1 3 ; ce qui donne et par conséquent , m M + m ■■ 59,6 ' m 1 M ~ '5^6* O 2 io8 ,M E C A N I Q U E CELESTE, Nous supposerons ensuite la parallaxe horizontale du soleil , égale à 2 7 "2 ; et la parallaxe moyenne horizontale de la lune égale à 10661" ; d'où l'on tire, -R 27,2 7" — 10661 ' et conséquemment , is>".== — 27",2 524.sin. ( U — v) Sr" = — 0,000042808. cos. ( U — v"). En prenant ensuite pour s la plus grande inégalité de la lune en latitude , que nous supposerons égale à 57231". sin. (U — Q),U — & étant la distance de la lune à son nœud ascendant ; on aura — 2",44gg.sin. (U — 6) pour l'inégalité du mouvement de la terre en latitude : il faut l'ajouter à la valeur précédente de JV', pour avoir la -valeur entière de S" s". Cette valeur entière , prise avec un signe contraire , donne les inégalités du mouvement apparent du soleil en latitude. Elle influe sur l'obliquité de l'écliptique , conclue de l'observation des hauteurs du soleil vers les solstices : elle influe encore sur le moment de l'équinoxe, conclu des observations du soleil vers les équinoxes , et sur l'ascension droite, et la déclinaison des étoiles, déterminées par leur comparaison avec le soleil. Vu la précision des observations modernes , il est nécessaire d'y avoir égard. Il est facile de voir que la déclinaison apparente du soleil en est aug- mentée de la quantité W .cos. ('obliquité de l'écliptique^ cos. ('déclinaison du soleil ) et que son ascension droite apparente en est augmentée de la. quantité £s" . sin. ( obliquité de l'écliptiquej.cos. ('ascension droite du soleil^ cos. ('déclinaison du soleil,) il faut donc diminuer de ces quantités, les déclinaisons et les ascen- sions droites observées du soleil , pour avoir celles qu'on obser- veroit, si la terre ne quittbït pointle plan de l'écliptique. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 109 Des variations séculaires de l'orbe terrestre , de l'équateur et de la longueur de l'année, , 3 1 . Nous avons donné dans le n°. 26 , les variations séculaires des éléinens de l'orbe terrestre ; mais l'influence de ces variations sur les phénomènes les plus importans de l'astronomie, nous en- gage à les déterminer avec plus de précision , en ayant égard au carré du temps, t exprimant un nombre quelconque d'années juliennes écoulées depuis 1750, on a trouvé, par la méthode du n°. 56 du second livre, et en adoptant les valeurs des masses des planètes données dans le n°. 21 , le coefficient de l'équation du centre de l'orbite terrestre égal à _ , 2 E — £.o",579i30 — Z2.o",oooo207446 ; sE étant ce coefficient au commencement de 1750, où t est nul. On a trouvé pareillement la longitude sydérale du périhélie de l'orbe terrestre , égale à ^"+f.36",88i443 + ^.'o'Vooo2454382. Enfin, les valeurs de p" et dé q" pour un temps quelconque t, ont été trouvées respectivement égales à £.o",236793 + /2.o", 0000665 27 5 ; — 1. 1", 546 156 + f1 .0",00002082 53. ■ Nous avons présenté dans les nos 6 et 7 du cinquième livre, les formules de la précession des équinoxes, et de l'inclinaison de l'équateur, soit à une écliptique fixe, soit à l'écliptique vraie ; mais ces formules supposent que la valeur de p" est sous la forme x.c.sin. (gt-\-£) , et que q" est sous la forme s.c.cos. (gt-\-£). On a vu dans le n°. 59 du second livre , que les expressions finies dé p" et de q" se présentent sous ces formes , et Ton peut déterminer , par la méthode exposée dans. le n°. 56 du même livre , les valeurs dec, g, C ; &ç. ; mais cela suppose les masses des planètes exac- tement connues , et l'on a vu l'incertitude qui existe encore à cet égard. Ainsi, au lieu de- faire le calcul pénible que cette méthode exige , il est préférable de le simplifier , en n'étendant lep résul- tats qu'à mille ou douze cents ans avant et après l'époque de 1750 • ito MECANIQUE CELESTE, ce qui suffit aux besoins de l'astronomie. On pourra facilement recotnmëiicer ces calculs ,' à mesure que le développement des variations séculaires fera mieux coniioître les masses des planètes. Donnons aux valeurs de p" et de g" les formes suivantes comprises dans celles-ci , x. c. s'm. ( gt+ £) , "S,.c.cos.(gt-\r ■£) , c.sin. € — c.cos. C. sin. gt — c.sin. C.sin. (g't+- J ; c.cos. C — c.cos. S. cos. gt — c.sm. C.cos. ( gt + - 1 ; t étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. Si l'on développe ces deux fonctions par rapport aux puissances du temps t; on aura , en les comparant aux séries précédentes , c g.cos.C = — c/,236793 ; cg'.sin. C = — 1 ", 5 46 1 5 6 y cg4.cos. C= o",oooo4i65o6 ; cg'a. s'm. C = o",oooi^^o^o ; d'où il est facile de conclure , g = -iii",978- g'=-54"7845; c.sin. £;== i7g67",o ; c.cos. C=-i346",2i. Maintenant, on a vu dans le n°. 6 du cinquième livre, que la pré- cession 4 des équinoxes par rapport à l'écliptique fixe de 1750, est, en ne considérant que les variations séculaires, lt+t+z.l(j — 1) Asaag. h + cot hï.j. sin. (ft + ej. Pour avoir 2. c. sin. (ft+£) , il faut, parle 11°. 5 du même livre, augmenter dans 2 . c . sin. (gt-\-€), l'angle gt-h C, de It, ce qui donne f '= g- + /,• on aura ainsi , s. c.sin. (ft+£) = c.sin. (It+Ç) — c.cos. S. sin. (g t+lt) — -c.sin. C.shi.f g't+ lt-\--J ; par conséquent, 4. = lt + (+c.cot.h.sin.(lt+C)— — — .c.cos.C.jcot.A- ^-.tang./j \.s'm.(gt+lt) l c . sin l+S .eAcot.Ii— ^—f.iar\g.h\.sm.(g't+^+^\. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. m En nommant ensuite V, l'inclinaison de l'équateur à l'écliptique fixe de 1750, on aura par le n°. 6 du cinquième livre , le V= h— S. — .cos. (ft+C). Pour avoir 2 . c . cos. (ft-j- S) , il faut , par le n°. 5 du même livre , augmenter dans s.c.cos. (gt + C) , l'angle gt+C, délt; on. aura ainsi , z.c.cos.(ft+ë) = ccos. (It+C) — c.cos. £. cos. (g t + lt) , — c.sm.é\cos.( g t + lt+- 2 Partant , V—h — c . cos. (lt+ C) + — — . c . cos. C cos. (gt+lt) l .c. sin. C .cos. ( g't+lt+ -\ 4' exprimant la précession des éejuinoxes par rapport à l'éclip- tique vraie, et V étant l'inclinaison de l'équateur à cette éclip- tique • on trouvera par le n°. 7 du cinquième livre, 4/= U + £+ -X- . c . cos. C.\co\.7i + . tan g.h\. sin. (gl+li) l+g l LJrè J + 7^— r.csin.f. cot. 7ï+- — ,-tang. h\ .sïn.l g't+ lt+-) ; O* S'a 53"\ J^'^h — -5— .c.cos. £. cos. (gl + Zt) — - — ,.csin.^.cos. ( g't+ ll + - ). l+S l+ë V V L'expression de 4' donne dty ( l ! — — = /-(-cg.cos. £. . cos. ( g't + /i-f- - j. En retranchant de cette valeur de -— , lorsque t est nul , sa valeur à une autre époque 5 la différence réduite en temps , en raison de la circonférence pour une' année tropique, donnera l'accroissement de l'année tropique depuis 1750. On voit par cette formule, et par la différentiation de l'expression générale de 4' donnée dans le n°. 7 ducinquième livre, que l'action dusoleil et de la lune change consi- 112 MECANIQUE CELESTE, dérablement la loi de la variation de la longueur de l'année. Dans les hypothèses les plus vraisemblables sur les masses des planètes, l'étendue entière de cette variation , ainsi que l'étendue entière de la variation de l'obliquité de l'écliptique àl'équateur , sont réduites à -peu -près au quart de la valeur qu'elles auroient sans cette action. Suivant les observations, on a en 1750, — r"== 1 54",63 : mais par ce qui précède ,' on a à cette époque , dty ( \ l 1 -— = l+cg. cos. e.\coï.h-\-— — .tang. h\ • dt {_ l-j-g ) en a donc , 1 - • "•"■•. ■(■-'■■ l ") l+cg. cos. €. cot. h+- .tang. h V == 1 54^,63 ; équation dans laquelle on peut, en négligeant le carré de c , subs- tituer pour h , l'obliquité de l'écliptique à l'équateur en 1750. Cette obliquité, suivant les observations, étoit alors égale à 26°j07g,6 ; d'où l'on tire 7=M5",542. On a ensuite, en 1750, J^' =h—~.c.cos.e-' l+S ce qui donne h = 26°,0796 — 346o",3. Au moyen de ces valeurs , on trouve 4 = 1. 1 5 ï",542 + 2°,92883 + 421 18", 3 • sin. (t. 1 5 5/y^42 + g5°,238g^ — 71289^2. cos. (t. ioo'\rjtjy) — 16521",! . sin. (t. 43 ", j6b) ; F~= 26>7g6 — 346o",3 — i8oi7",4.cos. (t. i Îî'y4a + ài%*1%2 + 48o6',5 .cos.Çt.^'^fii) — sfy'yfï'rf .s'm.(t. îoo",757_J; 4' =^.i55",542+2°,92883 — 2g288",3 -cos. (l.ioo",j^) — 1 3 3 74",2 . sin. (t . 43 ", 5 64 j ; *"= 26>7 96 - 3 4So",3 . { 1 - cos. (t . 43 ", 5 64; } — 9769",2 . sin. (t . ioo",7 5 7;. On pourra, par ces expressions , déterminer la précession des équinoxes^et l'obliquité de l'écliptique , dans l'intervalle de mille ou douze cents ans avant et après l'époque de 1750, en observant de SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 113 de faire t négatif pour les temps antérieurs à cette époque ; on pourra même les étendre aux observations d'Hypparque , vu leur imperfection. La valeur précédente de 4 donne pour l'accroissement de l'année tropique, à partir de 1750 , — o'ou",oooo83 569.(1 — cos. ("i. 43", 5 64;} — oioars,ooo42 327. sin. (t . 1 00", 7 5 7) ; d'où il suit qu'au temps d'Hypparque , ou cent vingt -huit ans avant l'ère chrétienne , l'année tropique étoit de 12", 326 pins lon- gue qu'en 1750 ; l'obliquité de l'écliptique étoit plus grande alors de 283 2",27. Une époque astronomique remarquable, est celle où le grand axe de l'orbe terrestre coïncidoit avec la ligne des équinoxes ; car alors l'équinoxe vrai et l'équinoxe moyen étoient réunis. Je trouve par les formules précédentes , que ce phénomène a eu lieu vers l'an 4oo4 avant l'ère chrétienne , époque où la plupart de nos chronologistes placent la création du monde , et qui , sous ce point de vue, peut être considérée comme une époque astronomique. En effet , on a pour ce temps , £ = — 5754; et l'expression précé- dente de 4-' donne , 4' = — 87°,8530; c'est la longitude de l'équinoxe fixe de 1750, par rapport à l'équi- noxe d'alors. L'expression précédente de *■" donne pour ia longi- tude du périgée de l'orbe terrestre, ou de l'apogée solaire, comp- tée de l'équinoxe fixe de 1750, — *'") -j + f! + „/) ]—i",3 69/45 -sin. 2 . ( ift — ri"t + t- — e"' ;/ ■ < " )— o>7 1 260 . sin. 3 . ( i»V — #'i + «v — a'" )) > l — o ",005 799. sin. &.(n"t — ri"t •+- sv — %"' )} f 0,0000016 io4 , , /, J + o,ooooo2i947.cos. Cra'f — ^'f+ê' — e"J ' 1 + 0,0000001972. cos. 2. (rit — ri"t+î — 1'"){ , + 0,0000000418. cos. 3 .(rit — ri"t+i — s'")] 0,0000023860 —0,0000187564. cos. (ri't—n'"t+ s"— 1") 1 + 0,0000052387.003. 2.(n"t — ri"t + î" — i"')\ + (l+V-")>\ + 0,00000 1196g. cos. %:(ri't — ri"t + t" — t"), 1+ o,oooooo4i 6g . cos. 4 . (ri't — ri"t + 5" — s"')\ f + 0,000000 1733. cos. 5 • (ri't — ri"t + i" — em) ' V+0J0000000796.COS. 6. (ri't — ri"t+t" — s"). -0,0000066174 i + 0,00007843 71 .cos. (niyt — h"'t+e" — 1") —0,0000679436. cos. 2 . (jï"t — ri"t-h s,T — i'" )\ . — 0,00000693 go. cos. ^.(n"t — n'"t+t" — i'"y I — 0,0000010930 • cos. 4 . (n'vt — ri"t + ê,v— e"')[ l — o,oooooo20o4.cos. 5 .(n"t — ri"t+î'v — s"')\ — 0,00000005 20 . cos. 6. (n"t — ri"t+ s,T — i") [ — 0,0000003173 "\ J+ 0,0000047062. cos. (nvt — 7i"t + iy— i"') I + 0 +"f*TJ? • <— 0,0000023 27 5 • cos. 2 . (rit— n'"t-\-i'— s'") [. |~- 0,000000139g. cos. 3-(nyt — ri"t + iy — s'")\ — 0,00000001 2 5 . cos. 4 . (nyt — ri"t+ iy — t1") \ SECONDÉ PARTIE, LIVRE VI 117 Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. l — o ,779506.5111. (an t — n t+2s un r i i . . it m \ 2 ,150325 .Slll. (7Z £+S » J — o ,415215 .sin. (2/2 t — n t+22 t — 3 \",i 1 8207 . sin.(an'"t — n"t+ 2s 1+ 15 ",81 ig2o.sin.('2ra'"f — n"t-\-a + Ci + (*").<— 20", 1 11960. sin.(^n"t—2n"t+}s M- 2",6i ii22.sin.('37z'"ï — 2n''t+-$s I + 2>g 1815. sin.(4n'"t—in"t+b£ f— o ",244306. sin.^rc"'*— iri't+is k+ o",37oi4i.sin.f5«'"ï — 4ra"£+5 /// '"_ m_ m . m_ m g"-'- ■2S -M" ■4s" •'; 3 ni — « ; — tu ) 11 • -o--'; /// ■ — 4 s — tr J +c»+mit;. + (1 +1*"). ( 1 6",g4 5 3 6 2 . sin. (n"t + s"— m'") — i6",56483o.sin. (rf't + i"'— v") — 72",6g2383.sin. (zn"t — n"'t+-2i"'- + 8",oo3 3g6.sin. (zn"t— n"'t+2s'v- + 7 ",088 590 . sin.f 3 n"t— =2n'"t +3 s,v- —1 i",oi 5046 • sm.(-$nivt— 2 «"'fcf 3 sIT- + o",67g47i.sin.(f4raIV/t~3/z'"^+45IT- — i",o883g5.sin.C4«,vf— 3»'"/ + 4*"- — 8",853862.sin.f2^"7— /z'^ + as'"- — o",63 1233. sin. ('2/z"7 — 7i"t+ 2i"- + 5",7 19628. sin. (yi'"t—2?ilvt+ie"'- + o",6iiy>o.sm.(4n'"t—jn /// \ 3 13 j\ III «8- (// N s'" — •'";[ III -g _ -^Vl ' 25 - •"0J •£V — «Tr" , ,. | 0,0000044700. cos.(sn"Jt — «'f+2s'" — e' — "w"'! 1 — o,ocoooog7i3 .cos.f2ra'"£ — n't+2î" — t'—"»') \ nS MECANIQUE CELESTE, ' — 0,0000022865 .cos. (n"t+e" — v") ^0,0000086337.003. (iri"t — n"t + Zi" — s" — •à'!'.) -0,000003 1269 -cos. (zn'"t—n"t-\- 2a'" — e" — v" ) + (l+H-")-i — 0,00002003 31. cos. (yî't — 2n"t+^'" — se" — a") S — 0,0000 599470. cos. (zn"t — n'"t+ 2s" — s'" — v") ) + 0,O0OO069892. COS. (2Jl,yt ll't + 2SIV — i" — &") * +0,00001 143 5 2. cos. ($nivt — 27z"^+2s,v — se" — d")t 0,0000 I 6974 1 . COS. (l 7l'vt 2Jl'"t + 3 S,v — 2 1'" — n" )\ j — 0,0000020307 . cos. (Ân"t — 3 n'"t+ 4sIT— 3 s'" — vlv)\ + 0,0000087307.003. (iri"t — ?rt + 2 ="' — s,r — w"') -0,0000063983.008. (ïri"t — 272'^ +3 s'"— 2ê"v— ■ar/";J — C 1 + /^ . 0,000006 1 906 . cos. (2 nvt — n"l + 2 eT- — i" — w'"). Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. Sv'' = — f]+//;.2r,295i2i.sin. (}ri"t— n't+y.'"— e'+7?",7o8}) { 4",36î84o.9in.C3n'"*— n"t+y.'"— e" + 8i",^iB)] — ( ! +'p')A + 1 3",49o44 1 . sin.C47z"7-27î"/ + 4s"'-2£" + 750,3 5 if (+ 8",228o86.sin.('57z"'f-37z"i + 5£'/'-38" + 750,98r4;J {— 1^4283 30. sin. (n'yt + n'"t + <-'v+ s'"— 59>333;"j + (i+y-v)-\— 4",457i66. sin. ('27i"'i+2e" + 660,7969; ( + 3 ",998 174. sin. (n'H — n'"t + ç,T— e'" + 6o°,769 1 )) La dernière de ces inégalités peut être réunie à l'inégalité indépen- dante des excentricités (I + P'v) • 7 5 ",43 4700 . sin. (nn't — n'"t + str— 1") ; leur somme donne l'inégalité fi +r"V-77",8i392i .sin. (n"t — n"'t+i"r-~î':'+z°,6rj02). SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 119 £r"'= — (1 +(*■') • 0,0000023 46 r • cos.(in"'t — n't-\- 3 s'" — s'+ 7 1 °,ggo4j { 0,0000050403 .cos.(-}n'"t-n"t+ 3ê"'-ê"+ 8o°,87o4; ) + fi +f"j -S +0,0000070248. cos. ('4?i"'i-2n"f+4ê'"-2e"-65°,4o42j> ( — 0,000007 503 2.cos .f 5 m"'*- 3 re"f-f- 5 e"'-3 s"+ 76°o6 i 1 j) iv f 0,0000080002. cos. f2n,,'t + 24,v + 66°,9g75^ ] l + o,ooooo4i488.cos. (n'vt-ri"t+e"-e" + 65°,72i4>)j" La dernière de ces inégalités peut être réunie à l'inégalité indépen- dante des excentricités fl +^"9.0,0000784371. COS. (n*rt — n"t + i,v — t") ; leur somme donne l'inégalité (l + /Sv) . 0,000080643 2 . COS. (n'vt — n'"t+ s,T — i" + 2°,8 1 3 3 ). Les inégalités du mouvement de Mars en latitude , sont très-peu sensibles. Eu désignant par n,v, la longitude du nœud ascendant de l'orbite de Jupiter sur celle de Mars, on trouve M"=ri + u") ï o",29i339-sin-r»^ + '-,ir-n-V } 1 +i>'i4657.sin. (2nivt — ri"t+atJY — i" — n,vJ j' 120 MECANIQUE CÉLESTE, CHAPITRE XII. Théorie de Jupiter. ÔO, JL'attraction réciproque des planètes entre elles et sur le soleil, est principalement sensible dans la théorie de Jupiter et de Saturne, et nous allons en voir naître les plus grandes inégalités du système planétaire. L'équation r trouvée dans le n°. précédent , relativement à Mars, devient pour Jupiter, JVT = — ^— . ( 1 — o . IV1". r Si l'on prend pour r" et r'r, les moyennes distances de la Terre et de Jupiter au Soleil ; et si l'on suppose 'ï ]_ ^SSij.sin.a.fn"* — 7«+e-— £-;( . 1 ] — o", 136065.su!. i.(r£"t — nwt+ &*'—<■" )ï ' (— o",o 18447 • sin- * • (nv,l — ?ïrt+svl— i")) r — 0,0000620586 + 0,0006768760 . cos. (nvt — 7in't 4- sT — ê,vj -0,0028966 200 . cos. 2 . (Vf — n,v^ + sv — s"9 j — 0,0003021367.003. 3 .(Vf — reir£-f-eT — i")\ — 0,0000782 «i4. cos. 4t.(nYt— n'rt+iT—îlv)\ —0,0000258952.008. Î.C/2Ti 7Z,T£ + £V ê,vW — 0,0000094779 . COS. 6 . (nvt TÏ"t + êv ê,vJ| — 0,000003 7 5 60 . cos. 7 . (nvt — n'vt+tv — tw) ! — 0,00000 147 8 1 . cos. 8 . (rft — n"t + sT — slv) j — o,oooooo47 99 . cos. 9 . (n7t — nivt-\- ev — £r) Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. Plusieurs de ces inégalités étant considérables, il importe d'avoir les variations de leurs coëfficiens : nous allons donner celles des coëfficiens qui surpassent cent secondes dans l'expression de JVr. Les coëfficiens des inégalités dépendantes de rfr, ont elv pour multi- plicateur; en nommant donc ^ie1* l'un de ces coëfficiens , sa varia-* i4535i;. sin. (f37z^-27z,vi+3£T-2e,T-^T; + 24",46o84o.sm. (4nT* — 3ra'^+4sv — p"—^:) — 48",239570.sin. (kn^t — ^n'Yt+is7 — ^"—zry) + 3"?2336g5-sin. (^nvt— tkrtvt+^— 4s,T— J") - S",^} 3 82. sin. (jn*t —4nIvtA- pv — 4s'T— *rT) , + i",256g48.sin. (6/2T* — <}?ïTt+6iv— 5^— ^ = (i+^_ 3",8i8833.sin.(6»T* — ^n'rt+6tr— ^— *') + o",46o7 3 1 . sin. (jnvt — 6n"t + 7£v — 6s,T— a-"T) I— 3 ",oo4gi 3 . sin. (jnyt — 6/z,v* + 7£T— 6ê'v— *rv j — i6",074450.sin.f2rc,Tf— «V + 2£,v — *v — ^") - i",758450.sin. (zrïH— nwt + 2î'v— S — ^ ) + 3 g",742746 . sin. (^rfi— anyt+ 3s,v— 2?— ™") f — i",o87650.sin. (jnnt — in"t\ $i'r — 2sT — s ) + 3/',973 709 • sin. (inwt — 3 nyt+ 4ê,T — 3sT— wiv) — o",5336i7.sin.('47z,vi; — 3reT*+4ï,T — 3 sT — ^v J 4- 1", 1007 02. sin. (in'vt— 4tzt£+5£it — 4ev— *r"7 .— ©",2567 5 5. sin. C5»,Tf — 4raTf+55,T— 4ev— srr) >* o", 3 8 1 1 9 1 . sin. (ny't + s" — ■*'*) j — o",72Sc>5o.sin. (nyit+iyi — *v') -^l)-{ — 1 ",64 5 3 07. sin. (2ii"t~ jïyt+2iy'— e'v— v'v) + o",3 16891 .sin. (2nvil — n"t+2t"1 — €y—*yi) -o",3g4g47.sin. (^n"t— 2rfyt-Y^—2ïy—^) 0,00002061 1 1 .cos.(niyt+i,y — -b-w) — 0,00007g 5 246 . cos. (nyt + sT — ■*■'") + o,oooo4g2096.cos.f7zT£+£v — ^y) I 0,0002922 130. COS. (2TtYt rûvt + 2£v £IT — ■a'") ] + o,oooi688o85.cos.C272vt;— n'yt+2îy— £,T— ^) —0,0004584483. COS. (^TlH 272,TJ!+3£T 2?"— ■*'*)] dVv — (1 + t*v) • / + o,ooogo47822 . cos. (yft — 2n'"t + 3 £v — 21" — 15rTy/ /. I + 0,000 12 5942g. COS. C472T< 37Z,v2+4sv 3£,v ar'v ){ J — o,ooo242i4i3 .cos. (kiti — 372'^ + 4sv — 35" — ■*' )\ 1 + 0,0000268383 .cos. (j7lyt — ^in'yt+ 5£v 4£,v *r")\ ! — 0,0000 5 160 48. cos. ( 5 7zvf — 47z"^+5sT — 4e'v — ^^j + O,OO0O57gi51 .COS. (2lïyt 7ZT2+2£n' iy ■ary) K 0,0001346530. COS. (ln"t 2/Zvf+3£,v 2£v ar,v ") , SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 123 Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. ( 3 ",0977 80.. ski. (n"t+ n"rf+£T+£'T+5o°,5438; l — i7",2i8232.sin. (2nTt~\-2iv+i'j0,jiii) 1 + 36", 185942. sin. (y?t — rrt+v— e,T+88°,5i48; \— 55",787gi2.sm. C4»vf — S7i,Tt + 4êT— 2s,v— 630,5635; 1+ 5",o83765.sin. (6nvt — in"t+6îv— 4^—6o°,4t]8) |+ 7",64322i.sin.CnTï — nivt + ev — £IT + 48°,o92g; V. — i9",4o739g.sin. C2nT« — 27i,Tt+2sT — z^ + b^faio) Ces deux dernières inégalités réunies aux deux suivantes , /l4.Mv} f 255",59»7°o-sin.r»T* — <*+eT— ^ 1 1 tc y- !_630"j88 jSyo.sio. 2 . f i?t — n'n + «' — £ir;j que nous avons trouvées précédemment, et qui sont indépen- dantes des excentricités , donnent celles-ci , , v) f— 26i",2oo420.sin. Cre,vi— 7tTt + s'T— £r— i°,2756y) -» l + 645",364888.sin.C27t'vf— 27iTf+2s,T— 2êT— i0,2(j57;j On a ensuite , O,O0O08224l5. COS. ('27l"£+2ST+l,i°,2392; + 0,0000226252. cos. (yiyt — 7i,vt-f $êv — s" — 24°,2og3; jyw=/'1_i_»T). j — 0,000 10105 3 3. cos. (4nVt — 27i,Tf-j-4eT — 2sIV — ^"^iiQ) Y , ^ /37i'vt — fWvê+3êIT— = 1,1 62.028 3. my av.MW= — 0,6385781. ottj ay.M^= 0,3 3 20740. m\ De-Ià on a conclu pour 1750, «T.P = 0,0001093026; aY.P'= — 0,0010230972. On a déterminé ces valeurs pour 2250, et pour 2750. Pour cela, iî a été nécessaire de déterminer les valeurs de e'r, ev, ra",v, ■*rr, y et n? en séries ordonnées par rapport aux puissances du temps , en por- tant la précision jusqu'au carré du temps. On a d'abord calculé par les formules du n° 13, les variations séculaires de '7 d91°3/ji3— *• ï",46i9g4 + «a o",ooo242476j.cos, (^nvt—zn"i+ ^—2^v). La grande inégalité de Jupiter se compose de plusieurs autres par- ties : elle renferme encore , par le n° 8 , la fonction » f dP \ 1 aIr . f — - J . cos. (j nyt — 2 n"t + 5 sv— 2 ?it; j 5«T — 2/iIV" ) ' / dP' \ . f - "f — 2 n,rf + 5 sT — 2 sITJ I 2TTir.nIr * /dP'\ — a" . - — .sin.fÇB" \da'r / ' 3 en nombres , il fau 1 fdM^\ * /dMW\ Pour la réduire en nombres , il faut calculer les valeurs de * /dM<-°ï\ ' rouvé ia8 MECANIQUE CELESTE, * ?dMW\ 4 /dMW\ ûV'i-^r-J= 4?i3 173.»'. On a conclu de ces valeurs, celles de cC . ( ) , ce A — — ) , &c. \ day J \ da? J qui sont nécessaires dans la théorie de Saturne , au moyen de l'équation générale, /«MfCO\ /7.sin. (jn"t — 2n"t+ 5«v — a") — 5",68ig7o.cos. (^rft — 2n"t-\-^ — 2î") ; d'où l'on a conclu pour un temps quelconque t, ce terme égal à (V',53 1758 — t.o",ooi83 io,).sin. (y^t — 2n"t+ ^ — 21™) — (^",672724 + t.o",oooo46o^.cos. (^nyt — 2n"t-\- 55* — 2î"). Pour déterminer la partie de la grande inégalité de Jupiter , dé- pendante des produits de cinq dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites, on a déterminé par le n°. 8 , les valeurs de jy"(°). JVi')} &c. pour les deux époques de 1750 et de 19503 et l'on a trouvé , En 1/S0. t£,.N^= — 0,00000135044 aT.iY~(,) = — 0,00000789719 aT.iV"(a)== 0,0000198552 a'.iV"(3'= — 0,0000175127 aT.iVr(4)— 0,0000066540 a".iV(5> = — 0,0000009277 av_^y(5)_ — 0,0000003618 ay.N(-7'> = — 0,0000003643 aY.N^= 0^000001720 a" . N^ = — 0,0000000730. En igSo. 5 a-.W0^ — 0,00000129983 ; ; a\W') = — 0,000007547715 a\N^ = 0,0000196012 ; a\N^z= — 0,0000172415 ; tt'.jywj = 0,0000066551 ; a\N^=^ — o,oooooog4o8 ; a\w*y= — ■ 0.0000003 562 ; B*JW = — 0,0000003460; rt.NW — 0,00000017125 a\N^ = — 0.0000000732. De-là on a conclu l'inégalité correspondante relative à Saturne , que nous donnerons ci-après , et en la multipliant par le facteur -Va' , on a obtenu l'inégalité suivante de Jupiter, C38",S9257i — £.o'/,oo54i8j.sin. (^nvt — 2 7z'7+i6.*.2e".— — 85",7873.«.2e-.— „ „ (Y deT de"\ (dzry—d-v") ' ,1 + 1 3 2",4g89.<. f e'v.— -+ e\— ).cos.(VWT>e'V. -.srn.(V-*r'V [. En substituant pour -r , -— , — r-, —— , leurs valeurs données par r dt1 dt dt dt ce qui précède , et intégrant, on a JV" = — t2 . 0",OO0O020066. Cette inégalité est insensible dans l'intervalle de mille ou douze R2 13a MECANIQUE C E L E S T E, cents ans, et même par rapport aux observations les plus anciennes qui nous soient parvenues ; on peut donc la négliger. Il nous reste à considérer le rayon vecteur de Jupiter. On a vu clans le n°. 8, que les termes dépendans du cube des excentricités, ajoutent à son expression la quantité — a" e".H.cos. (%nyt— 2 n"t + 5e'— -a"— ™n+A) + a" e" . H. cos. (4n"t — 5 n"t + 4&" — 5 S — •sr" — A) 4m'.tf'.fl"' f P.sin. f 5^ — 2 tz,v£+ 5^—2 s"Jh 5n'— 27i™ '\+P'. cos. ( l + o,oooiooi86o.cos.r4rc"£-57zvH-4ê'v- 5^50^3 io8;j° La dernière de ces inégalités réunie à celles-ci , . { 0,0000268383. COS. (*)??*— 4rc,v£+5£v— 4<-IV— *r"J> f 1 + ^'(_ 0,0000 ïi6o48. cos. C5«vi — An"t+i'."— 4 s"— *-y)l* donne la suivante , S'r'— (1 +1^'). 0,0000983161 .cos. (inrt— jnvt+ 4s"— 5e'— 1 5 ",987 4). Le demi-grand axe a™ dont on doit faire usage pour calculer la partie elliptique du rayon vecteur, doit, par le n°. 20, être augmenté de la quantité ja".m" ; en la réunissant à la valeur de a"duii°. 21 , on trouve a" = 5,20279108. Inégalités du mouvement de Jupiter en latitude. Ôï. Il résulte du n°. i4 , que les termes dépendans du carré de la force perturbatrice , ajoutent à la valeur de —, la quantité — m" . \/a! cf mlv. \/ a,v+mT . \Zra" (fy £n ) . J — . cos. (n — 0") —y- — - sm. (n — 6») ; et à la valeur de — - , la quantité Z?^ ^.f-y.sin.rn-^+^-.cos.rn-^|. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 133 Sy et ^n étant déterminés par le 11°. cité. La première de ces fonc- tions , réduite en nombres , est égale à — o ,000224 ; d$ '" d

92929<3 ■■> de'" ^..- _ 4,V,483.. On trouve ensuite , par les formules du n°. 51 du second livre , i",742i54.sin. (n*t+zy— il") Ssr,= Si ',742154.8m. (n*t+'.y— n"; % + 9//,o4gk-5'6.:ain. (anTt — n"t+2? — e"— TV) | - , + 3 ',456117. sin. (}rfi — a»w*+î6T— as" — PTt>V; j—o", 862291 .sin. (tir?t — jn1*t+&i' — 3s1"— W")[ {— o",83o647 . sin. (s. n"t — nyt+ 2 s,v— ev — n") j n" dans cette formule , étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite de Saturne sur celle de Jupiter. Enfin , on a par le n°. 10 1 l'inégalité Ss"= i2",i6568o.sin.r3ra,vi— 5n^+3î,T— 5sY+66°,i2i9;. >3( MECANIQUE CELESTE, CHAPITRE XIII. Théorie de Saturne. 55. L EQUATION r" r'' v trouvée dans le n°. 3 3 , relativement à Jupiter , devient pour Saturne, Si l'on prend pour r" et r" , les moyennes distances de la Terre et de Saturne au Soleil, et si l'on suppose fF" = d= 1", on aura <5V = =f= 0,0001 4 1 3 26. On peut ainsi négliger les inégalités deJVv au-dessous de =po,oooi4i. Nous négligerons les inégalités du mouvement de Saturne en lon- gitude et en latitude , au-dessous d'un quart de seconde. Inégalités de Saturne indépendantes des excentricités. 9",74'2 382.sin. (n"t — 7i*t + '."— i") | —97 ",202867 . sin. 2 . (n'vt — nvt + e,v— i") I -2oV6522o.sin. 3 .(n"t — rft + i»'— iy)ï \— 6",o6"7 1 24 . sin. 4 . fra"'* — tzvJ + e"— ty)\ JV= (i+^)-<—- 2 ",15 1379. sin. <,.(n"t — n't+t™— t'y J— o",83 5 768 . sin. 6 . (n"t — nvt+ £IV— i")\ o",3 5 8923 . sin. 7 . f rc'v£ — rav£+ e,v — £VJ | — o",i73227.sin. $.(n"t — nvt+t™ — i-y o//,io5239 . sin. Q.(n"t — nH + s,v— O, i; SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 335 28",544o4o.sin. (ri?t — nyt + iyi— J) — 44",6o4670 . sin. 2 . (nyit — nyt + s"— i") - 4",ia48 1 S. sin. 3. . (n?t — ny-t+ •? — *") j J — o",g72099i.sin,4.(V"£- — «V + 5" — &}\ •\— 0^79908 -sin. 5., ( n-'t — n-t + s"— »V| — o",i464î».-sin. 6. (V*— nvf + «"— ^ | — o",P3 2980 . sin. 7 . (ny't — #i + s"— s?) — o",o 1 2 ! 66 . sin. 8 . ftp* — nyt + s"— «T^ ,!> = fi+A*w;. 0,0039077763 + o,oo8i5 384oo.cos-C7î'Ti— *-rcy£4- s" — &VJ + 0,0013838330.003.. %.(n"t — n"t-\-t" — iv) + 0,0003200673 .cos. \.(rft — nyt + zly — i") + 0,0000992632.005. yt — rît + î" — î1) ' — 0,0000137622 +0,0001491217 • cos. (nyt — nxlt + iy — îvr) -0,0003949916. cos. 2 . (lit — ny't +êT — i^'Ji + fl + /^'J),\ — 0,0000480303 .cos. i.(nH — ri't+iy — è"')\ j — 0,0000 118201. cos. 4 . (nyt — ny't+ € — s")\ j — 0,000003 6280 . cos. 5 . (nyt — - ny't + iy — î"'-p { — 0,00000 12501. cos. 6 . (rft — ny't + ty — tyi) Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités. On a eu égard , comme on l'a fait dans Te n°. 33, relativement à Jupiter, aux variations séculaires des coëfficiens des inégalités qui surpassent cent secondes , et l'on a trouvé , 136 MECANIQUE CELESTE, ' — 3 5 ",5 23 202 . sin. (n"t+ i"— rf) + 3 ",882844. sin. (Vv£+ sIV— «'V — 6",37i72 3.sin. (zn"t — n-t + zt"' — s' — >s?) + 8",249634.sin. (2n"t — nyt+2i"—î''—^"') o",go2 132. sin. (1 n"t — 2r?t+ 3 s,v — 2 s" — 7=(l+^).l + (iooiii7;.sm.f3ira^7^+3!V~;;' V, l + 94°,oi39—f. 106 ,635]] -4-88",o45 3Q8.sin.^"f — 7z^+e1T— ê'+93°,6429; 1 , „~. » / / , • fa»"*— 4t7/*+2s1t — 4«t 11 — (^2066 ,q2ogoo — i.o ,047745;. sin. < ,' à 0 ' , . „ [I 1 'J J '' J l + 62°,425o + if.i52 ,77Ji l — g",o6iogo.sin. (jnyt— }riyt+pr— 3e"— 63 ",5 ou 5 7 . , , -, ( 5",936888.sin.r3^-3^+3ê-— 3e'— 75Vt576;) t( f** y,{ + 95",757344.siii.C37z^— ^+3^— *'— 95%°779^ J En réunissant les inégalités dépendantes de ri't — ri't , et de 3tzY — 37zv,£ , avec celles qui sont indépendantes des excentricités, on a pour leurs sommes , fH-^rf;.89",4o4702.sin.Cwf-- 7z^+6"— ê* + 86°,7262; — Ci4-^i;.5",9i448i.sin.('372,"i— 3raTf + 3sVI— 3êT+76°,0577;. On a ensuite , 1 — 0,00 1 1710805 . cos. f 3 ri't — 7i"t+ 3 £v — s,v — 1 oo°,23 30; -\ / W , *\ }— O,O00562t9Ol. COS.(f7ZIVJ — «7 + ï"— 5v + 92°,7 139; ( /-j-{o,oi5iqqob24 — £.0,0000003370 } .cos. { _ „ „ \ l L ' 5 yy ' 7 J . l4-620,2324+^.i^",36J) L'inégalité du rayon vecteur, dépendante de ri't — ri't , réunie à son analogue indépendante des excentricités, donne (1 + y") .0,008109003 5 . cos. (ri't — n"t + zy — s" — 4°,39g7;. 572* — 2 7zIV étant très-petit ; l'inégalité dépendante de 'jrivt — 4n"t , a été calculée par les formules {B) et (C) du n°. 1. 372" — n" étant fort petit; l'inégalité dépendante de 3/7//; — 7Z1V/;, a été calculée par les formules {^4) et (D) du même n°. Elle doit, pour plus d'exacti- tude , être appliquée au moyen mouvement de Saturne , à cause de la longueur de sa période. Mécan. cél. Tome III. S i38 MECANIQUE CELESTE, Inégalités dépendantes des cubes et des produits de trois et de cinq dimensions , des excentricités et des inclinaisons des orbites , et du carré de la force perturbatrice. La partie la plus considérable de la grande inégalité de Saturne , est celle qui a pour diviseur (^n" — in" y , et qui dépend de P et de P'. Elle a été conclue de la grande inégalité de Jupiter, en mul- tip liant cette dernière partie par le lacteur — , coniormé- 6 mv . n"* ment au n°. 8 ; ce qui donne pour cette partie de l'inégalité de Saturne , — {9iQ9",io,oo2o — 2.o",o6o8o6i — t*.o' ',00013903}. sm..( jri't-'mv't-\- jf-Si" ) — { 863 ",4l5400 1. ■$",) — { 34",8oo64o + *.o",0572oio } .cos. (yi^t — 2n*vt+3M7ri .smL.C5?2T£ — 2nv't-{- 5 s* — 21™) 4- i6",423734.cos. (pi"t — 2n"t+ 5e* — 2^)1 et eu 1950 , il sera égal à 23 ",800290. sin. (^rït — 2n"t+ jt* — 2t") + 1 4",8g4 510. cos. ( 5 rCt — 2 11 '"t + 5 sv — 2 &"■) ; ce qui donne pour le temps /, l'inégalité {2}",iij'jii + t.o",oo2i2i} .sin. (^nH— 2 n^t+js" — 2tlv) + {i6",423734—«.o",007646} .cos. (jnû—2n"t+ 5s"'— 2sIv;. La partie de la grande inégalité de Saturne , dépendante des pro- duits de cinq dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites , est , par les nos 8 et 1 8 , f _, 2a-. dP, dP') 1 rf P '.! 1 Ut n" '- i5.m".nT l\ „, acf.dP dP'\ ., 1 { a*. P. +- — • + t.ay.-r- }.sm.( \-\a\P.— - rr + ^W -}-cos.(ïn,t~2n"t+ ts-z^n l l ' (<>7i*-2n").dt dt ) K) ' > y] en désignant par P, et P/ les coëfficiens de sin.(jri''t-2ri''t-{- j^-az") et de cos. (^rït — 2n'rt+<)ir — 2i"), du développement de i?, et dé- pendans des produits de cinq dimensions des excentricités et des inclinaisons. On a trouvé pour 1750, a'.P, = — 0,00000683765 cf-P,' = — 0,00001000875 et pour 1950, par conséquent , ay.P/ = — 0,00006771325 av.P/ = — o,ooooog6g4o ; dP à'--rL = — 0,0000000043780; dP' °y'-~ = 0,00000000157355 ce qui donne pour la fonction précédente réduite en nombres , — (89",95244o — t.o",oi25g6} .sin. (jnvt — 2nn+pv — se") + (58",27°3ï3 +t.o",o3 5o48} .cos.(^nH — 2n"t->r^ — 2i"). Enfin, on a déterminé par le n°. 16, la partie sensible de la grande Sa -(!+/*»; 140 MECANIQUE CELESTE, inégalité de Saturne, dépendante du carré de la force perturba- trice, et l'on a trouvé pour cette partie, en 1750, — n",77g433.sin. £$tM — ïn"t+jiv — 2î1v) + i32",47oi2i .cos.( yivt — 'jjvt+ 5 e» — se"); et en 1950, — 5 ",o 5 1 7 66 . sin. ( 5 wt — 2 Ji"t + 5 sr — 2 i") + i34",644og3.cos. (sin_ Rouble argument de la grande îne- ° m".\/ a" galité ) ; ce qui donné f94-",7I9oo2 — t. 0^,005 320^). sin. (double argument delà grande inégalité ). Il faut encore appliquer cette inégalité, au moyen mouvement de Saturne. L'inégalité _ . Ll_l — 1 __ v ,. .H .K' . sin. (tort— gn-t+ 4«"— or— B —^4') 4 ?rt'v . \/a"> SECONDE PARTIE, LIVRE VI. Ut trouvée dans le n". 1 3 , devient ,~ en la réduisant en nombres , — 25",5o777o.sin. ("47î,vf — 9ra^+4e,v— giv— 67°,3 508;, On a encore par le n°. 8 , l'inégalité $.K'.sin.(sTt>t— zri"t-\-^— 2^"+^ + B'). Cette inégalité , réduite en nombres , étoit en 1750 , égale à i45",4i7ioi.sin. (<2n"t— ^t + zi" — 3^+ i64°,595oj. En 1950, elle sera i42",923362.sin. (in"t— 3rcy£+2e,v— 3eT+ i66°,3ig7; j sa valeur pour un temps quelconque t , est donc , / a / 1, ,,.0 > • fan"* — ^wt+2i" — 3^ (i4j ,4i7iox-*.o ^^J.smJ^^J^^^ j. En réunissant cette inégalité , à celles-ci , {105^992675 — £.o",oo5gi4}.sm. ("^rct — 2n"t + 3e* — ta" — 43o3_^76,,36!. On a vu dans le n°. 5 , que le moyen mouvement de Saturne est assujetti à une équation séculaire correspondante à celle que nous avons trouvée dans le n°. 33 , pour Jupiter , égale à — t* . o",ooooo2oo66. L'équation séculaire de Saturne est ainsi , par le n°. 5 , égale à — . t* . o ,0000020060 ; et par conséquent égale à ï2.o",ooooo4665. Cette inégalité peut être négligée sans erreur sensible. U nous reste à considérer le rayon vecteur de Saturne. On a vu dans le n°. 8 , que les termes dépendans du cube des excentricités, ajoutent à l'expression du rayon vecteur de Saturne, la quantité ] 4,2 M E'C INIQUE CELESTE, — a- . .cos. fn — ô'j ■ m".yan+7ti'.ya'lt t J ■= (l + (*■"). I — o",o8o}iQ.sin.î.(nnt—rï't + i"—iy')\ j_ o",oiiogo.sm.4.(n™t—n"t+£'v—t")[ ( — o",oo2 37 1 . sin. 5 . (n"t—n"t+ eIV— i")) 6 5",g6 1 045 . sin. (nvt—n"ù+ iv— S') -i3V>276ç;i.sin. z.&t — n"t + <-v— *") - a",66o8 Jo . sin. 3 . (rf.t— ?iv't+ ?— ^) - o",rJ (^ + 0)006133 5858. COS. (2lï"t — K^ + 2STI êv— v7)]' Mécan. cél. Tome III. i46 MECANIQUE CELESTE, Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. (— f 4o8".g78ooi— t. o",o448 163 j . sfii.f ^T^'*3*!'""^/ ).+ 5//,^8844o.sin.('4«^— 2^+4=."— 2^— 42°,8685; ( + 25",864683.sin.('«Tf— /2v'f+eT— £"+98°,3^7i; La dernière de ces inégalités , réunie à sa correspondante qui est indépendante des excentricités , donne la suivante : C1 +/-0-71", 470002. sin.(nyt — n-It + i"—(^+2}°,^8'yJ. On a ensuite , JV"-— —(i+yO- 0,00075 5 38iio- cos.(itf't— 7i*t+ ■}!"'—? + 8i°,i<ï6i). Inégalité dépendante des cubes, et des produits de trois dimen- sions des excentricités et des inclinaisons des orbites. JV = — (1 +/*',). 2",97743-2.sin .(V1™1 — 2/tTf+ 5^— .2«v — 75°,99iO. Inégalités du mouvement d'Uranus en latitude. 58. Les formules du n°. 51 du second livre, donnent + >VÏ«') / 2"582636o.sin.r»v* + ^— n-; 1 l + 9",oi5 592.sin. (anrt— ict +■ 2 s"— ? — Vf )y n,v étant ici la longitude du nœud ascendant de l'orbite de Jupiter sur celle d'Uranus , et nv étant la longitude du nœud ascendanl de l'orbite de Saturne sur celle d'Uranus. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. i4/ CHAPITRE XV. De quelques équations de condition qui existent entre les inégalités planétaires , et qui peuvent servir à les vérifier. 3q. JLes inégalités à longues périodes, produites par les pertur- bations réciproques de deux planètes m et m, sont à-peu-près, par le n°. 65 du second livre , dans le rapport de m! \/~â' à — m\/~a ; en sorte que pour avoir les perturbations de ce genre, correspon- dantes dans le mouvement de m', à celles du mouvement de ni, n-- • • • m. r a il suffit de multiplier celles-ci par ■ , l/~. Ce résultat est d'au- tant plus exact, qu'en vertu du rapport qui existe entre les moyens mouvemens des deux planètes , la période de ces inégalités est plus grande par rapport aux durées de leurs révolutions. Nous allons , au moyen de ce théorème , vérifier plusieurs des inégalités précé- dentes. L'action de la Terre sur Vénus produit par le n°. 2.8, dans le mouvement de Vénus , les deux inégalités dont la période est d'en- viron quatre années , — 4 ",782 56 1 . sin. f 3 n "t — 2 rit+ 3 e"— 2 e' — &') + i4",7 10902. sin. (}n"t — 2n't+}i" — z% — >u"). En les multipliant par — „ .^- , on a pour les inégalités corres- x m -Y a ° pondantes de la terre 3 ",4aa 5 -si"- f 3""* — m't+^s" — 2/ — ™') — io'\7l04:i.sm.(in"t—'2rit+ii"—2i— — 21V951a1.sin.C3»'"*— n't+yt'"— è% 72.^70% > m'". Va"1 En la multipliant par , .^— ,- , on a 6V4i44.sin.C3»'"i — «'«+3s'"— «'+72°,7o83;. Le calcul direct donne par le n°. 28 , 6",2027o6.sin. f3«'"* — »'*+3e'"— e'+73°,2o63;j ce qui diffère peu de l'inégalité précédente. Mars éprouve par le n°. 32 , de la part de la Terre , les deux iné- galités suivantes , dont la période est d'environ seize ans , — 3i",2i8207.sin.(>7z'"*— n"t+2i'"— i"—~") + if,8ii9ïo.sm.(2n'"t— »"*+2e'" — *"— <*"). ^ -, ,'.'-,. m"',Và'" , .',.., En les multipliant par - — -^7 , on a pour les inégalités cor- respondantes de la terre , 6",88o7 .sin. (3n"'t—n"t+2*'" — <-"—™'") — 3",485i.siu. c^'i-^'hfi^ss"'— *"— vi Le calcul direct donne par le 11°. 29 , 6",5977ii.sin. (zn'"t — 72"*+ 2*"'— s"— •*") — f,{$ili)o.sm.(2n,"t—n"t+2i'"—z"—K")- ce qui diffère peu des précédentes. Mars éprouve encore, de la part de la Terre, par le n°. 32, l'inégalité à longue période , — i3",4go44i.sin. (4n'"t— 2n"t+4<."'~ a «" + 75°,3 518^. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. i4g m . V a .,...., En la multipliant par — „ ^~n , on a pour lin égalité correspon- dante de la Terre , 2",9734.sin. C4ra'"« — 2«"f+4e'"— 2s" + 75°,35i8;; ce qui diffère peu de l'inégalité 3 ",06770a. sin. (f4«'"i— 27z^ + 4£'"— 2s// + 75°,35o6; trouvée dans le n°. 2g. Les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, sont encore à-peu-près l'une à l'autre, dans le rapport de — m*. \/ray, km". \/a'\ comme il est facile de s'en convaincre. Enfin Uranus éprouve de la part de Saturne, par le n°. 37, l'inégalité à longue période , — 4o8/y,978ooi.sm.O"v^ — ^^+3*T1 — «T— g8°,i3i3;. irf'.Va" En la multipliant par _-v , on a dans le mouvement de Sa- turne, l'inégalité 99^,900 . sin. (iTTt-— nH+îi"— €•— 98°i3 13^)5 ce qui diffère peu de l'inégalité gy',334222 .sin. (îri"t — nvt+in — *v — 97V 3 igj donnée dans le n°. 35. 4o. Considérons dans le développement de H, le terme de la forme m . MS^ e e' . cos. { i . (rit — nt + i' — t) + 2nt-{-2t-— «■ — •*'} ; et supposons que i.(n' — n) + 2n soit fort petit par rapport à u et à ri ; ce terme produira par le n°. 6g du second livre , dans l'ex- centricité e de l'orbite de la planète m , considérée comme une ellipse variable , l'inégalité 771 .an . . f r, r — t-t-, r~, >My>.e .zos,.\i.(nt — nt+t — t) + znt4-'2t — sr — «')■ 1.(71 -—71 J -j- '2 71 -" et dans la position « du périhélie , l'inégalité m' .an . . e' .' ■ . " — — ■ ; — • M ^> . — . sm.{i.(n t — nt + 1 — % ) -f ant + 2s — -sr — «■'). 1.(71 — n)-\-zn e v , Nommons fe la première de ces inégalités, et .e.sm.{i.(n t — nt + z — z) + nt-i-i — ^}. Ces deux inégalités de v et de v' sont dans le rapport de m .e . \/~a ', à m.e.s/~â ; en sorte que la seconde se conclut de la première, eu m .y a e multipliant le coefficient de celle-ci par — , .^- . — . r r m .ya' e' jn" — 371' étant peu considérable par rapport à //et même à n", on a dans*'', en supposant ï=5 , une inégalité dépendante de l'argument jri't — in't+^s" — 4ê' — &" , et dans v"-, une inégalité dépendante de l'argument ûri't — 37/'/: 4- 4 s" — 3/ — V. La première de ces inégalités est . par le n°. 28 , 6",77g4o5.sin. (^n"t — krit-\-^"— 4s'— -»"). tri .v a e' En multipliant son coefficient par ,, ■ /-;,« — ) on a pour la terre, l'inégalité 2/y,03 10 . sin. (kri't — 3 n't+kt" — 3 s' — par — 7=, on a dans JV1 l'inégalité m*'Va*' ° — 8", 3 772 . sin. (2n"t— nwt+ 2 sT' — ê"— IT"; ; et par le n°. 38 , cette inégalité est — q",oi <; jg2 .sin. ( 2 rï"t— nvt+ 2 svl— zv—n*>) 5 ce qui diffère peu de la précédente. 4:2. Il suit du n°. 6g du second livre , que i'n — in étant sup- posé très-petit relativement à 72 et an', si l'on représente par m'. P. sin. (i'n't — int + i'z' — u) -\-m' .P' .cos. (i'n' t — int+i'e — U) la partie du développement de R qui dépend de l'angle i'n't — int -f-z'V — ii ; il en résulte dans JV l'inégalité (i 2 m' .an J y 1 , sin. (i'n't — in t+ i't' — it — nt- — s + ^\ 1 — j . cos. (i'n't — in t+ 11' — ie — nt — !+^)j m- < ? il dans JV', l'inégalité ( (d?\ r- u • ,• •" • ', ' - m) 1, \ 1 tt l'COS. (in t — mt-t-ii — u — nt — s +<& )\ 2 m. a n I \de J \ in— in I (dp'\ ■ r-' 't •*>■'' ■ 't ' 1 ' il * / — I — l.sin. (int — int-l-n — u — nt — e + -aryl 11 suit encore du n°. 71 du second livre , que les mêmes termes de R donnent dans Ss l'inégalité l [ — — ) . cos. (i'n't — int+i'i' — h — nt — s + n)/ m .an \ \dy J ( / — ( — J.sin. (i'n't — int-{-i'i' — ii — nt — s-fn^l y étant la tangente de l'inclinaison respective des orbites de m et de m, et n étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite de m' sur celle de m. Si SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 153 Si l'on augmente l'argument de l'inégalité de JV, de nt + z — 55, et que l'on multiplie son coefficient par e y si l'on augmente l'argu- ment de l'inégalité de JV, de nt+z' — w', et que l'on multiplie son m .y a coefficient par — tt^S' et enfin si l'on augmente l'argument de Fine- m -V a' " - " galité de fs , de nt+z — n, et si l'on multiplie son coefficient par — 2-y; la somme de ces trois inégalités sera zm .an ^•(ï■)+e'•(§)+^(S")}•x;os■f^"7^'f-^'7^^+^"£,-^'o {e{ï)+e'(^)+,(?)}-sin'riv'"^+'v"£oi' or P et P' sont des fonctions homogènes en e, e et y, de la dimen- sion i — i , ï étant supposé plus grand que i ; la fonction précédente est ainsi égale à zrri.an.(i'-i) ( P. cos. (i'n't — int-hi't' — U)\ ïri — in { — P' .sin. (i'n't — ■ int+i'z — iz))' Maintenant , on a par le n°. 69 du second livre , dans $v , l'inégalité 3m'.a7î'.f f P. cos. (i'n't — int+i'z — iz)) (ïri — in)2 ' \ — P' . sin. (i'n't — int-i- i'z — iz))' D'où il suit que si l'on représente par X.sin. (i'n't — int+i'z'— iz — nt — t + O) ; l'inégalité de JV, dépendante de l'angle i'n't — int+i'z' — u — -nt — s; si l'on représente par K'. sin. (i'n't — int + i'z — U — nt — z + O') l'inéganté de *'). SECONDE PARTIE, LIVRE VI ïyf L'inégalité de m', produite par l'action de m, et dépendante de l'argument nt-t- e — - -s- , est 4ra'a — .(0,1) .0. sin. (nt+i — -sr). • _ /—a —'a } * ' ' - 71.(71—71 ) Les coëfficiens de ces deux inégalités sont donc dans le rapport de — (o,\) . n3 à (1,0) . n'3; or on a par le n°. 5 5 du second livre , m. V a (1,0) = (0,1).^-^ i en nommant donc Q, le coefficient de la première inégalité, le coefficient de la seconde sera m. a5 e ~ m'. a'5 '~7'^' Les inégalités de ce genre ont été vérifiées , soit au moyen de cette équation de condition, soit au moyen de l'expression précédente de Q. Ainsi l'action de Jupiter produit par le n°. 29 dans la terre, l'inégalité sensible — 7",839i4g.sin. (VTt+eIT— ^), Cette inégalité , par ce qui précède , est ^-^ — . (2,4) . e" . sin. (Vv*+ ê,r— tf*) . n".(n * — n™*) v ' ' \ ' Or on a par le n°. 24 , (2,i) = 2 1 ",444oi 5 ; en substituant dans cette1 formule cette valeur, et celles de n", n", et e", données dans le n°. 22 , et multipliant le résultat , par l'arc égal au rayon , on trouve — 7",8397.sin. (n"t + e"— n"). L'action d'Uranus sur Saturne produit par le n°. 35, dans le mou-' vement de Saturne, l'inégalité — 3",i22367.sin. (n"t+*Yl— -a"). 5 77iT . aT er En m ultipliant son coefficient , par . — , on a dans Uranus , m" . > — 7353o",8.cos. (t.cjQ\ï22'j) — i7572//34.sin. (t.^'\o^6) ; ^"=26050776— 3676",6 — i8i87",6.cos. rt.i55",.j927 + 950,0733; + 5082V7.COS. C*.43",o446J) — 28463",6.sin. ^.9g",i227; ; 4'=i.i55",5927 + 3°,iioi9— 3°,noig.cos. Ci.99",i227; — i4282",3 .sin. (t. if, 0^6) ; ^/ = 26>776— 3676^,6. {1 — cos. C«.43",o446;} —10330,4. sin. (t.gg",i22'j). L'accroissement de Vannée tropique, à partir de 1750, est alors égala — o'',oooo863 0 . { 1 — cos. (t. 43 ",o446; } — o',ooo442ig8.sin. (t. gg",i227>) ; d'où il suit qu'au temps d'Hypparque, l'année tropique étoit de i2",676g plus longue qu'en 1750. L'obliquité de l'écliplique étoit plus grande alors de 2g48",2. Enfin, le grand axe de l'orbe solaire a coïncidé avec la ligne des équinoxes, dans l'année 4o8g avant noire ère ; il lui a été perpendiculaire en 1248. J'ai déterminé la masse de la lune, par les observations des marées dans le port de Brest. Quoique ces observations laissent beaucoup à désirer encore; cependant elles donnent avec assez de précision , le rapport de l'action de la lune à celle du soleil sur les marées de ce port. Mais j'ai observé dans le n°. 18 du quatrième livre , que les circonstances locales peuvent influer très-sensible- ment sur ce rapport, et par conséquent sur la valeur qui en résulte pour la masse de la lune. J'ai indiqué dans le même livre, divers moyens pour reconnoître cette influence ; mais ils exigent des observations très-précises des marées, et celles qui ont été faites à Brest, présentent encore assez d'incertitude, pour craindre une erreur au moins d'un huitième, sur la valeur de la masse de la lune. Les observations des marées équinoxiales et solsticiales, sem- blent même indiquer dans l'action de la lune sur ces marées , une augmentation d'un dixième , due aux circonstances locales ; ce qui tliminueroit d'un dixième, la valeur que j'ai assignée à la masse de SECONDE PA&ÎÏË, LIVRE VI. 159 la lune. Il paroît, en effet, par divers phénomènes astronomiques, que cette Valeur est un peu trop grande. Le premier de ces phénomènes , est l'équation lunaire des tables du soleil. J'ai trouvé dans len°. 29 du sixième livre ^"^o.^ pour le coefficient de cette équation , en supposant !a parallaxe du soleil, égale à 2ju,2. Il seroit 26",47i4, si la parallaxe du soleil étoit 26",420<[ , telle que je l'ai conclue de la théorie de la lune , comme on le verra dans le livre suivant. Delambre a déterminé ce coefficient par la comparaison d'un très-grand nombre d'observations, et il l'a trouvé égal à 23", i4S ; ce qui en admettant la seconde de ces parallaxes du soleil , que plusieurs Astronomes ont conclue du dernier passage de Vénus sur le Soleil , donne la masse de la lune, de celle de la terre. 63,2 Le second phénomène astronomique est la nutation de l'axe terrestre. J'ai trouvé dans le n°. 13 du livre V, le coefficient de l'inégalité de cette nutation, égal à 31 ",03 6, en supposant la masse de la lune , divisée par le cube de sa moyenne distance à la terre , triple de la masse du soleil , divisée par le cube de la moyenne distance de la terre au soleil 5 ce qui suppose la masse de la lune — — de celle de la terre. Maskeline a trouvé par la comparaison de toutes les observations de Bradley , sur la nutation , le coefficient de cette inégalité égal à 2g",475 ; ce résultat donne la masse de la lune - — - 71,0 de celle de la terre. Enfin, le troisième phénomène astronomique, est la parallaxe de la lune. On verra dans le livre suivant, que la constante de l'ex- pression de cette parallaxe , en fonction de la longitude vraie de la lune, est io58o",3 , en supposant la masse de la lune — - de celle de 58,6 la terre. Burg qui a déterminé cette constante, par un très-grand nombre d'observations de la lune, l'a trouvée égale io5g2",7i ; et l'on verra par les formules que nous donnerons dans le livre sui- vant , que ce résultat correspond à une masse de la lune de 74,2 celle de la. terre. Il paroît donc, par l'ensemble de ces trois phéno- i6o MECANIQUE -CELESTE, mènes, qu'il faut diminuer un peu la masse de la lune, qui résulte des phénomènes des marées observées à Brest, et qu'ainsi l'action de la lune sur les marées de ce port, est sensiblement augmentée par les circonstances locales ; car les observations multipliées soit des hauteurs, soit des intervalles des marées, ne permettent pas de supposer celte action sensiblement plus petite que le triple de l'ac- tion du soleil. La valeur la plus vraisemblable de la masse de la lune , qui me paroît résulter des divers phénomènes est de celle de la terre. 1 * ■ 68,5 En employant cette valeur, on trouve 23 ",3 70, pour le coefficient de l'équation lunaire des tables du soleil, et io<58g",i3 , pour la cons- tante de l'expression de la parallaxe de la lune. On trouve encore 2g",77g.cos. (longitude du nœud de la lune), pour l'inégalité delà notation, et — 5 5 " J648 . siri. (tang. du nœud i), pour l'inégalité delà précession des équinoxes. Le rapport de Faction de la lune à celle du soleil sur la mer est alors égal à 2,566; ainsi les observations des marées dans le port de Brest, ayant donné 3 pour ce rapport, il paroît qu'il est augmenté par les circonstances locales, dans la raison de 3 à 2,566. Des observations ultérieures et très-précises fixeront invariablement ces divers résultais, sur lesquels il ne reste plus que très-peu d'incertitude. La masse de Jupiter paroît bien déterminée. Celle de Saturne présente encore quelque incertitude, et il est bien à désirer qu'on la fasse disparoître par l'observation des plus grandes élongations de ses deux derniers satellites, déterminées dans deux points opposés des orbites , afin d'avoir égard à l'ellipticité de ces orbites. On pourra encore employer pour cet objet , la grande inégalité de Jupiter, lorsque les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne seront bien connus; car ils ont une influence très -sensible, sur le diviseur (5^' — 2/z'v)2 qui affecte cette inégalité. Il me paroît vraisem- blable qu'il faut augmenter d'une ou deux secondes, le moyen mouvement annuel que j'ai assigné à Jupiter , et diminuer à-peu- près de la même quantité , celui que j'ai assigné à Saturne. Les inégalités périodiques de Jupiter et d'Uranus produites par l'action de SECONDE PARTIE, LIVRE VI. i6i de Saturne, offrent, encore un moyen assez exact pour déterminer la masse de cette dernière planète. La valeur que j'ai assignée à la masse d'UVanus , dépend de la plus grande élongation de ses satellites, observée par Herschel. Ces élongations doivent être vérifiées avec un soin particulier. Quant à la masse de Mercure ; les inégalités qu'elle produit dans le mouvement de Vénus , peuvent servir à la vérifier. Heureuse- ment, son influence sur le système planétaire étant très-petite, l'erreur qui peut exister encore sur la valeur de cette masse , est presque insensible. Mécan. cél. Tome 111. 16a MECANIQUE CELESTE, CHAPITRE XVII. Sur la formation des tables astronomiques f et sur le plan invariable du système planétaire. 45. IN ou s allons présentement indiquer la méthode dont on doit faire usage dans la formation des tables astronomiques. Quoique nous ajrons donné les inégalités tant en longitude qu'en latitude, qui ne sont que d'un quart de seconde ; cependant les observations les plus parfaites ne comportant point ce degré de précision, on peut simplifier les calculs, en négligeant les inégalités au-dessous d'une seconde. On formera, au moyen d'un grand nombre d'obser- vations choisies et disposées d'une manière avantageuse, le même nombre d'équations de condition entre les corrections des élémens elliptiques de chaque planète. Ces élémens étant déjà connus a très- peu-près , leurs corrections sont assez petites pour que l'on puisse en négliger les carrés et les puissances supérieures, ce qui rend les équations de condition , linéaires. On ajoutera ensemble toutes les équations dans lesquelles le coefficient de la même inconnue , est considérable; de manière que leurs sommes donnent autant d'équa- tions que d'inconnues : en éliminant ensuite , on déterminera chaque inconnue. On pourra même déterminer par ce moyen, les corrections dont les masses supposées aux planètes sont suscepti- bles. Si les valeurs numériques des inégalités planétaires sont exac- tement calculées, ce dont on s'assurera en vérifiant avec soin les résultats précédens ; alors on pourra , à chaque observation nou- velle, former une nouvelle équation de condition; en éliminant ensuite , tous les dix ans , les corrections fournies par ces équations et par toutes les précédentes , on corrigera sans cesse les élémens des tables, et l'on parviendra ainsi à des tables de plus en plus exactes , pourvu , toutefois , que les comètes ne viennent point alté- rer ces élémens ; mais il y a tout lieu de croire que leur action sur le système planétaire est insensible. SECONDE PARTIE, LIVRE VI. 163 46. Nous avons déterminé dans le n°. 62 du second livre, le plan invariable à l'égard duquel la somme des produits de la masse de chaque planète , par l'aire que son rayon vecteur projeté sur ce plan décrit autour du soleil, est un maximum. Si l'on nomme y l'in- clinaison de ce plan, à l'écliptique fixe de 1750; et n la longitude de son nœud ascendant sur ce plan; on a par le n°. cité, 2.m. V a. (1 — e'J.sin. (p.sin. i tang. y.sm.n = tang. y.cos.u = S.m.V a.(i — e*).cos.

, et S données pour chacune d'elles , dans le n°. 22 , on trouve par ces formules , y = 1°,7689 ; n = ii40,3979. En substituant ensuite pour e tp et 9 , leurs valeurs relatives à l'époque de 19 50 3 on a y = i°37689; n= n4°,3934; ce qui diffère très-peu des valeurs précédentes , et ce qui fournit une confirmation des variations trouvées précédemment pour les inclinaisons et les nœuds des orbes planétaires. X2 i64 MECANIQUE CELESTE, CHAPITRE XVIII. De l'action des étoiles sur le système planétaire. 4:1. -Tour compléter la théorie des perturbations du système planétaire, il nous reste à considérer celles que ce système éprouve de la part des comètes et des étoiles. Mais vu l'ignorance où nous sommes des élémens des orbites de la plupart des comètes , et même de l'existence de celles qui ayant une grande distance péri- hélie, se dérobent à nos regards, et cependant peuvent agir sur les planètes éloignées ; il n'est pas possible de déterminer leur action. Heureusement, il y a plusieurs raisons de croire que les masses des comètes sont très-petites, et qu'ainsi leur action est insensible; nous nous bornerons donc ici à considérer l'action des étoiles. Reprenons pour cet objet, les formules (-X), {Y), et (Z) du n°. 46 du second livre , a.cos. v.fndt.r.sm.v.l i.jAR + rA J 1 -a.sin. v.fndt.r. cos. v.\ 2.fdJR + r.( — m JV = fi.V\—ë zr.d.fr + dr.Sy (X) a%.ndt JV = — +frj£-™+£f*.*{%) en /dR\ . . /dRs a.cos. v.fndt.r. 5m. v.[ -—- ) — a.sui. v.f ndt.r. COS. l'A -j- 'dR\ — ~ ' — - — ;{Z) t*.V i — e* Désignons par m la masse d'une étoile; par x', y', z', ses trois coor- données rectangles, rapportées au centre de gravité du soleil; et par r, sa distance à ce centre; x , y , z étant les trois coordonnées de la planète m, et r étant sa distance au soleil. On aura par le n°. 46 du second livre, m' .(xx'-\-yy'-\- zz') m' H = Y(x'—x)*+(y'— yy+(*'— *;•• SECONDE PARTIE, LI VUE VI. 165 En développant le second membre de cette équation , suivant les puissances descendantes de r, on aura m m'.r* 3 , (xx' + yy' + zz' — |># r a/3 r5 Prenons pour plan fixe, celui de l'orbite primitive de la planète ; nous aurons , en négligeant le carré de z , x = r-cos. v ; y = r.s,in.v ; z = rs. Nommons ensuite /la latitude de l'étoile m, et £7 sa longitude; nous aurons x' == r . cos. /. cos. U ; y' = r . cos. /. sin. U ; z' = r . sin. / ; d'où l'on tire , en négligeant les puissances descendantes de r, au- dessus de r'3, „_ m' m'.r* f2 — 3.COS.2./ — 3 . cos.2 . /. COS.C2 v — 1 JJ)\ r' 4r'3 '[ — 6 s. sin. al. cos. (v — U) j" Maintenant, r, /, et U, variant d'une manière presque insensible , si l'on désigne par i?y,la partie de R, divisée par r'3; on a en négli- geant le carré de l'excentricité de l'orbite de m , et le terme dépen- dant de 5, et qui est de l'ordre des forces perturbatrices que m éprouve par l'action des planètes, _ m .a* fdR = Rt _.^_3„Cos.'Z;; La formule (JX) deviendra ainsi, en supposant m=i, ce qui revient à très-peu- près à prendre pour unité la masse du soleil , £r = 4 a. cos. v .fndt.rRr sin. v — ^a.sin.p .fndt.rR^.cos. v. Substituons pour r sa valeur a. { i + e.cos. (v — &)}, et pour ndt, sa valeur dv ■ { 1 — 2e. cos. (p — v) } ; et négligeons sous le signe/, les termes périodiques affectés de l'angle v ; nous aurons, 771' . G3 . dv ndt.r.Rrsïn.v= — — — .{fi-i.cos.*l).e.sin.v+±.cos.*l.e.sin.(Jr'n~-ïU)}. a r Maintenant on a S-r — = '\du~)^'h>u\~dj) 5 (L) fdds \ f 2 r/rfQ\ tfiTj "1 * /<*Q\ " h>u'\ du) h*u* \ ds ) Dans ces équations , t exprime le temps , et l'on a n_ _J m'.(xr'+yy'+zz') r r'3 V (x'-xf+ (y'—y)>+ (z'-z)* M, m et m' sont les masses de la terre, de la lune et du soleil; x,y,z sont les coordonnées de la lune rapportées au centre de gravité de la terre , et à une écliptique fixe j x',y, z sont les coor- données du soleil ; r et r sont les rayons vecteurs de la lune et du soleil j 5 est la tangente de la latitude de la lune au-dessus du plan fixe ; - est la projection de son rayon vecteur sur le même plan j v est l'angle fait par cette projection , et par l'axe des x ; enfin Aa est une constante arbitraire dépendante principalement delà dis- tance de la lune à la terre. i8'2 MECANIQUE CELESTE, La valeur précédenle de Q suppose la terre et la lune sphéri- ques. P dM.dm Mm '■/ / f prises par rapport aux coordonnées du centre de la lune. Ainsi • - < M-]-m l'on doit substituer cetle iqnction a -. — ■-- — , dans 1 expression pré- cédente de Q. Si la lune éloit sphériqne , on pourrait, par le n°. 1 2 du second livre , supposer sa masse entière réunie à son centre de dM.dm , gravité; on auroit donc alors // — — — égal a la masse m de la lune, J multipliée par la somme de toutes les molécules de la terre, divi- sées par leurs distances respectives au centre de la lune ; en nom- mant ainjsi P^ cette somme , on auroit ff dM.dm - := m . r. f M . /^seroit égal à —, si la terre étoit sphériqùe ; en désignant donc M' .S-, „v£ -, •-.■,,•.,! r, dM.dm \ y par «Pf^ , m . *k sera la partie de 1 intégrale JJ — — — , due r J à la non sphéricité de la terre. Si l'on nomme pareillement Wi la somme des mqlécules de la lune , divisées par leurs distances au centre de gravité de la terre supposée sphériqùe ; on aura ' dM.dm ff' f ~M.F" SECONDE PARTIE, LIVRE VII. )85 en désignant ainsi par £P" , la différence V ; M.ïV sera la dM.dm - , . . .. . . partie de l'intégrale // — s — , due. a la non sphéricité de la lune ; on aura donc à très peu-près, (M+m) rrdM.dm M+m TîV SV M., rr dM.dm M+m , ,,_ (W W) 11 faut par conséquent augmenter dans l'expression précédente , L M+m de Q, , de la quantité (m+>»)-\m + — };■. pour avoir égard à la non sphéricité de la terre et de la lune. 1. Supposons d'abord ces deux corps sphérjques, et dévelop- pons l'expression de Q en série. On a \/ (x — x)*+ (y' - y)*+ ( z' — z)% v't'*-^ if — 2xx'— lyy — aas' Ce second membre développé suivant les puissances descendantes de /•', devient i (xx'+yy' + zz — {r>) , (xx'+ yy'+ u '— f i»)» + i Prenons pour unité de Masse, la somme M + m , des masses de la terre et de la lune , et observons que » COS V X = 11 ' s Marquons d'un trait pour le soleil , les quantités u , s et v relatives à la terre ; nous aurons «84 MECANIQUE C E £ E S T E , 3 {wi'. cos.(V — v')-{-uu . ss' j. u'^-fi -f «j } a T ' ' , (i + s")\u~* n u m'.u' I fuu'.cos.fv— t/ '.;+«"'.«'— î.u'ï-f i+«;)3 „ v — — ti .< +1. i i i _ — ! — ii_J_5/c, fi + **;.. g'* La distance du soleil à la terre étant à très-peu-près quatre cents foisplus grande que celle delà lune, w'esttrès-petit relativement à#; ainsi l'on peut, dans la théorie lunaire , négliger les termes de l'or- dre u°. On peut encore simplifier les calculs , en prenant pour plan de projection, celui de l'écliptique. A la vérité , ce dernier plan n'est pas fixe;, mais dans son mouvement séculaire , il emporte l'orbite de la lune, de manière que l'inclinaison moyenne de cette orbite sur lui, reste constante , en sorte que les phénomènes dépendans de cette inclinaison respective, sont toujours les mêmes. 5. Pour le faire voir , nous observerons que s'- est , comme il résulte du n°. 59 du. second livre , égal à une suite de termes de la forme Ai sin. (v -i-it+s) : nous la représenterons par 2.£.sin. (v +it-\-i) , i étant un coefficient extrêmement petit dont nous négligerons le produit par mu'3. La valeur de s sera, en négligeant les quantités de l'ordre s3, égale à 2.£.sin. (v+it+O + s, ->*?> étant la tangente de la latitude de la lune au-dessus de l'écliptique vraie. Cela posé, on aura us ) , •>"' s/ m i«.,„l 1- --sin. (v — v') — s'i l-i .cos.'(p—v }+S>Lc.\ I dv ] En substituant dans le second membre de cette équation , au lieu des, s.£.siu. (p + it+i) + sti et au lieu des', S A. sin. (v' + it+s); il devient ^^Ucos.^V^-+~xos.YvV;+&c.).fs/.cos.rv- + ii> + t)-\- &c.j ce qui donne pour la partie de s/ relative au mouvement séculaire de l'écliptique , z.(ai-{- i').h.s\n. (v+iv+t) s, = " ; : : • ' \.W?- 21 — ? Cette dernière quantité est insensible; car iv s'élevant au plus à cinquante secondes par année, et \rrfv qui exprime à-peu-près comme on le verra dans la suite , le mouvement rétrograde du nœud, surpassant 200 ; \irf est au moins quatre mille fois plus grand que 2 i ; on peut donc négliger le terme s.&. { 1 — fz'+i/} .sin. (v + ip+i) Mécàn. cél. Tome 111, A a 186 MECANIQUE CELESTE, dans l'équation différentielle en s/? et alors cette équation est indé- pendante de tout ce qui a rapport au mouvement séculaire de l'éclîptique. L'inclinaison moyenne de l'orbite lunaire à l'écliptique vraie, est une des arbitraires de l'intégrale de cette équation; on voit donc qu'à raison de la rapidité du mouvement des noeuds de la lune, cette inclinaison est constante , et la latitude st de la lune au-dessus de l'écliptique vraie, est la même que dans le cas où cette éclipti- que seroit immobile ; nous pourrons conséquemment supposer dans les recherches suivantes V = o , ce qui simplifiera les calculs. Nous aurons de cette manière , en négligeant les quantités des ordres toW, et m'u'5, Qu . . m' .u'3 r , , -, - = \-fUU + —, {1 + 3. COS. (iP — 2P ) — 2*'} 771 II ^ + -^j--{3-(i—is*).cos.(i>—i>')+î.cos.(iv—}v')}; d'où l'on tire en négligeant les quantités de l'ordre m'u'4s3, ( dO\ s /dQ\ 1 m'.u'3 . , ,,, 8uT"^3~ 4*V-cos. (V — p')+<).cos.(ip — Sv')}; \dïj~ i-^--sm.(2P~w') — ~^j- {î.(i-is*).sin.(p-p')+iî.sin.(iP-ip')); fdO\ us m .u'3s 3m'.u'4i , (-r)= r 1 — 1 — .cos. (V— p). ±. Pour intégrer les équations (Z) du n°. 1 , nous observe- rons que sans la force perturbatrice du soleil , la lune décrirait une ellipse dont le centre de la terre occuperoit un des foyers. On auroit alors par le n°. 16 du second livre , s = ^.sin. (p ' — 0) ; équations dans lesquelles y est la tangente de l'inclinaison de l'or- bite lunaire ; 8 est la longitude de son nœud ascendant ; e et f sont deux arbitraires dépendantes principalement de l'excentricité de -f- ) est nu] ; on aura SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 187 l'orbite , et de la position du périhélie, y et e sont des quantités fort petites : en négligeant la quatrième puissance de y , on aura " = w11+y.;-{I+i*' + g-C0S-f<,~~'gJ — i>2-cos- (*v— 2 9;}. Cette valeur de u suppose l'ellipse lunaire immobile ; mais on verra bientôt qu'en vertu de l'action du soleil , les noeuds et le périgée de cette ellipse sont en mouvement. Alors, en désignant par (1 — c).p le mouvement direct du périgée, et par (g — \).v , le mouvement rétrograde des nœuds , on aura s = y.sm.(gv — B)i u = h*(i+ zj-ii + iy^ + e-cos-Cw — ™)— jy'-cos.(2gp — 2S)}. Si l'on substitue cette valeur de u, dans l'expression de dt du n°. 1 , et si l'on observe qu'en négligeant l'attraction solahre , m \i+\-(e* + y%) — se. (i+ie* + \y*). cos. (cp-tt) dt=hz.dp.l-\-\.e*.cos.(2.cp-i-sr) — e3.cos.Oc^-3wJ+ï>°.cos.f 2gps9j J>; (. |".e>". {cOS.(2gP + CV-2.8-*r)-{-COS.(2gP-CP-28-{-ir)'} ce qui donne en intégrant , t = const. + h\p.(\ + 1 ea+f>3; — — - .(1 + |e°+ Wj.am. (cp—^J c 3^3-e2 • , > ft3-e3 -, -, . K-Y , /,•> + sm ( icp — iv ) .sm.( 3 cp — y*) + — sin.( igp — 2 OJ 4c 3c 4g ?/i3.eya %7fî ,eyz — — — : . sin. (a gv + cp — 2 9 — *- ) — — — r.sin. (o.gp— cp — 1 9 + w ). Les coëfficiens de cette intégrale sont un peu modifiés par l'action du soleil , comme on le verra dans la suite. Dans l'hypothèse elliptique , le coefficient de p de cette expres- sion , est par le n°. 16 du second livre , égal à a2 ; ce qui donne h3.(i+±e*+{y*)=J a étant le demi-grand axe de l'ellipse 5 on a donc alors, h=cï.(l-je*-iy>); Aa 2 / 188 MECANIQUE CELESTE, et par conséquent , u = - . { 1 + e* + ±y* + e . (1 + e*). cos.(cv— *■)— \y* . co$.(agP—^)}' et _2 En faisant ensuite n = a 2;on aura nt+i = p .(i — jy*).sin.(cv — *■) + — -.sin. (zcv — s.«) c 4c e3 . y1 .sin. (xcv — X") A — «sin. (zgv — 2 6) 3e 4g - . sin. f 2^^4-0^ — 28 — w) .sin/2fff— cv — 2Q+™); /t.(zg+c) b-(zg-c) î étant une arbitraire. Dans la substitution de nt4-t, on pourra supposer c et g égaux à l'unité, et négliger les quantités de l'ordre e3, ou ey*, dans les coëfïiciens des sinus. On aura ainsi, en conservant le terme dépendant de sin.(2gv — cv — 2Ô + -&), qui nous sera u tile , 77i-\-t-=v — ie.sm.(ci> — ™)-\-~e*.sin,(2cv — %^) + ^yt.six\.(igi> — 28) — f ey1 .sin. (igv — cv — 28 + ^). En marquant d'un trait pour le soleil , les quantités relatives à la lune, et observant que y' — o, on aura rit+e' = v — 2e'. sin. (c'v'— ■*') + \e'\$m. (2 cv — 2^') ; u' =•- -^ • { 1 -f é* + e . ( 1 + e") . cos. (cv— *' ) } . L'origine du temps t étant arbitraire, nous pouvons supposer s et s' nuls , et aloi's en faisant — = m , la comparaison des valeurs de nt n et de n't, donnera v — 2 e .sin. (c v — ^ ) + j e . sin. (icv — 2*0- ) = mv — 2 me.sïn. (cv — w)+- nie'1 .sin. (2 cv — 2<&) + ^ m. y*. sin. (igv — 28) — îrtiey*. sin. (2gv — cv — 28 + *) ; d'où l'on tire, en observant que c est extrêmement peu différent de l'unité , SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 1S9 */== mv — 2 me. sin. (cv ^) -f £ • m é1 . sin. fa-Ç? — 2,™) + j.7n>2.sin. (^2^^ — 28) — !-mey\sin. (zgp — cp — zS-\-^) -\-ze .(1 — f e'*).sim(c'mv — w() — zmee' .sin.(cp + c'mp — *r — ■*' ) — 2 mee . sin. (c v — c'mp — «• + ■*') + \ é* . sin. (2 c'mp — 2 ■*' ) 3 , 1 (\-\-e'.(i — ± ', dans l'expression de Q et de ses différences partielles , que l'on développera ainsi en sinus et cosinus d'angles proportionnels à p : mais il est nécessaire, pour ce développement, d'établir quelques principes relatifs au degré de petitesse des quantités qui entrent dans ces fonctions , et à l'influence des intégrations successives sur leurs différens termes. La valeur de m et à-peu-près égale à la fraction — : nous la regar- derons comme une quantité très-petite du premier ordre. Les excen- tricités des orbites du soleil et de la lune, et l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique, sont à-peu-près du même degré de petitesse. Nous regarderons ainsi les carrés et les pi-oduits de ces quantités, comme très-petits du second ordre ; leurs cubes et leurs produits de trois dimensions , comme très-petits du troisième ordre , et ainsi m .u ■ de suite. La force perturbatrice du soleil est de l'ordre — ■ — , et u3 l'on a vu dans le n°. 3 , que cette quantité est de l'ordre m*, ou du a 1 second ordre. La fraction — - étant à-peu-près ésrale à — , elle peut a x ° 4oo r être considérée comme étant du second ordre. Nous porterons d'abord les approximations jusqu'aux inégalités du troisième ordre inclusivement, et dans le calcul de ces inégalités, nous aurons égard aux quantités du quatrième ordre; mais il faut une atten- tion particulière , pour ne laisser échapper dans les intégrales , aucune quantité de cet ordre. Le développement de la seconde des équations (Z.) du n°. 1 . lui donne la forme suivante , ddu jgo MECANIQUE CELESTE, N* ne différant de l'unité, que d'une quantité de l'ordre m% el n étant une suite de cosinus de la forme £.cos. (iv+e). La partie de u relative à ce cosinus, est , par le n°. 4i du second livre, égale à h — -. cos. (iv + O; or il est clair que si V ne diffère de l'unité, que d'une quantité de l'ordre m, le ternie &.cos.(ip+s) acquiert par l'intégration, un diviseur de cet ordre , et par conséquent il devient beaucoup plus considérable et de l'ordre r — 1 , s'il est de l'ordre r , clans l'équa- tion différentielle. On verra dans la suite, que c'est à cela qu'est due la grandeur de l'inégalité nommée évection. Les termes dans lesquels i est fort petit , et qui ne se rapportent qu'au mouvement du soleil , n'augmentent point par l'intégration , dans la valeur de u ; mais il est visible par la première des équa- tions (L) du n°. i , que ces termes acquièrent le diviseur i , par l'intégration, dans l'expression du temps t : il faut donc faire une grande attention à ces termes. C'est de là que dépend la grandeur de l'équation nommée équation annuelle. Les termes de la forme &dv.sin.(iv+t) de l'expression de / dQ\ dv ( — — 1 . — , acquièrent par l'intégration de cette expression diffé- rentielle, un diviseur de l'ordre i, dans la valeur de u; d'où il semble que dans l'expression du temps t , ils doivent acquérir un diviseur de l'ordre I*, ce qui rendroit ces termes fort grands , lorsque i est très-petit ; mais il est essentiel d'observer que cela n'est pas , et que si l'on n'a égard qu'à la première puissance de la force pertur- batrice, ces termes n'ont point, dans l'expression du temps, de diviseur de l'ordre z\ Pour le faire voir, nous observerons que par le chapitre vm du second livre , l'expression de v en fonction du temps , ne peut acquérir de diviseur de l'ordre ia, que par la fonction — la.fndt.JAQ , la différentielle dQ étant uniquement relative aux coordonnées de la lune. Si Q contient un terme de la forme A. cos. ( it+s) , i étant fort petit; ce terme ne peut acquérir un divi- seur de l'ordre i2, qu'autant que ôQ n'acquiert point un multipli- cateur de l'ordre i : la partie de l'angle it, relative à la lune, ne peut dépendre que des moyens mouvemens de la lune , de son périgée SECONDE PARTIE, LIVRE VII. igt et de ses nœuds, lorsque l'on n'a point égard au carré de la force perturbatrice; cette partie, si i est fort petit, ne dépend point du moyen mouvement de la lune : elle ne peut donc alors dépendre que des mouvemens de son périgée et de ses nœuds. Dans ce cas, dQ acquiert un multiplicateur de l'ordre de ces mouvemens , c'est-à- dire, du second ordre ; ce qui fait perdre au terme dont il s'agit, son diviseur de l'ordre i1. Les angles croissans avec lenteur, n'ont donc, dans l'expression de la longitude vraie en fonction du temps , qu'un diviseur de l'ordre i; et il est aisé d'en conclure que cela a égale- ment lieu dans l'expression du temps en fonction de la longitude vraie. Mais si l'on a égard au carré de la force perturbatrice , la partie de l'angle it , relative aux coordonnées de la lune, peut ren- fermer le moyen mouvement du soleil , et alors la différentielle dQ n'acquiert qu'un multiplicateur du premier ordre , ou de l'ordre de m. On pourra, d'après ces principes, juger de l'ordre au- quel les divers termes des équations différentielles s'abaissent dans les expressions finies des coordonnées. 6. Développons, d'après ces considérations, les différens ter- mes de la seconde des équations (L) dun°. i. Dans l'hypothèse ellip- tique, la partie constante de u seroit ~.(i + ei+^yi + C)) C étant une fonction de la quatrième dimension en e et y\ et l'on auroit h* = a.(i — e1 — y*+C), £' étantpareillement une fonction de la quatrième dimension en e et y. L'action du soleil altère cette partie constante de u ; mais a étant arbitraire, nous pouvons supposer que -.(\ +ea+ j>a+£) représente toujours la partie constante de u. Dans ce cas, on n'aura plus h'==a.(i— e*— Z + O :nous ferons alors h* — ar (\—e*—yi+ £ ), at étant une arbitraire qui, sans l'action du soleil, coïncideroit avec 771 • G. |1? 772 . ïi a. Nous ferons ensuite — yr- = m . Cela posé, le terme — „ de a'3 * ' — 2»zp — c'mv -te™ ' ) — \ë . cos. (2 V — 2mv-\- cm v sr') -}- 2 me. cos. (2v — 2 mvA-cv — ■&) — 2m e. cos. (2 V — 2 mv — cv + f) + y.é>'2.COS. (-2V 2 mV 2 c'mV-\-2 *r') — rp . mee' . cos. f2<> — 2mv — cv — c 'mv + *r-\-'*') -f- ~.meet .cos. ^2 ^ — 2 raf + cf — c'otc — ■n+iz ') — {mee' .cos. (zv — 2 mv + cv+c'mv — v — &' ) 3m ) + \ mee .cos. (a.v — 2 mv — cv + c'mv + *r — <&' ) c'3 ' \ f 3 4. 8 m) -\- m.— —.e*. cos. (2 c^ — 2t> + 277zp — 2°y 77Z. m y 4 f3-8mj . e3 . cos. (2.CV ~{- 2 p — imv — 2^) -\ .cos. (1 gv — iv + imv — 28) m y* .cos. (1 gv-\-2 v — 2 mv — 26} 3 m.ey' , cos. (zv — zmv — ■ 2gv-hcv + 2 8 — *) Il faut multiplier cette fonction par 2h\v? ' et l'on a ce facteur, en faisant SECONDE PARTIE, LIVRE VII. igo faisant e' nul , dans le développement précédent de 2/la.U3' et en mxdtipliant cette dernière quantité , par — ; on aura ainsi, à très- peu-près , en négligeant les quantités qui restent de l'ordre ra3 après les intégrations / (,i+ea + ^>3— 7 — 2t>; = .( . 1 H .ee .cos.(ip — zmv+cv+c mv — v — e* . cos.(zcv+iv — imu — 2.™) + (3+2771) — - J .y*. COS. (2 gV 1 V + 2v77Z t> — 28) (3— 2m; 8 3. (2+ mj 8 3/. cos. (2gp + zp — amv — 18) ey*.co3.(zv — %mv — o.gv + eu + aô- -W;J Le terme tttF»**-*) de ^Pression de--|-J--|-J, donne les suivans , Mjécan. cél. Tome 111. Bb ini MECANIQUE CELESTE. z> 9. m ,. „ a ■ (\+ 2e*+ 2 e'*). — .cos.(v — mv) 8 a, à ' . — .e .cos. (v — mv-\-c mv — tf ) 8a a + 27-m a , , , , M — . — -e .cos. (v — mv — cmv+'n ). - étant par le n°. précédent , de l'ordre m* ; les deux premiers de ces ternies deviennent de l'ordre ??i3 par les intégrations. L'inéga- lité dépendante de l'angle v — mv , étant très-propre à faire con- a noître la parallaxe du soleil , donnée par le rapport — ; il importe de la déterminer avec un soin particulier : je porterai par cette raison , clans le calcul de cette inégalité, l'approximation jusqu'aux termes de l'ordre m5 inclusivement Développons maintenant le terme [ — ] .- -de la seconde des rr \dv J fc.ii'dv équations (L) du n°. 1. Ce terme contient d'abord le suivant, 3 m' .u'3 du . , 3711'. u'3 — — r • -7- . sm. ( 2 v — 2v ). On aura ; . sin. (2 v — avj, a/î'.u'* dv zh*.u3 en augmentant 2v d'un angle droit, dans le développement précé- 3771' . u'3 dent de — -.cos. (2v — 2v ). Il faut ensuite multiplier ce déve- 2ft'.UJ i du loppement par — — , ou par — ce.(i + \el — i>\)-sin. (cv — *) + ,\ ce* . sin. (2 c v — 2 v ) — j. ce3. sin. (]cv — 3^J + x g y* • sin. (u gv — 2 @J — j . ey' .sin. ('jgv — cv — aû-f-^. On aura ainsi , SECONDE PARTIE, LIVRE VII. *95 3m'. u'3 du . , 3.771 >— — -. . — .sin.faf — 2^ ;= -— 2/1*. «4 «fc 4e/ / (2 — la. m) \ > A I"^ 7 .e*-^ * ).COS.( 2V-2JTIP-CV + nj — ce.cos.(zp - — 2mv-\-cp — &■) + \.cee' .cos. £av — 2mp — cp — c 'mv + /&+'& ' ) • \ . cee . cos.(ip — 2mp + cp — c'rnp — ^+ ^' ) I I — \-cee , cos. ("2^ — smc — cp \ c mv-\-™ — ^ )\ -f- {.cee' .cos.(aç — 2mp -\-cv-\-cmv — m — ^' )\ • 2C.(l +77ZJ.V .COS. C2CC 2^ + 2/71^ 2lir)\ \+ 2c.f1 — m) . e* . cos. ( 2cp -{- 2p - 4- ^mc.e".cos.(2P — amp) ■2mv — 2^/ I -.y*.COS.(Q.gP 2P + 2 7TIP — 26) + -.y .cos. (irgp +2p — 2mp — 2 6-) 2 -\ - .e-yt.cos.(2v-2mp-2gvi- cp + zS-^) Les termes 8/V {3.sin. (p — f'; + i5.sin. (3e — ^p')} . du dv de l'expression de ( — — j. , ne produisent aucune inégalité de troisième ordre dans les intégrales. Développons enfin le terme t-.J ( -7- )-~- Ce terme contient le 3m' /-17/3 .dv . , suivant, rTy — 7— .srn. f2*> — 2^J. Le développement précé- dent de >.h*.u3 cos.(sp — zp'), donne celui de 3m .u 'S h*u* -.s'm.(2p-2p'), en y augmentant 2v d'un angle droit, et en le multipliant par- , ou par ■as £„a sa. - e.fi — je1 — 7^. cos. (cv — v) + f .e*.cos. (2cp — 2™) + ^J^-cos. (2gp — 26) 1 503/. COS. (ig P CP 2.0 + 1?) o 11 aura ainsi, Bb 2 X u,6 MECANIQUE CELESTE, 3771' ru'3.dv . , — . / -.sin. ( 2v — iv ) 'i4-ae* — \e'°-) 2 — a m cos. fac — smv) \ a — 2m — c 2.(7 — m) .{ ! + je1— ^2— -e't}.e,.cos.('2?-2wzt>-«> + ^ . e.cos. ("2^ — omv + cv — tx) + 2— L'277l + C t .cos. (iv — 2mv — c'mv + 'v' ) 2. {'a— 3771^ .cos. (iv — "xmv + c'mv — «') 2 . (■ a — m ) j.(2+im).ee' , . ,\ —t-- .cos.fat' — zmv — cv — c mv 4- f + w y 2.f:2 3 m — C^} 7.(3 — 3771;. ee' , ,, ■ . COS. ( 2 *> 2 /7ÏV ->rCV C 77ZV * + -sr ,) 2.^2 — 3777 4-cJ £2 + mj.ee ■■}.m.— \ H C, \ 2.(2 777 c) cos.f2t> — nmv— cv + c'mv+^ — v ) Y (2 — 7H ) .ee' , .. — .cos. (av — imv + cv •+ c 'mv — «• — & ) + 2.(a — m-\-c) (io+iQ.m+8.m*-) 4.f2C — 2-\-2.71l) fio — îQm-^-Sm") i.(2c -{- 2 — 2m) (2 + m) 4-fag— 2 + 277»,) (2 — m) 4.("2g-)-2 2m) \j. e'2 e1 . cos. (icv — zv+2mv — 2 -a-J . e'.cos. (2cv-\-2v — amv — i-&) .y*.COS.(2gV 2V + 2 mv — 2 ù) .y2. cos. (ngv + sv — imv — Q.Q) V- 2. (2 4 771 ) (5 + ™; 4 . (2 2,71 2g-{- c) cos. (iv — 2 mv — icmv-\-ii* ') ey!l.cos.(2V-'2mv-2gv + cv+ i§-'b)j Danscette formule,les termes dépendans des angles icv-iv-\- v.mv-i'B, et 2gv — zv + imv — 29, ont des diviseurs de l'ordre m, etils acquiè- rent de nouveau ces diviseurs par l'intégration , dans l'expression de la longitude moyenne de la lune ; ce qui les réduit au second ordre , et ce qui semble devoir donner de grandes valeurs aux iné- galités relatives à ces angles. Mais on doit observer que par le n°. y, SECONDE PARTIE, LIVRE Yll. i97 les termes qui ont pour diviseur le carré du coefficient de p dans ces angles , se détruisent à très -peu. -près dans l'expression de la longi- tude moyenne ; en sorte que les inégalités dont il s'agit, deviennent du troisième ordre, et conformes au résultat des observations, comme on le verra dans la suite. On peut se dispenser , par cette raison, de considérer dans le calcul de ces inégalités , les quantités multipliées pare*, ey, et>4 ; car les quantités du quatrième ordre qui en résultent après les intégrations, se détruisenlàtrès-peu-près. L'intégrale — ./ (— ^ ].-—■ contient encore le terme r/dQ\ dv 'J \ch)'u* 3771' pu'^.dv . , — TT-l — ; — ■ sih.(p — p) ce terme donne les snivans fl+T^-jï' + î^ 1 — . COS. (P 772 P) I 1 771 I 3.771 a a ) , . , ,. - — -, — . — . S + e.cos. (p — mp+cmp — ts ) >; 4 a< a' \ H . COS. (t> 772 P c'm P -f «r 'J I 1 — 2 m J les autres termes de la même intégrale peuvent être ici négligés. Cela posé , si l'on observe que l'expression de u du n°. 4 , donne, ddu 1 1 I + (^~ - ■ y' • cos. ( 1 gv — 2 6 )\ (ddu \ 2 rfdQ\ dv le terme l—+u).-.J l -£- J.— delà seconde des équations (L) du n°. 1 , donnera par son développement, _£.cos (av — 2mp) 2 m y m f 1 — c* 2.fi-4-77iJ . , , ï '+|— 7 ; ■f1*;*'— ~>e*)\.e.cos.(2p— %mp— cp + ™)\ (.4.(1 771 ) 2 — im — c J v y> 2.fl 77lJ . e.cos. (2*> — imp-\-cp — -»■) 2 2771 +C 7 e' -I ; r.COS. (2P — 2 m P —~ cm P + w' ) 2.(2 3771J icj8 MECANIQUE CELESTE, / .cos. (zp — -2mp AfCinv — &') I 2.(2 — m) ■?.(2 + ]m) '..(% — 3m — c) + + + + + + 2. (2 — yn-\- c) (2+ m) .ee'.cos. (zp — imp — cp — cmp-t-œ+'v') . ee'.cos. (2v — zmp + cp — c'mp — tr + 'v') 2.(2 — m — c) (2 — m) 2.(2 — m -j- c) (io-\-iQm-\-8m3) b.(2c— 2-\-2m) (\o — i*. cos. (zgp — zp+zmv — 2 9) [lb.(i-m) b.(2g-2+2m)) ° (2— m) -) l) 4 ■ (2g+3— 2mJ j ■y*.cos.(2gp+zp — zmp — 2 S) 17. e cos. (zp — zmp — 2 cm p + 2 &') Z.(z — 4raj f 5 + m 1-(i—m) 1 + — ; ; — :+— ; — ; \.ey\cos.(zv-2mP-2gP+ep -hzô-vr) ti.(2-2m-2g-\-c) 4.(z — 2m-\-c)} 4.(1; — m) a a a 3 a - .cos. (v — mp) + \. — .e'.cos. (p — mp + c'mp — */) A~ — — t.'— .•?'• cos. (p — mp — cmp+^') — de l'expression de 4 . ( 1 — 2 m) a 7. Le terme — h*'\du) h*u'\dsj' devient en négligeant les inégalités du quatrième ordre , — ^--{i + ^+y + i.^-rn-e— iï*). cos. (zgP— 2S; + ^"j + ^; C" étant une fonction de la quatrième dimension en e et y , et — 2 /ra*> — gp+cp+0 — ta) + Bj-^.ey.sin. (2 p — 2772 p^-gp — cp — 8-\-<&) + B^Key .sin. (2 p — 2 mp — gp — cu + 8-t- «*) -\-Bt^.e'y.s\n. (gp + cmp — 6 — .e'y.sm. (2p — amp — gp — c'mp + 8 + ™') ■i-B0("Ke*y.sin. (acp — gp — a^r+8) -t-.B/'^.e^.sin. (ip — •zmp — 2 cp +gp + 2 -v — 8) + Bl(-'31.e*y.sin. (2 cp+gp — ip-\- 2mp-~ 2« — 8J + B^.^-.y.sm.(gp — v + mv — 8) a + 2?2('5). — .7. sin. (gP + v — mv — 8). a Les nombres placés au bas de la lettre B , indiquent l'ordre de cette lettre. Ainsi , B^ est du premier ordre ; B^ est du second ordre ; et BJ") est fini. On peut observer que cela a lieu , suivant que le nombre qui multiplie l'angle p dans le sinus correspondant, diffère de l'unité, d'une quantité de l'ordre m ; ou d'un nombre fini , c'est-à-dire, de l'ordre zéro ; ou d'une quantité de l'ordre 7na; parce que l'intégration fait acquérir à ces termes, un diviseur du même ordre. On aura , cela posé , 3 s .fs 3 2 a. {BW — BW}.y'.cos.(*i> — amv) + B^.y* .COS. fi2P 2THP 2gP+2&) sa, + —.{BW + BV'}.ey\cos.(cp — ™) . Bj-She y* < cos. (zgv — cv — aQ + tr) 3 -i .Bj-V.ey* .cos. (av — irnv — 2gp + cv4- 28 — -n) 2 a / ° ' + ~. {BV — £,(«)} .ey'.cos. (2V — 2 mv — cv + <*) soo MECANIQUE CELESTE, + — .{B^)+B^)}.e'^:cosf(c'mv — £) . B.^Ke'y'.cos. (2p — 2 mp + c'mp — -a') 2 a, — . 5/'°) . e-V . cos. (<2p — nmp — cm p+™') — .B^.e'y. COS. (2 CV— 2*r) + ■?-. [B^ + B^n .^-.y.cos. (v — mv). 2o/ a Si l'on réunit les différens termes que nous venons de développer, la seconde des équations (L) du n°. i prendra cette forme, ddu n étant une fonction rationnelle et entière de constantes , de sinus et de cosinus d'angles proportionnels à p ; mais comme nous nous proposons d'avoir égard à toutes les inégalités du troisième ordre, et aux quantités du quatrième ordre qui les multiplient ; il faut joindre aux termes précédens , tous ceux qui dépendans du carré de la force perturbatrice , deviennent de ces ordres , par les inté- grations. Analysons ces nouveaux termes. 8. Pour cela, supposons que • e . cos. (2V — zmp+cp — . e . cos. (2p — 2 mu + c'mp — •a'') -\-u4^ .e' .cos. (2p — 2mp — emp+w) + ^i^ . e . cos. (cm p — m' ) •Jrud^.ee'.cos. (2P — 2mp — cp + c'mp-^-v — v') •\-u4^.ee .cos.(-2p — zmp — cp — c 'mp + "» + ^ ') ■+• ud ^ . e e' . cos. (cp + cmp — b+v') + ^(,o).£°.COS. (ZCV 2^) + ^l(ll)-eî.cos. (zcp — 2P-\-2mp — an) + ^4S'*î.y\cOS.(2gP—29) + vf,(l3)./.COS. (2gV — 2Ç + 2mV — 2 S) + SECONDE PARTIE, LIVRE VIL + ^/2('4).e'a.cos. (-ic'mv — 2^') + ^0(-l5).ey.cos. (2 gv — cv — zQ + v) + ^t('6^.e>a.cos. (iv — 2 mv — 2gv-^cv + 2 9 — '■ a + ^^'7)-— -.cos. (v — mv) 201 a a a + ^/0(l8;). — .e'.cos. (v — mv + c'mv — «*') a + ^1('9\ — .e'.cos. (v — mv — c'mv-\-^'). Les nombres o , 1 , 2 , placés au bas de la lettre ~d , indiquent que la quantité est de l'ordre zéro , ou de Tordre m, ou de l'ordre m%. Je ne considère ici que les inégalités du troisième ordre, et celles qui étant du quatrième-, peuvent produire des quantités du qua- trième ordre , dans les coëfficiens des inégalités du troisième. Je porte l'approximation plus loin , relativement à l'inégalité dépen- dante de cos. (v — mv). Cela posé, le terme 3 m.'u^.S'u m ."• donne- par sa variation , le suivant / et il en résulte la fonction a.^u — 2^/a(o).e.cos. (2V — zmv — cv + ^) — 2^,(').ea.cos. (zv — 2mv — 2cvJr2^) + '-. ^ yh ee ,cos.( 2v — smv — cv-\-c'mv + ^ — » )\ + {.^y>.ee'.cos.(2v — 2mv — cv — c'mv +-B-+ — 2.V )+ — — -.JV .sin, fif» — a p ). zlr- h- Si l'on substitue au lieu de Su sa valeur précédente , on trouve que le premier de ces deux ternies donne la fonction f {3^^ + ^3) + ^W}.e'.cos. (c'mv — <*') + {^^+1.^^} .ee'.eos.(cv — ç'mv — m+m) + {-^l{l)—\-^y)} .ee'.cos. (cv + c'mv — v—™') \-\- A ^ .ee' .cos. (2V — imv — cv — c'mv + ta+ta') \-\- A ^ .ee .cos. (~iv — 2 mv — cp + c'mv+'o- — ta' ) + [^//,6) + ^iZL .A^-2.(i+m).^yin.ey\cos.(7gv-c(>— 20 + j+^o^^.e^'.cos. (2v — 2 mv — 2^+cc+28 — tr) {A^)—'-.A0^).e"}.^.cos.(v — mv) ta)/ + [A ^ — \. A ^^} . — .e .cos. (v— mv+c'mv — ta' ) + {^/0+f.i*l} .%.e .cos. (v — mv — c invita') ahi contient un terme dépendaut de cos. (7,v — ^mv) , que nous. avons négligé à cause de sa petitesse ; mais comme il peut influer sur le terme dépendant de cos. (v — mv), nous aurons égard à • . . a cette influence. Pour cela , désignons-le par a£. — .cos. (}v — imv); qm .u" la fonction 2?!2 — .fit. cos. (2 v — z v ' ) donnera le terme , .\. — .cos.(v 4 a, a mv). Pour développer la variation — — ; — . JV.sin. ( 2v — 2v) , nous h'-u observerons que JV contient, par le n°. 4, les mêmes inégalités que l'expression de la longitude moyenne de !lalune, en fonction de sa longitude vraie ; mais elles y sont multipliées par la petite SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 203 quantité m. Il suffit ici d'avoir égard aux termes dans lesquels le coefficient de v diffère peu de l'unité ; et il est aisé de voir que le ternie e.cos. (cv — &) de l'expression de au, donnant par le n°. 4> dans fv, le terme — 2 772e. sin. (cv — -&) ; un terme quelconque de aïu, tel que k.cos.(iv-ht) , dans lequel i diffère peu de l'unité, donne à fort peu près dans JV ', le terme — 2 m k . sin. (iv + t). On trouve ainsi que la variation précédente donne par son développe- ment , la fonction ' m.^4 yï.e.(\ — f e'2^.cos, (cv — ^) +{ • m . ^4 y^ . e y' . cos. (2g v — cv — sfl + wj i + m.^J'^.ey^.cos. (zv — zmv — zgv + cv + aù a \ + m.^4y7h — .cos. (v — mv) a' -{-m.^o1-'^. — .e'.cos. (v — mv — cmv+™) les autres termes de ce développement sont insensibles. Les termes -j^—ï'{l-cos.(v — v) + ï.cos.(lv — lv')} de l'expression de ont pour variation , 3.771 .a S'il a — • — ■ {3 •cos. (v — mv) + 5. cos. (}v — jmcj} j en substituant pour afu, A^ . cos. (2 v — imv); il en résulte le terme 2 6.771 a .A}0'. — .cos. (v — mv). a , a La variation du terme 3 m . u'3 du .sin. (iv—- zv') 2 h? .U* dv peut se réduire aux termes suivans f Ce 2 so4 MECANIQUE CELESTE, 6m' .u'3 du eu . 377?.'. u'3 rW'u - . , -. — . — .Slll. ('2P — 2P ) — -.— — .Slll. (ïV IV ) h*.u* dv u 3h*.u* dv 3m'.z/3.— 2P); h.* .ià dv ces termes , par leur développement, produisent la quantité + { 6 . C 1— m) . ^.W + f 2— 7»; • ^2(3> + (2— 3 m; . -^aW } . e' . cos. (c'mp— m') 4 {("2 — 3m — c).s4^p — j.("2 — 2/?z — c^).^//')} .ee'.cos.fc*>+c'/72*'— - 2g+c).^l('6)) ■\-^40^ .ey* .cos. (2p — 2tnp — 2gp 4- cv 4- 2 9 — 'J I (.+7.^ -COS. (2V IV ) ) — ( — VS-u}./ , A .3m. Caf— ac'J h? .a J u4 Le développement de ces termes donne , en observant que c est à très-peu-près 1 — ;m', et que g est à très-peu-près î+^m", {4.ri_m/_l}.^(o),ri_i^; 4 a> {—A^.e'* + 7.AW.e" c £-2m+cj' }.e.(i-{e'*)xos.(cv-!r) + < \ • e . cos . (c'mv — *' ) . {(^Z^Ui) .-#')+ (a— .31» -l) . ^,C«}( ?.m 4Cj.(l — m^ \ a 6 .Ira .^,C8) , ee .cos.^av — 2mc — cp — cmv-\-'s-\-is ) a,.(2— 3m— cj S.'jn.A^ ar (2 — m — c) - 1. 6.771 . ee'.cos. (iv — zmv — cv-\-cmv-\-Tr — •&') {Al^+7-AW}.ee'.cos.(cv — c'mv--r 2 mv — 2 Tr) 6. m J/>0 -1 ; r.>2.C0S. (2gt>-*- 2V + 2mv — 2V) a,-(2g — 2-\-2m) v ° 2o6 MECANIQUE CELESTE i + CL^L. \24y>—4W + — .Jw}.e7'.cos. (sgv — cv — 28 + ^; a, V 8 j . e> . cos. (2V — imv— 2gv + cv+2 ti — ^7 G;. (2— 2771— 3g+C; 1 3-^— •.{(k+yn).jyi)-2Ây).e'*-Ui-(i-my\x\!Lcos(v.mv) z d G- a 6'7" {^ro(,s)+^.^1(,')).4^'-cos. (v — me — c'my+*'j. ar(i — 2in) a On doit observer ici -que CJ-SK sin. fsc — 2mp) est l'inégalité dépendante de sin. ^2^ — 2mp) dans l'expression de la longitude moyenne de la lune , en fond ion de sa longitude vraie ; Cj~9\e'.sin.('2v~ zmp-hc'mu — &'), et C^'°\e'.sm.(2p — 2/w — emp+v') sont les inégalités dépendantes des angles zp — 'jmp + c'mp — w', et ap — 2 mv — cm *> + &', dans la même expression. On peut ob- server encore que le terme — .UA^+A^ — J^}.e'.cos.(c'mP— '*') a, paroît être de l'ordre m4; ce qui produirait une quantité de l'ordre jre1, dans l'expression de la longitude moyenne de la lune ; mais ce terme n'est véritablement que de l'ordre m5; car on verra par les valeurs que nous donnerons ci -après, de Aj-°\ A^ et A^ ; que la fonction iAJ-^ + AJ-^ — d^r> est de l'ordre m3; il n'en résulte donc qu'un terme de l'ordre m* dans l'expression de la longitude moyenne. Nous le conservons ici, parce que nous nous sommes imposé la loi de conserver les termes de cet ordre , dans le calcul des inégalités du troisième ordre. Il est indispensable , par cette raison , dans le développement de ■tm'u pu'3 .dv . , . . ■ — ./ — — .sin, ( ip — sp J, de porter la précision jusqu'aux quantités de l'ordre JV ; il en résulte le terme 3o.jw'u s^u'3. à~u? . ; — ./ — z — .a y. sin. f2^~ 2 y ). SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 207 Ce terme produit le suivant , i^./ra ■ ('AtW)i.e'' .cos.(2cv — 2 v-\- imv — 2srJ quoiqu'il ne soit que du cinquième ordre ; cependant, comme il acquiert par l'intégration , dans l'expression de la longitude moyenne , le diviseur zc — 2 + 2 m , il faut y avoir égard. La fonction 2 r(dQ\ dv ¥'J \dv.)' ^ donne celle-ci , (ddu (ddu \ 1 p m . !i'4 . dv r . , -dï + u)-¥-J — Itf {3.sm.^-^+M.sin.O^-3^}. Sa variation produit les termes suivans , 1 (ddSu ) f-m .un.dv . a -f — — . — .faS'u.dv. { 3 .sin. (V — *0 + iç.sin. (t,v — W)); \a, a d'où résulte le terme {13 +8. Cl— m/} .J^0). — .COS. (V — m^;. 2.a..(\ — /rej a On doit faire ici une observation importante relativement aux termes déprmdans de cos. (V — mv) , et que nous nous proposons de déterminer avec exactitude. Les expressions du rayon de l'or- bite du soleil , et de sa longitude , contiennent des termes dép^n- dans de l'angle v — mv , et qui résultent de l'action de la lune sur la terre : ces termes en produisent d'autres dans l'expression de u, et delà longitude moyenne de la lune, auxquels il est essentiel d'avoir égard. Pour cela, nous observerons qu'en vertu de l'ac- tion lunaire, le rayon vecteur du soleil contient, parle chapitre IV du sixième livre , le terme -.cos. (v — v' ) : y- étant le rapport de la u masse de la lune , à la somme des masses de la lune et de la terre ; ce qui donne dans u le terme . cos. (v V ). 2o8 MECANIQUE CELESTE, La longitude v du soleil contient encore par le chapitre cité , le ternie fC.U sin. (v — v'). Cela posé , le terme —^—^ contient le suivant , i .cos. (v — v). ■jm'ft.u'* 2h°-.u* Le terme — — -.cos. (se — av ) contient les deux suivans , gm'.fi.u'4 6m'. u'4 . , . , ; — .COS.( V-V ).CO%.C'2.V-'-lV ) + — -. Slll.( V — V ).S111.( 2V — 2V )'. 2ft2.U4 2ft2.U4 3771' .ft.u'^ , ce qui donne le terme — • — ; --.cos. (v — v ). En le réunissant ^ 4^a.u4 qtti' .ft.u'4- au précédent , on aura ; — • cos. (v — v) : d'où résultent les v ' 4&2.m4 v y' termes suivans , 9.771 .,« a g.m .f« a , — .cos.(> — mv) ~'~7'e «cos. (^ — mv + cmv — v ) ikal a liai a 27 .771 '., a , •— ;.e . cos.(V — mv — cmc+w'j- 4«y a 3m' pu'3.dv 3771 /"»!*. cil/ Le terme rr*/ — î — -sin. fay — zv) donne pareillement les suivans , * 1 3.777 .fi a a , 3-m -f a a 1 , , 1 1, -. — .— .cos.( v — mv)— . — .— .e .cos.( v— mv+c mv — «■ ) a.fi — m) at a' a at a' — 2 . — • — •£ .cos. (v — mv — cmt'-j-fj 3.(1 — 2m,) at ' a! Il nous reste à considérer la partie du développement de — , qui dépend du carré de la force perturbatrice. Ce développement renferme la fonction — .(fs)*, ce qui produit les termes suivans , 4«, SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 209 4a -rw-v + — . {BHi + BM} .BW.y'e'.cos. (c'mv — <*') 2a + —.BW.BW-ey'.CQS. (2 g\> — cs> — 2 9 + <*). 2a Q. Rassemblons maintenant les divers termes que nous venons de développer. La seconde des équations (L) du n°. 1 deviendra ainsi , ddu 1 ( y* „1 m ( y* , , "J , , /. _l^L.r4_3m_^;.^a(o)#ri_i^;+X.^1(°)^.^ 4o, 4», m — 4.fi+ai»+C4.I^*-i;/-i±^+^^-M.^,w.Ci-ie'*; t \2-2m-c 2-2771+c/J {(i+6m + c;.(i — m; + 7 + (a — am— c/} ..-„ , 1 ^a,w.(l— ;e y 4«zy >.^, -<* a.fi+m; 4.fi-- mj >. e. cos.Ca^— Siw— ct>4"*) 2 — 2m — c Ci+je»-^"; Mécan. cél. ZWze ///. Dd 210 MECANIQUE CELESTE, 8. fi— m) 1-m i 8. ("î — m) "1 — - — . i ? 4-c — 4m4- - — f-2.-431' V . e.cos. (2 y — 2m^+cw — >b) . 3+c — im + 4a; [ 2 — 2m+c 4°/ (2—m m J l^ — a^/'0).— — 2^«}.c'.cos.C2f — sine- e>f+V; + ia/j" 2- 711 + 3,m 2 a (2 — "}m).(2 — m) .- m \.e'. cos. (c'rm> — v') 3. m ) 4 2—m—c { cc, + — 2B/ ' ) f3 + " — ' :1 [ 2 2 — m — c) •j.(l+6m—c) 7.(2+1,711) M,00 S .ee'.cos. (%v— imv — cy+ cmv + tf — m ) 2 — \m — c fi ^,(,) 2 — 37» -4 ' J > ^e'.cos.f 2 y — 2fnv — cy — c my -f- « + * ^ -i 3-m ) h+2m fi-f am+c 2 I J — * 1 1 , ( •■", I 3-m .ee'.cos. fw + c'm^ — v.—r'tr') " ") „> f 1 4- 3 m + c 4 1 ( [ 4 c-mj ( c— mj 1-f-m-f-c . ee' .cos. (c\> — c'mv — -w-f- « '_,) >" ^ h — fl0<">._ —.^(«Ol ,e..C0Si facM — 2^j f2+ii.77i-)-8ma C1°+19m+8m2^ 3-771 2 C 2 4" 2 771 4o, / + ^(o+^8^(,B)+,0-W^>— a^oo\ . e1 . cos.(2cv — iv + imv — 21?) SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 2u — y~. l+e2— — — I.m + 2m .JJ-^} .y*.COS. (2 gv — 2 Q) Aa, (.4 J i+am— ag f4g°— 1; fg+-'"J ] 4 4-fi — mJ ag — 2+2771 f 25 m 8^o*) f./.cos.^ge— 2^+2«^ — 2ô; -2 2 g— 2+Q771 j 2 ' .m + : .{1 — ^2(M)}..*. COS.^— 27W— çgv+w-\-it— m) ■ (i—2iJ.).(i. + 2eî + 2e')-\ - W+zi.m-ii.m*) 3-/1+"; . (l8) ,, ^q^™;^ (0)+ (u)+ ( 15J ^ 4.(1 77J, — * ' 771 -j .\ 4 4 >. — .e .COS. ( v— mv-\-cmv — m ) **■ [-(5+m).J^ J «. _, ff^j-i^Q _ ^-33-^ (17)| -] : .< 4 4 /. — .e .cos.( c — mv — cjïu>-\-,v)' 2a,(i-™) {_..jw_(l_2m)^M j a- Je n'ai point eu égard aux termes multipliés par *2 , parce qu'ils sc- détruisent réciproquement aux quantités près de l'ordre m7. ÎO. Pour intégrer cette équation différentielle, nous observe- rons qu'elle donne, en n'ayant égard qu'aux parties non pério- diques, Dd 2 2iâ MECANIQUE CELESTE, u^LL+e^-l+A-^LL+s + ^ + Le") a, ( 4 J acy \ 4 / 2 4ay 4ay Nous avons désigné danslen°.6,cettequantitépar-.( i+ea +— + m; on aura donc en observant que sans l'action du soleil , on auroit - = — , et qu'ainsi l'on peut supposer S = C" ; _2 2 a a/ 2 a, ' 4 a, L'action des planètes fait varier l'excentricité e de l'orbe terrestre; sans altérer son demi-grand axe a' , comme on l'a vu dans le second livre ; la valeur de - subit donc des variations correspondantes , à a raison du terme — qu'elle contient ; et comme la constante de la parallaxe de la lune est proportionnelle à -, on voit qu'elle doit éprouver une variation séculaire ; mais on voit en même temps que cette variation sera toujours insensible. e Nous avons représenté précédemment par -.( i+e" ).cos.(cv—^)} la partie de u dépendante de cos.(cv — <&'). En la substituant dans l'équation différentielle précédente , en comparant ensuite les sinus a et cosinus de cv — -u , et négligeant les quantités de l'ordre — , ce qui est permis , vu la lenteur des variations séculaires de l'ex- centricité de l'orbe terrestre ; on aura les deux équations , (i+e*) e.(i + e") dd-sr ( d™\ 0 = .— 2. C — ). a dv* \ dv J d.e. dv SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 213 la quantké — p — qe'~ étant supposée égale au coefficient de e.cos. (cv — ™) , dans l'équation différentielle (L') dun°. précé- 1+ e3 dent , divisé par 5 où l'on doit observer que les valeurs de J(°\ Jt^, 52C2) et J?2C3) renferment déjà le facteur 1 — [e'\ La première de ces équations donne en l'intégrant , C~TV h étant une constante arbitraire. La seconde donne , en négligeant le carré de qe* , dzr \.që* v/l—p + dv V l—p et par conséquent , si l'on regarde p et q comme constans , ce que l'on peut faire ici sans erreur sensible $ on aura, en désignant l/i-p . Il suit de-là , que conformément aux observations , le périgée lunaire a un mouvement égal à (1 — V 1 — p) •vJr\q >fe*dv. Ce mouvement n'est pas uniforme , à raison de la variabilité de e' ; et si l'on suppose qu'à partir d'une époque donnée , on repré- sente e par E' +fv + lv*, E' étant l'excentricité de l'orbe terrestre à la même époque , le mouvement du périgée sera ( x _ \ZT=Tp~+ 1 q' . E") . v + f 4 . E' .fv* + \q . (2 E'l+f>) . P\ Cette expression pourra servir pendant deux mille ans, soit avant, soit après l'époque. La partie \.q'.E'.fS + \.q'.(-2E'l+f*).V> forme l'équation séculaire du mouvement du périgée , qui main- tenant se rallentit de siècle en siècle. La valeur de la constante c peut être supposée égale à V x — p — Iq'.E'*; l'angle <& est alor: 2i4 MECANIQUE CELESTE, égal à la constante s , plus à l'équation séculaire du mouvement du périgée. L'excentricité e, de l'orbe lunaire, est assujétie à une varia- tion séculaire analogue à celle de la parallaxe, mais insensible . , " dis- comme elle ; ces variations étant proportionnelles a —, qui ne de- — .dp. dv LT Si l'on représente par — . cos. (iv + C) , un terme quelconque de l'équation (Z/) , et que l'on désigne par P. cos. (ip + S) +Q.sm.(ip + £) la partie correspondante de u ,- on aura, pour détei miner Pet Ç, les deux équations \ dv / dv dv* -m Les variations de € et de P étant extrêmement lentes, et i étant , d+'-.m . 4 (l+3-,+TJ=-é*) „ j^-.{b^—B^} .£_ (t ( (2 — îqwj) , . "1 ={l— (2— 2m— c)*}.4™ + ytn . (^m).(l + ^-{.eV + . »-•' 4 2.(\+m) 2^2m — c 4 . ( 1 — mj .{i + le>-W>} y» 0/ (_ 2 — 2m-f-c J a. \2—^m r~ 1 Si o={i— (2— 3^}.^H)+:.m!.-.f-^--2fi/'^4- a^,coj a a 216 MECANIQUE CELESTE, ^ 771 (2 — ^m).(2 — m) m 3 + 2m — c i 2+ro 4 2 — m — c ■3+771— c ' /— J— + .^,(9) (, l 2 2 — m — c) 2 2 [7-(3+6m— ej 7. (2+3771; Q={l— (2— yn— c)'}.4™— f.m .— + 1^. co l 2 2 — 3m — cj . ) 3 + 2771 fi+2771+c _ 2 (. 4 c+mj o={i— (c— m)*}. A M— {.m .- l"i 2771 M , „, f 1 + 2I7Î + C 2 1 + ^C9)+ p— ^+ .^,c: 2 1.4 C 777. J 0==(l-ic>).JW + L.m.-.\l-BVi\—-J: (_ ( 2 c — m J ' 1 4 c- o=(i^2a; +!3'r/ï~^.(-1 + le»+-flg'»; I 4.(1-771,) a /r f^6+2i.m — 1 "J .77i2 ) ♦ 3.fi+m) , „, , «■ • > ' J * ' „ \ A. ri — m) a.fi — 771) a, 4.fl 77lj 2.fl — m) 4.fi — m) 0= ^(l-2ft) -A™ + l±±?l.ji™-(i+m).J™ 4 4 -1 (7i<— 18. m) , (76— 33.77î) . , .={I.f1.„/}.^i™+-J=_*.p-r- -O-^-™^-*' 2.(1 — 2771) a, ) * • ,., (;—5.^0Ç'»>T.f_i__am;-.^1C'rt! 1 1. Cousidérons présentement la troisième des équations (L) du n°. 1. La fonction f_ /<*Q\ _ (i+ss) /dQ\ devient ■$m'.u'3.s im'.u'3.s :h in-.u \s 5771 .u3.s tm'.u'i.s fii.cos.fV — v') 1 > ^ 1 3771 .u J..s 3 développons ses différens termes. Le terme - — ■ — — donne par son développement, la fonction Mécan. cél. Tb/7ze i/Z E e — : a .m . — .y. a. 218 MECANIQUE CELESTE r(\ + ie% — '-y' + ^.e'J.s'm. (gv — 0)^ \ — 2e. sin. (gv + cv — 9 — m) 2 e. sin. (gv — cv — B-{-^) I + '- e . sin. (gv + cm v — 9 — .sm. (iv — imv — gv+Q) +sin. (iv — imv-\-gv — S) a . ( 1 4- m) . e . sin .(%v — 2mv + gv — cv — 9 + -sr^) 2 . ( 1 -{- m) . e . sin. (gv-\-cv — %v-\-i m v — 9 — &) - 2. Ci- — m).e,s\n. (2v — 2/7zv — gv + cv-J-0 — ïï)> Les termes de la fonction — — - . — . ( — J , qui dépendent de u'4, produisent les suivans , 3.771 a a c . . -— 7.y.{sm.(gv — c+bv — 8) — sin. (gv-\-v — mv— 8)). . / dds \ 2 r (dQ\ dv ri> Le produit f — +s j-j^'J l ^~ ) ' ~T > 1ue renferme la troisième des équations ( L ) du n°. i , se réduit à i.a-e-;.,.Si».^-.;./(f).^. i — g1 étant de l'ordre m2, nous ne conserverons dans ce produit, que le terme dépendant de sin. (2 v — 2 mv — gv-\-8) ; et il résulte du développement précédent de ji-F r -7- )• — ? 1ue ce terme e&t égal à 3.771 .(V* — 1) a . — — — -.^-.v-sin. (2V — 2mv — sv-\-8). 4.fi — m) a, . ° Ee 2 22b MECANIQUE CELESTE, La troisième des équations (L) du n°. 1 , se réduit ainsi à la forme suivante , dds r étant la somme des termes que nous venons de considérer. Mais pour plus d'exactitude, il faut lui ajouter les termes dépendans du carré de la fox-ce perturbatrice, et qui peuvent avoir une influence sensible. 3 m . u' 3 . s 12. Le terme — — — — donne par sa variation, les deux sui- vans , 3m' .u'3 .Js 6. m .u'3 .s .Ju et il en résulte la fonction a ï.m a - — . — .fs 4 a, 2 a + 3 .m .—. {A^ — k . A y V } . y. sin . (a v — 2 m.v — gv+ÔJ a s — * a n — ï.m .— . B ^°> . e y . sm. (iv — zmv — gv + cv-{-S — &) a — * a 1 i — 3.772 .— .A^'Key. sm. (zv — 2mv + gv — cv — fl + 'srj a a a + 3.7/2 .— . {5tt<0 — A^0} .ey.sin.Cgf + cv — 2v+2mv — 9 — mr) 9. m a , Jsin. f 2 v — -2mv — gv + c'mvA-9 — &') 1 4 'a' ' '\+&m.(2v — 2,72V — gv — c'mv +0 + 'Oj + 3^1#f. .^^iCO_2^iC0_i ,B^} .e*?.slïi.(acv+gv-2v + 2mv-2n-6) + — . — .{5^/° 2^lC")}.e!2^.sin. (2V 2WP + 2V 2CV 6 + 2^. 2 a 3771 . Zi . 5 Le terme — — .cos.(2*> — 2v) donne par sa variation , les 2fta.U+ suivans , SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 221 3m' .u'3 .<& , 6m' .u'3 .s .£u ; ' . COS. (IV 2V] . COS. ("i. V 2V) 3 m' .US ..S.lJV H : : . sin. (zp — 2 v ) ; et il en résulte la fonction 4 fl, 3-to" g f {fi + mJ.'tfW — ^tto}. sin. fgv — cv — 9. f- + 3 'a ■e>'( + {('i_ mJ.B^ — AtM}.sm.(gp + cv — 9 — , ■ — 9 + vj i {B^+l.BW}. sin. fgv- — cW — fl + «'; 3. m" a , ]+.{#,<"»— Ijtf'?} : sin; (gv + c'mp -,«—»'; 4 "at' 7' "j + B^.sia. (2v — zmv — gp+c'mv+8 — '-'>_^10+19-m + S-/"^ ^ CO f'15"1' ^2<:V gV 2W+SJ 4 a, 3. m a . — ,B 0^1} . e-y .sva. (2P — ù.mv — 2cv-\-gp-{- 2® — 9j. 3771'. u'3 & Le terme — — - . —.sin. (2 v — 2 y ) donne par sa variation - ih*.u+ dv '■m'.u'3 d.£s . , G.m'.u'3 ds 7— — • — — .sin. fa? — 2v)-\ — .J*u.-—.sin. (iv — ip') 3m'. u'3 rfo + -TT- -T'-f'^V -COS. f2f Zp'), ha.u4 dv '. De-là résulte la fonction 3.ma <(2-2m-g).B^+l(2-im-g).B^°\e'*} , . 3. m a + - 3 a ({(i-\-m).(2—im—2;).BIW—Jl^}.sin.(gv—cv—Û+nJ) ~,'ey \ + {(l-m)sr')\ + (g-rm).Bi0:>.s'm, fav — %mv — gv — cW-H + ^'j- MECANIQUE CELESTE, • l (-10+19. m+8. m*) . BW ■ I .(2— 2m— g). #,<- Jj .—.e*y.\ (io-\-\Ç).m-\-8.m'i) ' ^ . y . sin.f2Cf — gv — 2^ + 8; 4 œ/ l .i?0Cll,).e1^.sin. fae — im\> — 2cv + gv +■ 2 w — 9_J. Enfin la fonction [ — ■+- 5 ) . — • / ( -=- J . — , donne par sa variation , \dv* ) h* J \dv J u% r les termes /■ T — .>.sin. (gv — 6) I i — m — .-.{(2-2m-g)*-i}.Bf\(i—^'*)., ' lo-f-ig.TTi-t-o./rc-,/ . - ■ — ; — : — ■ ■ — — .e*y.sm.(2cv-gv-2'&+vJ\ 2. (2c — 2-\-2m) ) Les termes dépendans du cube de la force perturbatrice sont in- sensibles. l5. En rassemblant tous ces termes, la troisième des équa- tions (L) du n°. î, deviendra 0 = — +«+>.-.\ 'l i — ™ J U.sm. (gv-9; _* a j \ 4 / . . sin. (2^ — 2/w — gv + 9; + {.m . -.{ — - + Z?.co'>.>.sin. ("2 y — 2n»>+gc — 6) a, l 3 J + i.m .-.{5^2:) — 2 + {'i-— m;.^— 2/n — ^.^.^^.^.sin.^+cv — 9 — ®; +f.m . -. {^^—2—2^,°)+ ri +mj . (3— 2m— -g) . 5,w} . e>. sin.fgr— cv— 9 +*; c/ = a • + i . m . — . { î+g-j . fi — mj — 2-8Ic°) + .B3c'0} . e> . sm.(2v — zmv — gv+cv+Q — «•; s a + j.m --.{(g — i).(i + m) + BW — 2J^).ey.sïn.(2P—2mi>+gi> — cv — 9 + ^.; SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 22? '+[.m .-.{(i+g).(i+m) + B^+2J(0_ iB^}.ey.sm.(?.v— inw— gv— cv+S + ^J + ^.m\-.{l+2Bl^ + I-.(i-2tn~g).B^— (i-^m-g).Bx^}.e'y.sm.Cgi' + c'mi;— 9-*') i + f.m\-.{3+25,(s>— \.(l— 2«î— g)-B^— (y— m— g).B^}.e'y.sm.(gv—c:mv— 3-fVj + s-.m AA^^+2BW+lBW—(i+g-m).Blm\.e?.sm.(2V-'2mv-gv + cmv+Q— ■*' ) a, l a J c< 1 + r — -+ , , ; [.rio+igm+gmu^.w — 2 a \-.B^l-(\ "Ï — - 4-i.m .— .< l ° 4 >.e>.sin.^v — zmv — 2cv+gp+2-zr — 8) a< [+10. J^ — bJ^ l"—2B0^ J , g fio+i9.TO+8.i»' c,3, J + i.m .— A 2 ' y.eV-siii.C^cv + gr — 2C-J-2/W — s75" — 9j +|.w .-.(3 + 25ac,4);A.>.sin. fgv — c+mv- 9; a, a +|.in .-.(-2-+252c'5:);.^.^.sin. fge+v — mv — 6). at a l4. On doit faire sur l'intégration de l'équation différentielle précédente, des remarques analogues à celles du n°. 10. On consi- dérera donc y et 9 comme variables en vertu de la variation de l'excentricité de l'orbe terrestre ; en substituant ensuite pour s , la fonction y.sin.(gv — Q) + Ps, et comparant d'abord les sinus et cosinus de gv — 9, on aura les équations ddS d*/ ( d6\ 0=~-*-d?-2-d;\z-dV)> ddy (Y dèy 1 „ „ :., ■p"-\-q" .é* désignant le coefficient de y.sin.fgv — 9) dans l'équa- 224 MECANIQUE CELESTE, tion différentielle (L") du n°. précédent, où l'on doit observer que 5,W el jw renferment déjà le facteur i— {e'\ La première de ces équations donne en l'intégrant, de dv H étant une constante arbitraire. La seconde donne en négligeant ddy -r— -, ainsi que le carré de q" .e'% de l.q» V/l+p"-^ et par conséquent si l'on regarde p" et g", comme constans , ce que l'on peut faire iei sans erreur sensible, on aura *=gv — V~i+F' v tl fe'\dt> + K> V i+p" a étant une arbitraire ; ce qui donne . sin. fgp — 6) — sin.l V/i+p"-^+ l^L, ./e'a • d v — * j ; <- Vy+p" ) d'où il suit que, conformément aux observations , les noeuds de l'orbite lunaire , sur l'écliptique vraie , ont un mouvement rétro- grade égal à {{/ i+p"—i} ■v+~=.fe'*.dp. Ce mouvement n'est Vi+f pas uniforme , à raison de la variabilité de e'; et l'équation séculaire de la longitude du nœud, est à l'équation séculaire du périgée, l" . - <7 comme est a V/1+p" V/i+p La tangente y de l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique vraie, est pareillement variable , puisqu'elle est égale à j H. ( g — — j 1 ; mais il est aisé de voir que sa variation est insensible , et c'est la raison pour laquelle les observations les plus anciennes n'indi- quent aucun changement dans cette inclinaison , quoique la posi- tion de l'écliptique ait varié sensiblement dans l'intervalle qui nous en sépare. On SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 225 On aura ensuite les équations suivantes , 1 — m ■4^o)+ lo.J^.e'— 25,w\ o={i-(2 — zm+g)*}.B^ + l.m,~.l1—Z+BA o={i— (g+cy}.BV + ±.m\-.{B^— 2 + (i— m).(i— 2m— g).B^} a a a o={i— (g-c)>}.B& + \.m .-.{B^—2—2J^ + (i + m.).(l-^n-g).B^} o={i— (2— im— g+cr}.BM + ±.m\-.{(i+g).(i— m)— ZB& + B&} a, o={i— (2— am+g— c)*} .B& + l.m\^-.{(g— i).(1 + m) + B&— a^,«>} o={i—(2—2m-g-cr}.Bf>+l.m.-.{(i+g).(i+m) + B^-l-2J^-2Bl^} ai o={i—(g+m)>}.B" + lm\-.{i + 2BM + Uî-i™-g)-B™—(3-3m-g).Br'} o = {i-(g-mr}.B^ + lm.-.{3 + 2B^—l.(i-2m-g).B^-(}-m-g).B^} a, o={i—(2-m-gr}.B^ + ^.^J]l±i+2BlW+iBl^—(i+g-m).B^ 0={i—(2—im—gy}.B1^ + ^\-.{2Bl^-l(i+g) + iB^-(i+g+m).Bl^} ai _2 a (aBy)-^-io.A^+iAy^-(^-am-zc+g).By^ o={i—(2C—g)*}.Bo0>) + l.m.-.\ (lo+jg.m+ffi*- 2..(2c-\-nm — 2 g).BW l.B—jy>).cos.(2gv—2(l) j+ "■' On aura d'abord , en développant le facteur - — , un terme indépen- nu* dant de cosinus , et qui par la nature du mouvement elliptique , . A a-dv doit être ^~ - ( livre second , n°. 16) ; on aura ensuite j + ';y*-(i+îe>->y).cos.(zgr-z9)-e\cos.(3cp-3*r)( ') + Zh*\/ \dv~}û*) [ [-+-&*. cos. (sgv 2.8)~L1ey.cos.(2gv-cv-2Q+-*-)) j & j Ala\(S~u)\(\— 4e. cos. (cv — ™)).{i — &c.} La partie non périodique du second membre de cette équation est a* .dv f 27. m* %m?-.Â^ , , . , ' „, , ) VT ' V + £77 7 + ^7-^-, + - ■ ^ r + (A" • e)^ • K a/ (_ 04.(1 — nîj2 4.(1 — m) ) Le coefficient de dp dans cette fonction , n'est pas rigoureusement constant. On a vu dans le n°. 10 , que l'expression de - contient le V a, 1erme ; ; ce qui donne dans . y* . sin. (igv — 2 9; 4- C0M) . ey* . sin. (igv — cv — 28 + ™) + C0&\ey*.am.(agi> + cp—2Q~*) + C2(6).sin. (ap — zmp) + C,(7) . e . sin. (2p — zmp — cp-\-^) Ff 2 228 MECANIQUE CELESTE, .e.sin. (-2P — 2mv-hcv — -a) e'.sin. (-2V — nmv+c'mp — ■&') . e'.sin. (zv — n.mv — c'mv+vr') .e .sm.(c'mv — "*') . ee'.sin. (iv — imv — cv\-c'mv-\-^ — '»'') . ee'.sin. (iv — imv — cv — c'mv\'ir-\-zt ) .ee'.sin. (cv-\-c'mv — w — w') . ee'.sin. (cv — c'mv — v-{-v') • e3.sin. (icv — 2c+2mc « — 2*j . y* . sin. (igv — o.v\-imv — %6) . e/!1.sin. (2 cmp — 2^-') a . — .sm. (v — mp) a • — . e . sm, ( v — mv + c mv — w )• + c,«.. + c^. + ca^ :+A(1° + Ct(»> + c^ +,ÇM + c,^ ■+.Cv*> .'+ + Cl<'8> + Ct('9) + C,(») On aura C<°>=- 4.(1 — mj : + î-ea-|-ya— a-rf.O.O 2C 3c c (3>= C w~ l.fi + le* — lyV-s^+J^05^ >S _>_WC>5) C(5)=— - w0 — f+c' C<6> = < 4.(1 — m) [2 — 2/m — c 2 — im-\-c) \ SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 229 £<»=- 4. Cl 777,^ 8.^2 c — a-f-2 7raj 2 — 2m — c -z4W.Ci+{e>-i7*)+iJV+ie\Jr) 2 2 771 C C,c8i = C,W = 3TOa ^m'.fi — ni) 4-('l 77zJ 2 — 2 m +c — a^,w + 3^.w — 3^,0. «• 3' 4.^2 — 777, j 2 — 2771-J- c — aA^+iAW.e* .2 77J 21 .m C,"°>=- 4.(2—3/7?-; — a^,(« + 3^W.e* 2 — 3»! , pm'.^CO 27. m* 1 r_7 i_| 4 32. (1 — m)) \z — 3m 2 — mj \ + î.(AW-irAW).e*+iAl^,e\(AV)+Al^) C/")= +3-|-.rn.cw + 2cw-2cac°); m ■^m* .(2-^-m) 3771* C[(U): 4.^2 777 CJ 4.(2 777.) 7.AW+1AV) 2 — 771 C 2i.7nî.('2+ 3m) 21. m* 4.(2 — 3771 — c) 4.(2 — 3771J — a^,<0+3^W 2 — 3771 — e — 2^,C8)+ 3^2C5) c + 777, ' 25o MECANIQUE CELESTE, Ç^ma.(i o+ig/re-f-Sm.*) ^m*.(i-l~m): 9-m2 V 8. (2c — 2-\-2m) 2. — 2m — c 16.(1 — m) Ci(rt)_ — 3^°) + 3^/0_2^i(")- 2C — 2 + 2m 2C 2-f- 2m Cette valeur de C,(,6) semble être de l'ordre zéro ; car son numéra- teur renferme plusieurs termes de l'ordre m, et son diviseur est d'-. même ordre. Mais on a vu dans le n°. 5 , qu'en n'ayant égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice, la valeur de C/'6', ne peut avoir pour diviseur, le carré de ic — 1 + 2m ; il faut donc que l'ensemble de ces termes se détruise aux quantités près de l'ordre m : c'est en effet ce que le calcul confirme à posteriori. Il suit de-là que dans les valeurs de ^,(,) et de ^/l° de l'expression de C,(l6), on doit rejeter les termes dépendans des carrés de e, e' et y. Chacun de ces termes introduit dans C1/'6), des quantités de l'ordre e% , tandis que leur ensemble n'y produit qu'une quantité de l'ordre e*m, que l'on peut conséquemment négliger; il y a donc de l'inconvénient à ne considérer qu'une partie de ces termes, et il est préférable de les négliger tons. C'est un de ces cas singuliers de l'analyse des approximations , dans lesquels on peut s'éloigner de la vérité , en considérant un plus grand nombre de termes. On a ensuite Vn\(a+m) 3m?__ _^ (l3)_ 5^ (o)_ 3"'-4{'° .(2g — 2+2/nj 16.(1 — m) + a 2g' — 2-f-2?re 2g — 2 -f- 2 m On doit appliquer à cette valeur de C,(l7), une remarque analogue à celle que nous venons de faire sur C,(l8). Enfin on a Cci8> = — — — • 1 ; m ' Q (19) — v^J-^» -^ 1 —m SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 231 10. Déterminons présentement les valeurs numériques de ces divers coëfficiens. Pour cela , nous remarquerons que les observa- tions donnent m = 0,0748013 ; Ç = 0,99154801 ; g = 1,00/102175 ; e = o,oi68i4; à l'époque de 1750. y = 0,0900807. Suivant les observations, l'argument C0C0) . = o,2o4o44 — 0,0660894. A^~ 0,0480577. {BW—BW}; A^= — 0,00372953; AJ-3)= — 0,003 l5i6o — o,oo4496io.Z?t<9); A^= 0,0289026 — 0,00564793 . 5,(J0) ; ^,(6)= — 0,1933 15 +0,104996.^,^ + 0,372796. AW-} A}7)= 0,5 3 8027 + 0,03 34o44 . A y + 0,1 3 5 144 . A M ; At{S)= — 0,0908432 + 0,139071 .Ay> — 0,280299. A y); JW= 0,0791193 + 1,05 5799--^.(,) + 0,27090a. A^; AW= 0,00285 368 — o,oo4 1 5018 . BJ1'); ^/")— 0,3 66 100-0,01 723 18.AS')- o,259744.^,0)-o,32468o.r^l(,);îj AJ-'*~>= 0,00265066 ; A^)=z 0,05233 3 5 — 1,5 5593 î .B^ — 0,220276.^'^; A^^— — o,o 1 29890 ; 232 MECANIQUE CELESTE, _4,(l5)= — 0,1007403 +0,0385084.^/^ + 2,09016. .///l3) — 1,022473. A^~ 36,11032. (5/3) — 5/°). 5/3>}; ^/,6)= 0,1 14623 + 0,166591. ^/,5) — 5,07811. 52W; Ay^=z — 0,1 2 1028 +0.93 7 593. A^ — 0,000031 563. A^ -0,139767. W'Q + Bl'*)); Ay>— 1, 208124+ 1,018700. A^— 5,074801. Ayv-, At^== — 0,121295 + 0,675879. ^/'7) + o,i83834.^lS^ 5/°)= 0,0287031 — 0,0574772. ^a(0^+o,ooo432665.-^,(,); BJ-'\— — 0,00000236395 ; 5/2)= — 0,00564433+0,0048210.5/°) ; 5/3)= 0,0166486 + 0,0166486.^/') — 0,0165194.5/°); J,W= 0,00656716—0,00708386.5/°); 5/5)= 0,0000147361 — 0,00681821.^//'); 5/6)= — 0,0183098 — 0,01.70013. {AW— 5/°)}; 5/')= 0,0809777 + 0,0249192.5/°)— 0,0478194. 5/'°); 5/8)= — 0,0868568 + 0,187099. 5/°) + o,o556224. 5/g) ; 5/g)= — 0,0263090 — 0,0787687 .5/°) + o,o5o654i -5/8); 5/l0)= 0,0712575 — 0,03047765. 5/°) + o,02ing2.5/7); 50(")= 0,421270+0,842540. ^/')-o,337oi6.^/11)+o,586564. 5/°) + 0,157666.5/-); J5/[i)= o,oooig4i4i— o,i684o3.^/') + o,o6736i4. {^/") + 1.5/")} ; 5/,3)= 0.0847889 + 0,147896. {^/')—i. 5/°)} — 0,0591586.^/"); 5/u)= — 0,012561g; 5/,5)= 0,00386625. J'ai conclu de ces équations , les valeurs suivantes , A£0) = o,oo70g262 ; A^y) = 0,20261g; JkW = —0,00372953; A^Z) = — 0,00300427; 'A^ = 0,0284g 57 ; AW = -o,o6984g3; A M = 0,516751; A^ == — 0,207510; A,{s) = 0,274122 ; AJ,0) = 0,00081065; AS'*) SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 333 Àyi) = 0,3490685 AW = 0,00265066; Atw = 0,0075875; Ay^ = — 0,0129890; Ay) = —0,742373; AW = —0,041378; a y* = —0,113197; Ay%) = 1,08469; AyV = 0,001601 ; 5/°) = 0,0283831; By> = — 0,00000236395, By> = — 0,00550748; By) = 0,0195530; By) = 0,00636608; sy> = — 0,00136676; By> = — 0,0212720; sy> — 0,0782400; £,<«> = —0,0833684; By) = —0,0327678; By°y== o,o72o448; By>= 0,491954; By*')= 0,0061023 ; By3)= 0,0920621 ; Byv= —0,0125619; Byv= 0,00386625. Au moyen de ces valeurs , j'ai rectifié la valeur de e , en faisant usage de l'équation C0^).e = _69992",3. L'expression de C0(o) trouvée dans le n°. 1 5 , donne C0(°) = — 2,003974; ^ d'où j'ai conclu e = 0,05486281 ; ce qui diffère très-peu de la valeur déjà employée. J'ai trouvé en- suite , Mécan. cél. Tv?ne 111. G g 1234 MECANIQUE C E L E S î E, cy) = 0,75-2886; C0W = —0,336175; CW = 0,243118; C0W = 0,722823 ; C0(5> = —0,250034; CJ-6) — —0,00919876; C,(7> = — o,4i4o46; C^ = 0,0129865 ; Cs(9> = 0,00392546; = -0,0387853; Ay> — — 0,00571628; C,<">== 0,196755; C,('^= 0,127650 ; C,C'3)= — 1,081734; C,^)= 0,373115; Çt<,5) = —0,616738. Il faut par le n°. précédent, employer dans le calcul de C^'6) et de C,('7), les valeurs de ^A y\ ^/'^et^/'3^, déterminées en n'ayant point égard aux carrés de l'excentricité et de l'inclinaison de l'or- bite lunaire. J'ai trouvé ainsi les valeurs suivantes de ^^'\^l(-'1\ ^4.^ et B^> dont on doit faire usage dans ce calcul, Ayï = 0,201816; A^ = 0,349187; AW= 0,0077734; Btf = 0,0282636; d'où l'on tire On a ensuite C/,6> = 0,272377; CS1» = 0,033825. C/'8) = 0,173647; cy*)= —0,236616; C0m= —2,16938. Cela posé, ^l'expression de nt + i du n°. 15, devient, en réduisant en secondes , ses coëfficiens , SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 235 nt+i = v + [.m\f(e"—E'*).dv — 69992"53°-sin- (cv — m) + i442",66.sin.('2cp — n^) + 125 5^,92. sin. (2gv — 2S) + 2o4",86.sin. (zgv — cv — 2 9 + -»-,) — 7o";,86.sin. (2gv-\-cv — 2 9 — iaf) — 5856",! i .sin. (zv — 2mv) — i446i//,28.sin. (iv — zmv — cv + w) + 453",58.sin. (o.v — smv + cv — -a) + 42",02.sin. (iv — a.mv+cmv — 9. sin- (c'mv — ■?' ) + 74",9(>.sin. (-2P — 2 mv — -cv +c'mv-\-*r — ■&') — 63 5 ",26. sin. (iv — imv — cv — cm v + ^ + «■' ) -+- 2ig",n .sin. (cv+c'mv — ™ — <&') — 3 62% 18. sin. (cv — c'mv — w+vr) + 521 ",91 .sin. (2 cv — 2v + 2mv — 2^) + 174 ",74. sin. (zgu — 2v + 2mv — 2 0) + 31 ",25 .sin. (2 c'mv — 2^') + 37^",')86.(.i+i).sm. (v — mv) — 5^">°Î3 -(i + ij-sin. (v — mv + c'mv — v'). Les deux derniers termes ont été déterminés , en supposant — = . Cette fraction dépend des parallaxes du soleil et de la a 4oo * L lune ; elle diffère très-peu de — ; mais pour plus de généralité , nous l'affectons du coefficient indéterminé i + z, et en comparant le terme dépendant de sin. (v — mv) , au résultat des observations, nous en conclurons dans la suite , la parallaxe solaire. Il est facile de voir , par ce qui précède , que les perturbations de l'orbe terrestre par la lune , introduisent dans ^/,c'7) , la quan- tité 0,25044./*, et par conséquent, dans C,(li0la quantité — 0,54139..*/.; d'où résulte dans l'expression de la longitude vraie de la a lune, l'inégalité 0,54139.//.. — .sin. (v — mv)- L'action directe de Gg 236 MECANIQUE CELESTE* la lune sur la terre , produit dans le mouvement de cette planète , a l'inégalité — .^.sin. (v — mv) ; cette action est donc réfléchie à la a lune par le moj'en du soleil , mais affoiblie dans le rapport de 0,5/fi 39 à l'unité. L'expression précédente de nt + % renferme les quantités c et g, et ces quantités dépendent de l'action du soleil. Nous avons donné leurs valeurs analytiques dans les nos. 10 et i4. En les réduisant en nombres, on trouve c = 0,991567; g == 1,0040105. Le mouvement (1 — c).v du périgée lunaire, est donc, par la théo- rie précédente , égal à 0,008433 .v. Ce mouvement , par les obser- vations, est égal à 0,008452.^; ce qui ne diffère du précédent, que de sa quatre cent quarante-cinquième partie. Le mouvement du périgée est assujéti à une équation séculaire dont nous avons donné l'expression analytique dans le n°. 10. En la réduisant en nombres , elle devient 3, 000 5 2. ^.^./(V1 — E,. L'équation séculaire de l'anomalie moyenne est ainsi , — 4,ooo 5 2 . i . m' ./ Ce" — E'*) . dp ; ou à très-peu-près quadruple de celle du moyen mouvement. 1 h . Nous allons présentement déterminer quelques-unes des inégalités les plus sensibles du quatrième ordre. L'une de ces inéga- lités est relative à l'angle 2 v — zmp — agp -\-cp+2& — ■&, et nous avons déterminé précédemment la partie de a£u qui dépend du cosinus de cet angle. On trouve ensuite par le n°. 15, que l'ex~ pression de nt+t , renferme l'inégalité 8. (2g— 2+2m) T3 J /2p — zmp — 22 p\ \ + CP+2Q — mr J 2 — 2m — 2g -f-c Cette inégalité réduite en nombres , devient 26/>77-sin. (2 v — zmp — 2gp+cp-\-z9 — i*). Considérons encore l'inégalité relative à l'angle 2cp + 2p — imp — 2^. Si l'on rassemble tous les termes dépendans du cosinus de cet angle , que donne le développement de la seconde des équations (Z) du n°. 1 , et que nous avons déterminés dans le n°. 6; cette équation devient, en n'ayant égard qu'à ces termes, ddu, %-m (l0-lQ.m-^-8m'i).(ii-{-c-7n) o = - — \-u-\ r~, — ; — ; •e*.cos.(zcv+*v-'2mv<-Z'x)\ dv% 2a, &.(c — m-$-i) en nommant, donc A'^Ke* .cos. (sep + zp — 2mv — ztr) , le terme correspondant de aJ'a,- on aura 3. m* -.fio — îgm + Sm*). (2 — m + c) A'J^ = _f . 4. ("e — m+l). {i.(c—tn-\-i)* — i j Si l'on nomme ensuite C'%i0) .e*. s'm.( 2 cp + zp — 2mp-— 2-arJ , le 1 > 238 MECANIQUE CELESTE. terme correspondant de l'expression de nt + ^ ; on trouve par le n». 15, -3. m2 ('io — igm + 8maJ J.m*.(i — m) 9-ma ) Cm ! 2 8.(c — m-\-i) 2 — 3,m-\-c xô^i — m), — ssl'^ + ^JV—^w J 3.C 2771 -f" 2 En réduisant ces formules en nombres , on a A'J-01 = 0,0020 io4i 5 C70) = —0,0130618; d'où, résulte dans nt+e, l'inégalité — 2 5V>3 siri. fîc^-fac — imp — o.^). L'expression de dt du n°. 15 , donne dans nt+e, le terme 3^(4). ee' .sin. ("ai/ — 2mf + cv — c'mv — ■sr -f- ar7^ 2 3 77Ï -f- c Ce terme est sensible , à cause de la grandeur du coefficient -d^; il est donc utile de considérer l'inégalité relative à l'argument zp — 2mv + cp — c'mv — -3-4-1/. La seconde des équations {L) du n°. 1 , donne , en n'ayant égard qu'à ces termes que nous avons développés dans len°. 6, ddu 21 /m2. (2 — im).(b — ^m+c) Vu — - dv* 4.(2 — 3/ri+cJ Soit si'^'Kee' .cos. (o.p — 2mp-{-cp — cmp — m-\-'a'') la partie de aS'u dépendante de l'argument dont il s'agit ; on aura (1) _ 21 .m* -fa — îm).(b—T,m + c) b.(2—im-t-c).{(2—im-\-c)1 — i}' Si l'on nomme ensuite C'J-l).ee .sin. (iv— zmp + cp — c'mp — -ar+w'^ la partie de nt+s , relative au même argument; on trouve par le n°. 15, C 0) — 4.fa — 3/w + c; 4.(3—3/77,; 2 3m -j- C ("2P — imp-\-cp\ o = - \-u — ; — ; .ee.cos.l , , 1. \ — cmp ir-J-OT/ SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 239 En réduisant ces formules en nombres , on trouve ^V°= — 0,0134975 j arm$~==~ 0,0534480; ce qui donne dans nt + s , l'inégalité 3i",3g.sin. (iv — imv -\- cv — c'mv — = [7.(3+ ii.m+8.?7i2i 3™* ) îê" 1 — \m?— (2c— 2+37n;2 )— 7. fio+ 19. rn+8. m2; — ^o.A^H ' ^»=— ~3m2 /« ' — (2c — 2-|-mJ2 l'lO+] 8.(2C 9.777+8, — 2+3 m2 — 4o, ]—(i 8.(2C — ! + 11 .771 -2 +771J +8.7712; 16 Si l'on désigne la partie correspondante dé nt+e , par C'tcl)-eV.cos. f2Cf — iv-\-imv + c'mv — a-ar — -3-'^ + C,(3).eV.cos. (-zcp — zv+zmv-*— c'mv ~--2^+^'J; a io MÉCANIQUE CELESTE, ton aura par le n°. 15, r2i.7ra2.('io-t-i9.m+'8.7n.I'/)-+-i20.mI.^ITO 21. m*. (^-^-^m) 63.771* CS* r= I 16. (2c — 2 -\- ym) 4. (2 — 3771 — c) 16.(2 — 3m )i — sA'^+^A^—jAW + ^A^KA^ J 2C 2 + 3 777, -3.777a.('lO+19.7Tl+8.77l^+120.777,!'.j4IW) 3.77l2.('2-)-7nJ 9. 777. i C'/3)=- l6.(2C 2 -j- m) 4.(2 777, fi) l6.(2 771 w 2A'p+iA^— ^Ap+^A^.A^ J 2C 2+777, En réduisant ces formules en nombres , on trouve A\w = 0,744932 ; A'^= —0,0153320 ; e\« = 0,563137^ CV3)= — 0,023 5572 j d'où résultent dans n t+ s , les deux inégalités 1 8", 1 5 .sin. (acp — sp + 2mp + c'mp — 2 m — -s7^ ■ — o",76.sin. ("2cc- — 2v+ 2 tfi*> — c'wzf — îw+^'J- Les inégalités dépendantes des argumens icp-à^c'mp — zivzp.'sf sont très-faciles à déterminer par la considération de l'expression de dt du n°. 15. Cette expression donne dans celle de nt-\-iy les inégalités 3^,(8).ese' . , ■ ■ .sin. (ncvArcmv — a^ — -s- ) 20 + 777. lA^y.e'è' H .sin. (icp — c mv — î«+iî): et il est aisé de voir que ce sont les seuls termes du quatrième ordre, qui dépendent de ces argumens. En les réduisant en nom- bres, on a dans nt+e, les deux inégalités suivantes, — g",75.sin. (-xcv + c'mp — 29-»'J -4- 13 ",8g. sin. (2cp — c'mv — 2^+m'). Il est facile de voir , par l'expression de dp du n°. 1 5 , que l'iné- galité dépendante de l'argument kv — bmv — cv + v, doit être sensible. Pour la déterminer, nommons ,: A',w.e.cos. (kv — Amp — cv + n) le SECONDE PARTIE, LIVRE VII. s4i Je terme correspondant de aS~u. Il est clair qu'il ne peut en résul- ter de semblables , dans l'équation différentielle en u , que par la variation des termes de la seconde des équations (L) du n°. 1, dus à la force perturbatrice. Nous avons développé ces variations dans le n o T -, ■}mr.u'3.Su -, , . n . o. La première est ; ; — ; et elle ne produit aucun terme du quatrième ordre , dépendant de cos. (kv — kmv — cp + &). La seconde variation est gm'.u'3 , 3m'. u'3 . .fu.cos. (zp — 2p')+ : '. ■.JV.sin. (2v — %v) ; elle produit le terme 2 ~-(3 — &m).Z4lW.e.cos. (kv — 4/rav — Cf>+vr). 4 a, La troisième variation est 6m'. u'3 Su du . ïm'.u* d.Su . —r—-.—.-r.sm.(2v — 2f ) r— -. — — sin. (ip — 2P ) h*u* u dv ' 2hau* dv . im'.u'3.Sv' du elle produit le terme 1 — 7— -(s — 2m — c).Zé M. e.cos. (kp — Àmv — cp+tr). Enfin la quatrième variation est , 12-m' et. « -> nu'3.dv {Su . , ï "ïry-l i + i> .COS.(2gV-2Ô)}.J — —.\—.Sm.(2V-2p') + \Jp'.CQS.(2P-2p') [ (ddSu ") /»3TO'.u'3.à'i/ gm' ru'*.Su , . -ll^+^]/ -W sxû.fs*-^;- ^ •f—^.dmn.(2P-2p')i elle produit le terme 3.771 f2 — Jmj o, 4 — 4m — c .^/').e.cos. C4f — 4OTf— cf+,?»"y). L'équation différentielle en k , deviendra donc , en n'ayant égard qu'à ces diffcrens termes , 2 Mi!c an. cÉh. Tome 111. Hli 242 MECANIQUE CELESTE, En y substituant ^4'J-4).e.cos.(4tV — kmv — cv+n) pour a fit; on aura 4.(2 — — kmv — 2 cp+a-sr , peut encore être sensible : l'expression de ndt du n°. 15 , contient le terme 1 . (uip?)* . e% . dp. cos. (kv — 4rac — zcv+ 2 ™); d'où résulte dans n t + e , le terme j.(A,<-1'))il.e*.ùn.(4:V — bmv — zcv + a*r) 2.(4 — 4m — ac) Il est aisé de voir que c'est le seul terme du quatrième ordre , dé- pendant du même argument , qui entre dans l'expression de nt+i. En le réduisant en secondes , il devient 68^70. sin. (kv — kmv — 2cv+2 ; , •-*% a T" ?.© .COS.I 1. 2fl, (. 2 — 2771 — C 4.(2C — 2-1-2771,; 2-277zJ \j-2CV+!113 J L'équation différentielle en «,. devient donc , en n'ayant égard qu'à ces termes, Î- A ( 1) a A (il) a oo (i— 2m). (i—zm)^ T , , , t^z, 4.(20 — 2 + 2771,) En substituant ^'}(5).eJ.cos. (kv — kmv — 2cp+2^) pour a»; -^.°\ 2 (4 — 4»i — 2C,)2-— 1 Hh 2 244 MECANIQUE CELESTE, Si l'on désigne ensuite par CV^.e'-sin. (kv — imp — 2cv-\-2^) le terme correspondant de nt -f- s ; on aura par le n°. 15, -T)m*.(' (fi , ^ A ("3 3^-^.Cl) 3^Vio+i9^+8^; v (0)] ' n ^.(l-m) 2—2?n — C D.(2C — 2-J-27MJ C'/'ï ..+i.r^Iw^a+.3^co)^[c,i)— M.w-"4. c°) 4 — 4771 — 2C En réduisant ces formules en nombres , on trouve A'^ = 0,00436374; C'2(5) = 0,0249,067 ; ee qui donne dans ?it+s, l'inégalité 47",7i.sin. (4t> — ^mv — xcp-\-2^). La différence entre ce résultat et celui des tables , est insensible; et l'on voit par ce calcul , que pour rapprocher entièrement la théo- rie de l'observation à l'égard de toutes les inégalités lunaires, il suffirait de porter l'approximation jusqu'aux quantités du cin- quième ordre. Cela résulte encore du calcul de l'inégalité dépen- dante de sin, (v — mp) , dans lequel nous avons eu égard aux quantités de cet ordre ; car on verra dans la suite , que le résultat de notre analyse , comparé à celui des observations , donne à très- peu-près , la parallaxe du soleil , que l'on a conclue des passages de Vénus sur cet astre. L'inégalité dépendante de l'argument cv — p + mp — \ lb i; ■ l "~ fc + m— i;.{i — fc + m — 1;» — fm»} 31»» f 5+2^-10^ ~ j c,yj 2-i 5 , 1^\V)+îA^Aï\A™+-^ c + m — i K.(i-mj =- D'où l'on tire Irf^tf = — O,a6o4g6 ; C76)= — 0,293763. De-là résulte dans n t+$ , l'inégalité — 2 5 ",65.(1 + ^. sin. (cv — c+mc — m). L'inégalité dépendante de l'argument v — mv + cv — 1* , est facile à déterminer par le n°. 15 ; il est aisé de voir qu'elle est égale à -o" - -. — .e.sna. (v*— -mp + cp-— ); ï -f- c — m' a et par conséquent égale à — i^J,ij.(i+i).sm. (p — mp + cp — •&). En suivant les mêmes procédés , on déterminera les autres iné- galités du quatrième ordre 5 mais comme elles sont au-dessous des erreurs de nos approximations , il ne sera utile de les considérer par la théorie , que lorsqu'on voudra porter l'approximation jus- qu'aux quantités du cinquième ordre. Maintenant, si l'on rassemble les inégalités du quatrième ordre que nous venons de déterminer , on aura + 26fl,77.sin. (2p — 2 mv — igp + ct>+i0 — -^ — 25^03 .sin. (-2cv -\-2P — 2mp — 2^) •+- 3 1 ", 3 9 . sin. (2v — 2 mu + cp — c'mp — — 2^+2*^ ■ — ■ 2^",6<^ . ( 1 +i) . sin. (c p — p + mp — <&) • — 15 ",47.^1+^. sin. (p — mp+cv — •(» — i»\).sin. (gp— Q) + ?s.{i — iy-fT-^.cos. (2gp — 2S)} + -^-.>3.sin. (igv — 36;; d'où j'ai conclu , en employant la valeur précédente de y , la lati- tude égale à + 38",78.sm.f3^ — 39; + i62i",oo,.âin. (np>~- 2 m*» — g"?+0^ H- 3",52.sin. ^2^ — 2mp-\-gp — 6) — i7",26.sin. (gu+cp — 0 — <&) + 6i"i2'j .sin. (gp — cp — ô-f-a-J + I9",g5.sin. (ip — 2mp — gp + cp+Q — <&) — 4",28.sin. (hp — zmp+gp — cp — ô + 'sr) — 66",66.sin. (-2p — zmp — gp < — cp+9-\--a) + 75",i4.sin. (gp +c'mp — >0- — «*') — 8o",o6.sin. (gp — c'mp — 0.-4-*'} — 3i",47.sin. (ap — 2mp — gp+c'mp+Q — 8î.sin.(2cp+gp — 2p+2mv — 2^ — 6). 10. Il nous reste à déterminer la troisième coordonnée de la lune , ou sa parallaxe. Le sinus de la parallaxe horizontale de la D , D.u lune, est égal à — ou à — , D étant le rayon terrestre. Vu la T V\+ss X'etitesse de cette quantité , on peut la prendre pour l'expression SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 247 de la parallaxe elle-même. En y substituant pour u , sa valeur -. {i+e% + ty+e.(i + e»;.cos. (cp— ta)— ±y*.cos.(*+ ty*.cos.(sgv-2QJ].cos.(cv-'B)+afu— sfs } . a Pour déterminer — , nous observerons que l'on a par le n°. 10 , a et par le n°. 1 5 , d'où l'on tire i = r-°'9973o2o; CL G -7= = 1,0003084 = -; ya, ' J n7 1 1 Jy/na. (1,0003084)* * ~ * o,9973°2° Soit 2 e le double de l'espace que l'attraction terrestre feroit décrire dans le temps t, sur le parallèle dont le carré du sinus de latitude M est y. Cette attraction est — par le n°. 35 du livre III , la terre M étant supposée elliptique. Mais on a fait précédemment Jf+/w=jj m étant ici la masse de la lune; on a donc M.V> = 2£ I (M + m^.D partant D I *S .M B «3(a.Ci,ooo3o84Jl — — L' T7~. • — » '» a w M + m 2 e 0,9973020 Supposons t égal à une seconde , et nommons T le nombre des secondes d'une révolution sydérale de la lune j on aura n" = -— , ■*■ étant le rapport de la demi- circonférence au rayon. Soit l la longueur du pendule à secondes , due à la gravité sur le parallèle 243 MECANIQUE CELESTE, que nous considérons ; on aura par le n°. 1 5 du premier livre , 2s=ts/; ce qui donne 1=1^ M D (2,0006168)» M-\-m l 0,997^020.7^ La longueur du pendule à secondes , sur le même parallèle , est , par le n°. t\2 du troisième livre, égale à omèlres,74oo,o5 ; il faut l'aug- menter de sa 434!èm0 partie, pour avoir la longueur qui auroit lieu sans la force centrifuge; ce qui donne Z=ome,7426i2. La valeur de D est égale à 6369374 mètres; enfin , on a par les phénomènes M des marées, m = -—, et les observations donnent T = 2732166; 58,6 on aura ainsi , D — . = o,oib<. + 578",63 .cos. (cv — — -2'b) + ll'\lO.CQS.(2CV 2V-b2IîlV 2,*J + o",23.COS. (2gV 20) — 0", 54. cos. (o.gv — 2v+zmv — 2$) <•— o",o4.cos. (iç'mv — 1™') SECONDE PARTIE, LIVRE VII. a49 2 ",92. COS. (igV CV 2.$ + ™) o",20.COS. (iV 2 mv 9. gv-^-cv + 2 9 iz) — a ",99 . ( 1 + i) . cos. (v — mv) + o",48 •(i+i)' cos. (v — mv+c'm v — <*') — o",i3 .cos. (2 v — zrnv + cv — c'mv — •sr+'B0 — o",46 . cos. (Ap — kmv — cv+tr) + o",l4.COS. (if AmV 2CC+2«j + o",4o. cos. ('a cv — 2v + 2 mc+c'mc — 2-3--— 1/,) + o ",07. cos. ('a cv + zv — imv — 2^) — o",}3.(i + i).cos. (cv — v + mv — &)* Mécan. cùl. Tome III. ïi 250 MECANIQUE CELESTE, CHAPITRE IL Des inégalités lunaires dues à la non-sphéricité de la terre et de la lune, 2C). IMous allons présentement considérer les termes dus à la non-sphéricité de la terre et de là lune. On a vu dans le n°. r, que pour y avoir égard, il suffit d'augmenter dans l'expression de Q, la quantité , de (M+m).\JI- + —l Si l'on nomme àp l'ellipticité de la terre 5 D son rayon moyen 5 atp le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur: enfin p le sinus de la déclinaison de la lune ; ona par le n°. 35 du livre III , M D* r rJ ' Si la terre n'est pas elliptique , on a par le n°. 3 2 du livre III , M D* K = -+{(±a — \) + *h!.(x — fx'J.cos.zvj.M.— j 7 T ap et «.h' étant des constantes dépendantes de la figure du sphé- roïde terrestre , et w étant l'angle formé par l'un des deux axes principaux de la terre situés dans le plan de l'équateur , avec le méridien terrestre passant par le centre de la lune. Il est facile de voir par l'analyse suivante, que le terme dépendant de cos. 2-sr, n'a aucune influence sensible sur le mouvement lunaire, à cause delà rapidité avec laquelle l'angle ™ varie; en sorte que la valeur de T^ dont on doit ici faire usage , est la même que dans l'hypo- thèse elliptique et d'une ellipticité égale à «p; mais dans le cas général d'un sphéroïde quelconque, ap n'exprime plus son ap- platissement. On peut donc supposer dans ce cas général, que la SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 251 valeur de Q du n°. 1, s'accroît par la considération de la non-sphé- ricité de la terre , de la fonction > L>2 , - (\ a. ç — * f) . — . (>* — -) • M+m étant pris pour l'unité de masse. Considérons d'abord la variation de l'orbite, ou le mouvement de la lune en latitude, dépendant de cette cause. Si l'on nomme a l'obliquité de l'écliptique sur l'équateur, et si l'on fixe l'origine de l'angle v , à l'équinoxe du printemps d'une époque donnée ; on aura à très-peu-près , ix = sin. a. V 1 — ss .sin. fp + s.cos.^; fp étant la longitude vraie de la lune , rapportée à l'équinoxe mobile du printemps. Il faut ainsi ajouter à la valeur de Q, la fonction ,, « V fsin.^.fi — s* ). sin.* . fi> + 2s.sin.A.cos. A.sin./Vl I» * V fi \+52.COS.2A_ f j Cela posé, reprenons la troisième des équations (L) du n°. 1. Nous avons développé dans les nos. 11, 12 et 13, les divers termes de cette équation dus à l'action du soleil : il est facile de voir que la fonction précédente lui ajoute la quantité — — D%u. sin. a. cos. A.sin./V + fg-2 — i)-H.siu. fp ; H. sin. fp désignant l'inégalité de s, dépendante de sin.yV. On peut d'ailleurs se convaincre aisément que cette quantité est la seule sensible qui résulte de cette fonction. En l'ajoutant à l'équa- tion différentielle du n°. 13 , et observant que y — 1 est extrême- ment petit par rapport à g — 1 ; l'intégration donnera 2. fa —i* . Il = . . 3111. A . COS. A ; 1— g2 a2 ' d'où résulte dans s, ou dans le mouvement de la lune en latitude, l'inégalité , fa — i*ç) D2 . . . — -sin. a.cos. A.sin. fp. g — 1 a2 ' C'est la seule inégalité sensible du mouvement lunaire en latitude, Ii 2 252 MECANIQUE CELESTE, due à la non-sphéricité de la terre. Cette inégalité revient évidem- ment à supposer que l'orbite de la lune, au lieu de se mouvoir sur la plan de l'écliptique , avec une inclinaison constante , se meut avec la même condition , sur un plan passant constamment par les équinoxes, entre l'équateur et l'écliptique, et incliné à ce dernier plan , d'un angle égal" à (*( — {*r rfr „ • „ - /dR\ o = SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 253 & R contient le terme a.f*p — r *.sin. (#? — 9j; on aura le terme — 7 .(<*p — ^a» . ;■ -: ^ • — .sm.A.cos.A.^.cos. ^^— > — «;• On peut dans ce terme, substituer a pour r, et dv pour 7zc?£; en observant ensuite que n'a3 = 1 , il devient — ÏO.rff .(etp — \a.ip).— — .sin. *.cos. a.^.cos. (g-t> — /V — S), Cette valeur de d. JV est par le n". 46 du second livre, relative à l'angle compris entre les deux rayons vecteurs consécutifs r et r-\-dr; or si l'on nomme dvt cet angle, dv représentant -alors sa projection sur le plan de l'écliptique ; on a par le nn. cité , 1 / ds* dv = dv.. — . : SECONDE PARTIE, LIVRE VII 255 ou à très-peu-près , En substituant pour s, (af — l.atf) D* . • . y . sm. (gv — 8) . sui. a . cos. a . sin. fv ; on aura 1 + 7, (ap — {•*?) ■ —.?.sm.Kcos.*.cos.(gi>-fv-S) + &c. | . On voit donc que pour avoir la valeur de d. JV, relative à l'angle v formé par la projection du rayon vecteur ?' sur l'écliptique, avec une droite fixe; il faut ajouter à l'expression précédente de d.-- cos. (gv — fv — S); CI/ ce qui donne d.$~v = — ~.dç.(d.p — \a(p),-. -.sin. a. cos. *.?>cos.(gv — fv — Q)', et en intégrant , (ut i-utb) Ds fv = — ~. — .sin.A.cos.A.^.sin.fgv — fv. — 8). C'est la seule inégalité sensible du mouvement de la lune en longi- tude, due à la non-spbéricité de la terre. On doit observer que fv — gv + Q , exprime la longitude du nœud ascendant de l'orbite, comptée de l'équinoxe mobile du printemps. Il suit de-là, que l'expression de la longitude vraie en fonction de la longitude moyenne, renferme l'inégalité ~ . — .— — . sin. a . cos. a. y. sin. (longitude du nœud ascendant). Le coefficient de cette inégalité est 1 7^,1 3 5 , si p = : il s'élève â 3 5",49o,sif^-U La non-sphéricité de la terre influe encore sur les mouvemens 256 MECANIQUE CELESTE, du périgée et des nœuds de l'orbite lunaire. En effet , la valeur de Q étant par-là, augmentée de la quantité 1 ' [ — 2S.Sin.A..GOS.A..SHl,/v — S .COS. K) il en résulte dans la seconde des équations (Z.) du n°. 1 , le terme (*, — i»J I (1 — 1 .sin.2*,). e. cos. (cv — ™) a a* d'où il est facile de conclure que le mouvement du périgée sera augmenté à très-peu-près , de la quantité Z> fttp_ia?;.__.t,,{i_i.sin.sA;. Il est aisé de voir , en considérant la troisième des équations (L) du n°. 1, que le mouvement rétrograde du nœud sera augmenté de la même quantité. En la réduisant en nombres , on trouve 0,00000026384.^,- ce qui est insensible. Nous ferons ici une remarque intéressante sur l'inégalité pré- cédente du mouvement de la lune en latitude. Cette inégalité n'est que la réaction de la nutation de l'axe terrestre , observée par Bradley. Pour le démontrer, nommons y l'inclinaison de l'orbite lunaire , sur le plan dont nous avons parlé . et qui passant cons- tamment par les équinoxes , est incliné à l'écliptique, d'un angle (ctp — lut?) Z>2 égal à . — .sin. a. cos. *.. L'inclinaison de l'orbite lunaire & g-i a* à l'écliptique , sera (*p—i* . — . sin. a. cos. *.cos. (gv — fv — 6 ) « ' g — 1 a* ls ' J y ' or l'aire décrite par la lune, autour du centre de gravité de la terre, est \.i*dv : cette aire projetée sur l'écliptique, est diminuée dans SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 257 dans le rapport du cosinus de l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique , au rayon ; elle est donc égale à {.r*dt>.cos.\ y . — .sin. *.cos. ^■cos. (gît — fit — 5) >. I g—i «* i Ainsi , l'expression de cette aire renferme l'inégalité -.r dv — .sin. x.cos. >wv.cos(,et> — fit — S): g—i a1 ° ' et comme on a r*dv = a'dt , à fort peu près , en représentant par dt le moyen mouvement de la lune 3 cette inégalité est égale à -.lJ2dt. .sin. a. cos. a. y. cos. (gv — jv — Qj. En la multipliant par la masse de la lune, que nous exprimerons ici par L, et en la divisant par dt ; le double de ce quotient sera le moment de la force de la lune par rapport au centre de gravité de la terre, et due à la non-sphéricité de cette planète j ce qui donne pour ce moment , (cep — *a-cos- r^-A- •;}; on aura donc dans ce moment , l'inégalité i.^.nC.ûa.r „ On a vu dans le n°. 6 du cinquième livre , que jm° (&C—A — B) l— — . .fi+Aj.cos./^; ml exprimant le moyen mouvement de la terre. De plus, par le n°. 5 du même livre, m*. h = — - , a étant la moyenne distance de a" la lune à la terre; et puisque nous représentons par t, le moyen mouvement de la lune , et par M , la masse de la terre ; on a à fort i M L peu près, — = i , ce qui donne m2, a = — : ,• l'inégalité précédente devient ainsi, 3L (2C— A — B) — -~j,r .sin. /^.cos. /^.•j-.cos. (gv — fv — S), Par Je n°. 2 du cinquième livre , P élant Fapplatissement de la terre , D son demi-diamètre , et R le rayon d'une de ses molécules , dont n est la densité ; enfin , w étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. La masse M de la terre est j.t,/ti R*.dR; ce qui donne pour l'inégalité précédente, en y changeant V en a qui dans la formule précédente (i) , ex- prime l'obliquité de l'écliptique , — L..U . .sin. *. cos.a. >• cos. (gv — fv — SJ. g — 1 Cette formule est la formule (i) , prise avec un signe contraire ; d'où il suit que l'inégalité précédente du mouvement de la lune en latitude, est la réaction de la nutation de l'axe terrestre; et il y anroit équilibre autour du centre de gravité de la terre, en vertu SECONDE PAE.TIE, LIVRE VIL 259 des forces qui produisent ces deux inégalités, si toutes les molé- cules de la terre et de la lune étoient fixement liées entre elles ; la lune compensant la petitesse des forces qui l'animent, par la lon- gueur du levier auquel elle seroit attachée. 1 1 . Pour avoir égard à la non-spliéricité de la lune ; nous oh- serveronsquepar len°. 1, elle introduit dans Q,lcterme (M\-m). — m > s-v ou plus simplement, ; parce que nous supposons M + m =1. On a par le n°. i4 du troisième livre , l'intégrale étant prise depuis a = o, jusqu'à a égal au demi-dia- mètre de la lune , que nous désignerons par a ; et p étant ici la densité des couches de la lune. On a de plus , m = ^.T.fp.d.a3; on a donc m j-fî.fp.d.a? Pour déterminer /). d. (à W) , nous observerons que l'on a par le n°. 3 2 du troisième livre , pour Y^\ une expression de celte forme , YW = h'.Q — ^-M'Wï^.sin.^ +h",.^.Y/T^I\cos.^ Ensuite les propriétés des axes de rotation , donnent par le n°. 3 2 du livre III , o=:fP.d (a5 h") ■ o=-.ff.d (a5 h"') ; o=fP.d (a5,fcv) ; et par le n°. 2 du livre V, on a 2C—^ — B = ^.c7r./p.d(a5h'); B — A^ ^.cc7r.fp.d(a5hy). Ainsi l'on a m 16.3- r'.fp.d.a3 \-\-(B — ^d).(x — ^°j.cos. 2-srj' On a à très-peu-près } par le n°. -2 du livre V, 8sr .C= — -fp .d,a5 15 Kk 260 MECANIQUE CELESTE, pariant , ((.Ç-A-B) £V 3 ff.d.a5 il c '( 3 h J (M + m). = 10 ff.d.a3 r ) (B—A) - — •(! — //-V'cos-2,sr\ Dans cette dernière expression , , la caractéristique diffé- renlielle d se rapportant aux seules coordonnées de la lune ; de plus, on a par le n°. 46 du second livre, la partie de di? relative à la non-sphéricité de la lune, dans la formule (Y) du n°. 46 du second livre, est ainsi, en négligeant le carré de y. , * „ 3 h-d-cï (B-A) . dR — — r- - , 'V 7 .tff.Sin. 2-sr; 51'3 ff.d.a3 G d'où résulte dans JV , ou dans la longitude vraie de la lune , par la formule (1") du n°. 46 du second livre, le terme 9 ff.d.a* » (B-A) . -.- — - — . — . — - — ./ / ac'.sm. 2-sr. 5 ff.d.a3 r* C JJ L'angle « est toujours très-petit, par le n°. 16 du livre V 5 en sorte que l'on peut supposer sin. 2^ = a*. De plus, par ce même n°. , •s contient un terme de la forme — if.sin. \v . |/ t-JF-Y. Ce terme pris avec un signe contraire , représente par le n°. r 5 du livre V, la libralion réelle de la lune. Comme il croît avec beaucoup de lenteur , il semble pouvoir devenir sensible par la double intégration : c'est le seul de l'expression de -a-, auquel il soit nécessaire d'avoir égard. Il produit dans <0, le terme 6 />. 5'ff .d.a> K . f l / (B-A) ) .d.a? ra ( C i SECONDE PARTIE, LIVRE VII. aSi La libration K.sin.jf • |/ 3. — VF'\ étant insensible , on ne peut pas supposer qu'elle s'élève à un degré. Déplus, le coefficient 6 i f p . d . a3 -• — . ? — j — ■ est extrêmement petit. Si la lune est homogène, il 6 a2 a devient -.— ; or -estle sinus du demi-diamètre apparent de la lune; ainsi le produit de K par ce coefficient, est entièrement insensible. Si la lune n'est pas homogène , sa densité croît de la surface au centre ; alors ce coefficient est moindre encore : d'où l'on doit conclure que l'inégalité précédente de la longitude de la lune est insensible, et que la non- sphéricité de ce satellite ne produit aucune variation sensible dans son mouvement en longitude. Quant à sa latitude , on doit observer que y. étant le sinus de la déclinaison de la terre vue de la lune, par rapport à l'équateur lunaire, et le nœud ascendant de l'orbite lunaire coïncidant tou- jours avec le nœud descendant de son équateur 3 on a (S = {s + A.sin. (gv — 9;}% a étant ici l'inclinaison de l'équateur lunaire à l'écliptique ; ce qui donne (* + v) **•(-£ ) = 5 + ^-sin. (gv — 6)-. y la non - sphéricité de la lune ajoute donc à l'expression de — j- — â"("7~)> ^ans la troisième des équations (Z) du n°. 1, le terme 3 fp.d.a5 1 (x+y) (2C—A — B B — A +y) (aC—A — B B — A 1 ï ff.d.a? r» ou à cause de cos. 2»= 1, à très-peu-près, elle lui ajoute le terme 6 f?.d. 1 (Vj-yj (C — A) 5 fp.d.a3 f V C Il est facile de voir par le n°. i4, que ce terme ajoute au mouve- ment du nœud , la quantité 3 fp.d.a* v_ (X + y) (C-A) Y fp.d.a3 'r*' y * C s62 MECANIQUE CELESTE, Q ^ Par le n°. 18 du cinquième livre , — - — = 0,000599 j d'où il est facile de voir que la quantité précédente est insensible. On trouve pareillement , que la non-sphéricité de la lune ajoute — s /dQ\ au terme — — .( — - 1 , de la troisième des équations (Z.) du n°. 1 , le terme . . 3 ff.d.a5 1 (C—aA+B) T î'ft.d.a3'rr C~ ce qui ajouté au mouvement du nœud , le terme 3 f?.d.œ> v (C—2Â+B) ~~ Tô'ff.d.a3 "î* C ' quantité entièrement insensible. ,s; SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 263 CHAPITRE III. Des inégalités de la lune , dues à l'action des planètes. 11. Il nous reste à considérer l'action des planètes sur la lune. Si l'on nomme P la masse d'une planète ; X , Y, Z, ses coordon- nées rapportées au centre de la terre ; f sa distance à ce centre ; il est visible par le n°. 1, que la valeur de Q sera augmentée -par l'action de P , de la quantité _ P.(xX+yY+zZ) P f3 V (X—x)* + (Y—yf + (Z—z)* ' ou Soient X', Y' ', Z' les coordonnées de P , rapportées au centre du soleil , x', j', z étant celles de la terre ; on aura X = X'—x',r Y==Y'—f'i Z=Z'—z'; ce qui change la fonction précédente dans celle-ci , P \.P.r* , (X'x + Y'y + Z'z - xx- yy>- z z'}' -__+,.^:_ _ +&c. Prenons pour plan fixe , celui de l'écliptique , ce qui rend z nul} et nommons R le rayon vecteur de la planète P , projeté sur ce plan ; U l'angle formé par cette projection , et par une droite fixe prise sur le même plan ; et S la tangente de la latitude héliocen- trique de P. Nommons encore r le rayon vecteur de la terre ; v l'angle formé par ce rayon et par la droite fixe ; on aura /= V R\(i-ïSS) + r'*-~ *Rr.cos.(U— v). La partie de Q relative à l'action de P sur la lune /sera donc P_ j.P.fi+ss] , {R.cos (y — U) — i>.co».(v— v') + RsS}* f ^ 264 MECANIQUE CELESTE, . ou en négligeant le carré de S, P P.(i—2s*) {^R1 .cos.(3.v-zU)-\-r"i.cos.(i.v-2v' )— zRr'.cos.(2v-U~v')} J+ WTS + ' ^T „ R.sS.(R.cos.(v— U) — r'.cos. (v— V')\ . + 3P- i —ÏJ> i—U + icc P Le terme — ne renfermant ni u, ni v , ni s; il n'entre point dans ■ p les équations (L) du n°. 1. Le terme — — - donne par son déve- loppement, une fonction de la forme JL.. {L ^(°) + ^) .CQS. (U—i>') + ^ -COS, 2 (U — 2+^<'>.cos. (U— «O+.^fW.cos. *.(U— v) + &c.} 2h*u3 De-là il est facile de conclure , par les nos. 9 et 10 , quUl en résuit© dans l'expression de au, la fonction , _. , ( A^.cos.U— rrî).v A^.cos.i.iï—m^.v idW.'èos.r.'fi — m).v ) — -P.aW — 1 - - — 1 . \ + &c.<; (.1 — im1— (1— m)3 i-{m2— 4.(î-m)a î-ïra'-g^-w)' > i étant le rapport du moyen mouvement de P à celui de la lune. De-là résulte par le n°. 15 , dans ndt, la fonction 3 f^CO.cos.(£ — m).v ^»3.cos.?.(i — m).v JW.cos.^.Çi — m).v | F'a •(7^{m;— (i-m)^"1" 7^- {m*— j . (i— m)« + lr_im»_g.(i_»i)ï + C'J' et par conséquent dans tz£-H , la fonction 1 t — —^—4-- = — + - fe-l i- 4- &C }. i—m {i—{m*-(i-my 1— |m2— 4.(1'— m)* i-im'-g.^)' J Or on a par ce qui précède, — — = m1 , m' étant la masse du soleil ; la fonction précédente devient ainsi , P m* -'* a °. ,\A^\sm.{i-rn).v \.A^).sm,z.{i-m)-y f^œ.sin.3. (i-m).v « \ ^ ' l__m [ i-{m*-(i-my + i-lm*-ï{i-my+ 1-lm>-9.(i-jny + &C" J **> Dans SECONDE 'PARTIE, LIVRE VII. 265 Dans le cas d'une planète inférieure à la terre; on a, en nommant a. le rapport de la distance moyenne de la planète au soleil, à celle du soleil à la terre; et conservant les dénominations du chap. VI du sixième livre , a5.^ — b,}1); a".iW = J,W; d\^ = è,W 5 &c. ; L l S. ce qui cliange la fonction (^) dans celle-ci, — .m" p5C°.sin.(£— m).v ±.bLW.sia.a.(i-m).v fè,C3).sin.3.(j-m>v 1 m' \l 1 ! + _J: h&c l-f/J) ■— -.^—im^i-m)» i-im^.^™)1 i- |m*-9.(f-m)> ' j " dans laquelle on peut prendre pour (i-m).v, la longitude moyenne de la planète, moins celle de la terre. Relativement à une planète supérieure , « exprime le rapport de la moyenne distance de la terre au soleil , à celle de la planète ; ainsi l'on a ce qui cliange la fonction (^),dans celle-ci,. P m% a? (b^'ï.sin..(i-m).v {.b,W.sin.2.(i-m).v y.6^3\sin.3.(i-m).i/ ") la m )± j l |__ L&c l (O -'.i-fma-(î-m)* i^{m*-4.(i-m)i î-fm'-g {i-mf P ; -m Ce sont les seuls termes sensibles qui peuvent résulter de l'action directe de la planète P sur la lune, tMais l'action du soleil sur la lune, peut rendre sensibles, dans le mouvement de ce satellite , les perturbations du rayon vecteur de l'orbe terrestre, dues à l'action de P sur la terre, et y produire des inégalités du même ordre , que celles que nous venons de con- sidérer. Pour le faire voir, considérons le terme — qui parle 2/r* .v? J r n°. 6, fait partie delà seconde des équations (Z>) du n°. r. Soit P , .cos.(i — m).v K^.cos.2.(i — m).v JiT^Xcos.^ (/ — ni) v 2 m ' f KCO.Cos.(i — m).v JfW.cos.2.(i — m).v AW.cos.3 (1 — m) 0 ~\ '■(i_im»_ (i-m)1 1— >*— 4.(f— mf 1— {m2— 9.(1-777)"- C'j' et par conséquent par le n°. 15, dans nt+i, la fonction 3ms P (K(0.cos.(i-m).v \.K&.cos.n.(i-m) v \.KV~>.cosA.(i-m).v „ "1 _ i ! v ' - .J * v I ' +&C WD} ï— m'77î''ti — |m2-(£— m)2 1— {m*— 4.^— mf i—{m*—$.{i~my "JA ' fonction du même ordre que celle qui résulte de l'action directe des planètes sur la lune. Nous allons déterminer ces diverses iné- galités , pour Vénus , Mars et Jupiter. Relativement à Vénus , on a par le n°. 23 du sixième livre, et = 0,72333230; V°} = 9,99*539» 6,V? = 8,872894 ; £« = 7,386580; bà3). tF 5»95394°i SECONDS PARTIE, LIVRE VII. 267 d'où l'on tire par les formules du np. 4g du second livre , b^ = 85,77422; ftjÇ.J == 83,40760. Les observations donnent i — m — 0,0467900; en supposant donc comme dans le n°. 22 du sixième livre , P 1 m' 383130 ' la fonction (B) réduite en arcs de cercle, devient + 1 ",781706.3111. (i — m).v + o ",746665 -sin. 2.(1 — m).v + 0^,40 5751- sin. 3 . ( i — m) • v &c. Ce que nous désignons ici par —r, est désigné dans le n\ 29 du a sixième livre , par Sr" ; ou a donc par ce n°. , en vertu de l'action de Vénus , «JV — = 0,0000015553 a — 0,00000600 1 2 . cos. (i — m) . v + 0,0000171431 -cos. 2.(1 — m).p + 0,0000027072 .cos. 3. (i — m).p + &c. La fonction (Z?) réduite en arcs, devient ainsi, + i",38524i.sin. (i — m).p — i",9gi770.sin. 2.(1 — m).p — o",2 12054. sin. 3 .(i — m).v &c. Eu la réunissant à la précédente , on a pour les inégalités lunaires dues aux actions directe et indirecte de Vénus sur la lune, + 3 ", 1 66947 . sin. (i — m) . v 1 — 1 ", s'4'5 1 o 5 . sin. 2 » (i -si m), p + 0Vg3.6g7.spaa? 3 -(i — m) .p &c. R faut par le n°. 44 du sixième livre , augmenter ces inégalités . dans le rapport de 1,0743 à l'unité. Ll 2 268 MECANIQUE CELESTE, Relativement à Mars , on a par le n°. 23 du sixième livre, a. — 0,65630030; bp = 6,856336: ^iCO 7= 5>727893 2 b^ == 4,404530: 2 £jC33 = 3,257964 &c. d'où l'on tire bf* = 38,00346; 2. b,o:> = 36,20013. Les observations donnent i — m = — 0,0350306 ; en supposant donc comme dans le n°. 22 du sixième livre , P 1 m! 1846082 ' la fonction (C) devient — o ",090054. sin, (i — m).v — o",03 4753. sin. 2 .(i — m) . v — o",oi7234.sin. 3 .(i — m).v &c. On a ensuite par le n°. 2g du sixième livre , en vertu de l'action de Mars, — - = — 0,0000000/178 + 0,000000 5 487. cos. (i — m).v + 0,0000080620. cos. 2.(7 — m).v — 0,0000006475 .cos. 3 .("i — m).p m, &c. La formule (Z?) réduite en arcs devient ainsi , + o",i6goi2.sito? (i-^rli)^ + 3 ",246244. sin. 2. (i — m).v — o",o67 139. sin. 3 .(i — m).v &c. SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 269 En la réunissant à la précédente , on a pour les inégalités lunaires dues aux actions directe et indirecte de Mars sur la lune, -4- o",or]Bç)!j8.sm. (i — m).v -4- i",20i4gi .sin. i.(i — m).v — o ",084373 .sin. 3 .(i — m).i> &c. Il faut par le n°. 44 du sixième livre, diminuer ces inégalités , dans le rapport de 0,725 à l'unité. Relativement à Jupiter, on a par le n°. 23 du sixième livre, a. = 0,ig22646l ; 5jCO = 2jl7646o ; &2CO — 0,619063 ; 2 b^> ='0,1481985 2 b^ == 0,0324395 2 Sec. d'où l'on tire b^ = 2,51906 5 1 bfi* = 1,13310. Les observations donnent i — m = — 0,0684952 ; en supposant donc, comme dans le n°. 22 du sixième livre , P 1 m' 1067,09' la fonction (C) devient — o ',217257. sin. (i — m).v — o//,o2638o.. sin. 2.(1 — m).v — o",oo3936.sin. 3 .(i — m)-v &c. On a par le n°. 29 du sixième livre , en vertu de l'action de Jupiter, Sx' —r = O.00O0O II ([8l a ' ' -+• 0,0000159384. cos. (i —m).v — o,ooooogog86.cos. 2.(1 — m).v — 0,0000006 5 50. cos. 3 . (i — m)-v &c, s7o M ECANIQUE CELESTE, La formule {D) réduite en arcs, devient ainsi, + 2 ",5 19556.3^1. (i — m).v — o",72g^6o.sin. o..(i — m).v — - o ",03 5879.sk). 3 .(i — m).v &c. En la réunissant à la précédente , on a pour les inégalités lunaires dues aux actions directe el indirecte de Jupiter sur la lune, -1- 2 ", 3 o 2 2 g g . sin. (i — m) . v — o ",755940. sin. 2.(1 — m).v — o",o3g8i5 .sin. 3 .(i — m).v &c. Si l'on prenrl avec un signe contraire, toutes ces inégalités résul- tantes de l'action des planètes sur la lune ; on aura les inégalités que celle action produit dans l'expression de la longitude vraie de la lune; on pourra donc les réduire en tables , en observant que (i — m).p peut être supposé égal à la longitude moyenne de la planète , moins celle de la terre. Il seroit utile de les employer dans les tables de la lune , vu la précision à laquelle ces table* ont élé portées. P.A^ . . 1 /dQ\ Le terme — de J expression de — — .1 , donne dans 4ft2.u3 * h* \du J' l'équation (L') du n°. 9, le terme — . e. cos. ( cv — iz ) ; d'où il est facile de conclure que la valeur de c est diminuée par l'action d'une planète inférieure à la terre, de la quantité p m % et par l'action d'une planète supérieure , de la quantité m' - ,3 -r m .U la quantité Pareillement, le terme — — - donne dans l'équation (L') du n°. g, gro'.z/3.— , e.cos. (cv — &) ; 2h*.u3 SECONDE PARTIE, LIVRE VII. a7i — - étant ici la parlie constante des perturbations du rayon vecteur de l'orbe terrestre, donnée par le n°. ag du sixième livre j la valeur de c est donc par-là , diminuée de la quantité 4 a' Il est facile de s'assurer que toutes ces quantités sont insensibles. Considérons présentement les perturbations du mouvement lunaire eu lalitude. La somme des termes qui font partie de la troisième des équations (L) du n°. 1, acquiert par l'action de P , la quantité -.P. s iP.Rr'.S.cos. (v~v') — ?P.R"- S. cos. (v—U) zhW.f3 h\u*.fb Cetîe fonction contient relativement à une planète inférieure, le terme _.f..P.J.{..^-^op.sin.(>_ô;. a. étant l'inclinaison de l'orbite de P à l'écliptique, et 9 étant la longitude de son nœud ascendant. II en résulte dans 5, pour une planète inférieure , l'inégalité 8 771 — - — -.h.sm.(p-Q) pour une planète supérieure.., cette inégalité devient P »-.— .JÎt*.|A,w— *ôf — 6j. s—1 En réduisant en nombres ces inégalités, on a en employant le; masses du n°. 44 du sixième livre; relativement à Vénus , + o",8532o,6.sin. (p — S')- relativement à Mars , — o",o 1 6966 . sin. (p — S'") j i/a M E 0 À N ï Q TJ Ë CELESTE, et relativement à Jupiier, — o", 1 1 70 5 ï . sin . (v — Q'v) ; fi', S"', et fllv étant les longitudes des nœuds ascendans des orbites de Vénus , Mars et Jupiter. Enfin , il est aisé de voir que la valeur de g est augmentée par p l'action de P, de la quantité {. — ,/rca6j<0), relativement àunepla- P nète inférieure à la terre, et de la quantité f. — .wz3.*3. &3(0), rela- m livement à une planète supérieure. ym'u3.s . . . . ■ ■■ Le terme — — — r , qui par le n°. 11, fait partie de la troisième des équa'.ions (L) du n°. 1 , augmente encore la valeur de g-, de la q m - c r a r quantité —- -.— — ; —7- étant la partie constante des perturbations du rayon vecteur de l'orbe terrestre. Ainsi, la valeur.de g est augmentée par Faction des planètes , de la même quantité dont cette action diminue la valeur de c. Mais ces quantités sont insen- sibles. L'action directe de P sur la lune , introduit dans l'équation (Z/) du n". 9 , une quantité de la forme M.^.m'e" +M'.P-7.m\e'e" +M" . — .m\e'*i m m m e" étant le rapport de l'excentricité au demi- grand axe , dans l'or- bite de P. Il en résulte dans la longitude moyenne de la lune , une équation séculaire analogue à celle que nous avons trouvée dans le n°. 15 , égale à — L.m*.f(e'>— E«).dv. m' .u'3 Celle-ci résulte du développement du terme — - — - ; elle est 111- * 2 n'a3 comparablement supérieure à la première, à cause du très-petit P . . . .... facteur — qui multiplie celte première équation. Ainsi, l'action m indirecte de la planète P sur la lune , transmise par le moyen du soleil , l'emporte de beaucoup à cet égard , sur son action directe que l'on peut négliger ici sans erreur sensible. CHAPITRE SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 273 CHAPITRE IV. Comparaison de la théorie précédente avec les observations. 2Ô. Considérons d'abord les moyens mouvemens de la lune, de son périgée et de ses nœuds. L'expression de la longitude moyenne de la 'une, en fonction de sa longitude vraie, renferme par le n°. 15, l'inégalité séculaire par conséquent , l'expression de la longitude vraie en fonction de la longitude moyenne , renferme l'inégalité séculaire — L.m\f(e'* — E'*).ndt. Si l'on représente par t , le nombre des années juliennes écoulées depuis 1750, on a parle n°. 44 du sixième livre, 2e' = zE' — t. o",53o224 — fa.o,ooooû io474; d'où l'on conclut l'inégalité précédente, égale à 3 i",4a47 57 . ia+o",o572i742 . i3; i étant le nombre des siècles écoulés depuis 1750. Les observations avoient fait reconnoître cette équation séculaire, avant que la théorie de la pesanteur m'en eût expliqué la cause. 11 est certain par la comparaison d'un grand nombre d'éclipsés observées par les Chaldéens , les Grecs et les Arabes, que le moyen mouvement de la lune s'est accéléré depuis les temps anciens jusqu'à nos jours, et que son accélération est à très-peu-près celle qui résulte de la for- mule précédente. C'est ce que Bouvard a mis hors de doute, par la discussion approfondie des éclipses anciennes déjà connues et de celles qu'il a extraites d'un manuscrit arabe d'Ibn Junis. On a vu dans le n°. 16 , que le mouvement sydéral du périgée lunaire conclu de la théorie précédente, ne diffère du véritable, que de sa cinq cent soixantième partie. Suivant celte théorie , ce Mie an. cél. Tome 111. Mm 374 MECANIQUE CELESTE, mouvement est assujéti à une équation séculaire égale à — 3,00052.^ k étant celle du moyen mouvement de lalune;en sorte que l'équa- tion séculaire de l'anomalie, est 4,00052. £, ou à très-peu-près, quadruple de celle du moyen mouvement. La théorie de la pesan- teur universelle m'a fait connoître cette équation , et j'en avois conclu que le mouvement du périgée lunaire se rallentit de siècle en siècle , et qu'il est maintenant plus petit d'environ quinze minu- tes par siècle, qu'au temps d'Hypparque. Ce résultat de la théorie a été confirmé par la discussion des observations anciennes et modernes. On a vu dans le n°. 16 , que le mouvement sydéral du nœud de l'orbite lunaire sur l'écliptique vraie, conclu de l'analyse précé- dente , ne diffère pas du véritable , de sa trois cent cinquantième partie. L'équation séculaire de la longitude du nœud est, par le même n0., égale à 0,73 5452. £. Les anciennes éclipses la confir- ment encore. , 2,4. Considérons présentement les inégalités périodiques du mouvement lunaire en longitude. Pour comparer aux observa- tions, celles qui ont été trouvées précédemment par la théorie; j'ai regardé comme autant de résultats de l'observation, les coëffi- ciens des dernières tables lunaires de Mason , et des nouvelles tables de Burg. Les coëfficiens des tables de Mason ont été déter- minés par la comparaison d'un très-grand nombre d'observations de Bradley : ceux des tables de Burg l'ont été au moyen de plus de trois mille observations de Maskeline. Ces tables sont disposées d'une manière assez commode pour les calculs, et qui diminue le nombre des argumens, en les faisant dépendre les uns des autres. Voici le procédé qui résulte de celles de Mason , pour avoir les équations de la longitude vraie de la lune , procédé que j'ai déve- loppé en série de sinus d'angles croissans proportionnellement à v. On forme d'abord les termes suivans dans lesquels je compte les anomalies > du périgée. SECONDE PARTIE, LIVRE VIL m Coëfficiens des tables de Burg. — 2073 ",46- • -a l8",Ç2.. + i66",36.. + 236",ii-- — i78",4o.. + i4gos",87.. + 109", 26.. + 384",57.. + i46"j9i.. — 66 ",05.. — i8o",86. . + iga',90-- +. 3 5V9- + I 5 % ! 2 • - — l4",20. . — 32,72- - ^9",75- - 27^16. Coëfficiens des tables de Mason. — 2063 ",58. sin. (anom. moy.©) — 27"347 • sin.(2 . anom. moy. ©) ,, . /2.1oïi2.rnoy. C — 2,.long.vraie.©\ ' 71 \ + anom. moy.O ) „, . /2.1oii2.moy. .sm. ° J ° V } \ — anom. moy. C —anom.moy.©/ + I2g",63 .sin. (anom. moy. C — anom. moy. O) — 70" 06. sin (lon& m°y- C ~" long' vraie' °\ ' ^ ' * \ — anom. moy. C ) „ r . /2.1ons.moy. C — 2.1ong. vraie. ©\ — 177,16. sin. & J „ ° ] ' ' \ — 2 . anom. moy. C ) 0„„ . . ta.. Ions. moy. du nœud de l'orbe\ 86 ,42. sin. ( , • . -i • rs ] \1 unaire — 2 . long, v r aie . O } + 1 + < a" 47 . sin/ long- moy* C "~ lon§- Vraie " °\ \ + anom. moy. O J + 9">57-sin long. moy. C — long, vraie . O /loi anom. moy. © ) 1 1" 4a.sin/a,ïong,moy' C -2-lonS-vraie-0\ \ +2. anom. moy. £ j 38",27.sin/4-long-moy- C -4-lonS-vraie.©\ J ' ' \— anom. moy. C / /2.1ong.moy. C -2.long.moy.du> %long.moy. C — i.long.vraie.©^ anom. moy. C ^ongmoy.C-^long.moy.duN ./ ?t-t ynoeud lunaire — 2. anom. moy. C / „ . /2. long. moy. du nœud lunaire\ *1' \ — 2.1ong. vraie. © + an. moy. C / Mm 3 — o ,00. sin. + o",oo + (3 .an + 2.] ') 276 MECANIQUE CELESTE, Coëfficiens des Coëfficiens des tables de Mason. , g// n ■ {2. longitude moy. du nœud lunaire \ — a . long, vraie. © — anom. moy. C + 23 ",765 .sin. (long. moy. du nœud lunaire ) + o",oo.sin/2'long' m°y-c — 2-lo«g- vraie. 0 \ — 2. anom. moy. Q (long. moy. C — long, vraie.© + anom. moy. Ç anom. moy. C — 2. long. moy. C long, vraie.© (2. long. moy. C —2. long, vraie-© + anom. moy. (T +anom. moy. © » / 2. Ions. moy. Ç — 2. long, vraie.© + o joo.sin.l ° : •> & \ +anom. moy. ([ — anom. moy. O i.long. moy. C — 4. long, vraie.© 3 .anom. moy. £ / 2. long. moy. C — 2. long, vraie-© \ — 2. anom. moy. C +anom. moy. © long. moy. C — long, vraie . © \ anom. moy. C + anom. moy.©/ tables de Burg + 2l",30... + 2o//,987.. + 8>2.. — S'^os . . + 6",48.. + 6V9.. + 4",oi.. + 3",39-- + 3";70--. + 3^39- ■ . / 4. long, mo + o ,00. sin. I ° \ — 3 . anom. + + ) 0) o0) ) l) o ,oo.sm.( On ajoute la somme de tous ces termes , à l'anomalie moyenne de la lune , à laquelle ou ajoute encore la fonction *d donnée par l'équation Suivant Burg. ^4. = — 4i27",47. - 33%95- Suivant Mason. — 4oi8",52.sin. (anom. moyen. ©) — 43",2i .sin. (2. anom. moy. O) 5 et l'on a l'anomalie corrigée de la lune , au moyen de laquelle on forme les termes suivans , Burg. Mason. + 70037^67 +70o47",24.sin. (anom. coi-rigée. C ) + 23g6",3o + 2 3g8/,',og.sin. (2. anom. corrigée. C ) + + "5 >12- 6',i7. + 1 i4"i7 5 -sin. (3. anom. corrigée. suivant, Burg, et par — 2 59", 5 6 , suivant Mason ; ce qui donne une nouvelle inéga- lité que l'on ajoute aux inégalités (-M), (iV"), (P). Enfin, on ajoute cette même inégalité, à la distance précédente de la lune au nœud corrigé, pour former l'argument de latitude, et l'on multiplie le sinus du double de cet argument par — 12 5 5 ",56, suivant Burg, et par — 1258", 34 , suivant Mason ; ce qui donne l'inégalité nommée réduction à l'écliptique , qui doit être ajoutée à toutes les inégalités précédentes , pour avoir la longitude de la lune , comptée de l'équi- nose moyen du printemps. Il faut observer ici que les longitudes moyennes de la lune et de son nœud, et son anomalie moyenne, doivent être corrigées par leurs équations séculah es. J'ai conclu de ce procédé, l'expression suivante des inégalités périodiques de la longitude moyenne de la lune, développée en fonction de sa longitude vraie comptée sur l'écliptique 5 ce qui exige une attention particulière pour n'omettre aucun terme sen- sible : j'ai négligé les inégalités au-dessous d'une seconde. JJne zf6 MECANIQUE CELESTE, partie des inégalités de cette expression , résulte du développement seul de la formule que donne le procédé des tables de Mason , que je viens d'exposer; en sorte qu'elles ne peuvent point êlre considé- rées dans ces tables , comme des résultats de l'observation. Pour les distinguer, j'ai marqué d'une astéristique , celles que Mason a déterminées parla comparaison des observations de Bradley , et qui toutes ont été déterminées de nouveau par Burg, au moyen d'un très-grand nombre d'observations deMaskeline. Je donne d'abord la grande inégalité du premier ordre; ensuite, les cinq inégalités du second ordre ; puis , les quinze inégalités du troisième ordre ; ensuite , toutes les inégalités du quatrième ordre et d'un ordre supé- rieur, qui ont été comparées aux observations; enfin, toutes les autres inégalités. Je place à côté, les résultats de mon analyse, et leur excès sur les coëfïiciens déduits des tables deMason. Dans une quatrième colonne, je donne l'excès des coëfficiens des nouvelles tables de Burg, réduites à la forme de ma théorie, sur ceux des tables de Mason. Burg ayant conservé à ses tables, la forme de celles de Mason qui lui-même avoit adopté celle des tables deMayer; il suffit, pour les réduire à la forme de ma théorie , d'appliquer aux coëffi- ciens des tables de Mason, ainsi réduites , la différence prise avec un signe contraire , des inégalités correspondantes dans les deux tables primitives. Les fonctions ^4 et B , sont un peu. différentes dans ces deux tables; j'ai eu égard à cette différence. J'observerai sur cela , qu'en introduisant dans les tables primitives, une inégalité pour la longitude, dépendante de sin. (anom. moy. C -fanom. moy. ©)> et pour la latitude , une inégalité dépendante de sin. (arg. de lati- tude-!-anom. moy. O) , et en changeant convenablement les coëffi- ciens des inégalités dépendantes de sin. (anom. moy. ' — 14449", 19. + 2G75",7i, + i2 56",47, — 33V9- + i88",67. — 69V 6, + 4 5o",56. + 44",77. — 4«',37- + 67",n. — 635,/,o9l 2ii",84. 36o",5o. sin. sin. sin. sin. sin. (7Cp—.2*r)* + l442",66. (iv — 2mv)* — 5856",]!.. (iv — 2mv — cv+*r)*. • > • — i446i",28.. (c'mv — &')* + 2io6",09. (igv — 2Q)* -h 1255";92« Inégalités du troisième ordre. + + sin. sin. sin sin. sin, sin sin. sin. sin, sin sin (îcv — 3-b-J *....- — (2gV — CV 2 9 + "»•,)*. . • • + , (lgV-\-CV 29 vr)***. . . (iv — 2mv+cv — &)*... + (6. 2I( .11. +.15 »95v + i8*,59.. — i2",og. . + 3o",38.. -o",55-- - *V5 + i6',ig - 1^,70 + 3",02 - *",71 + 6",21 + 7",8î - p';i7 + 7"527 - i",68 — a9",4o + » ,79 - i",8ç ~ 3>> + 9"?88 - o",47. + o",gj + 0>0 + o",oo + 6", 17 - 3 ",70 - 3V0 - 3",39 + 5",tf + 2 ",37. - 3>> (1) Le coefficient de cette inégalité e3tune des arbitraires de la. théorie, et je pense qu'à cet égard, il convient d'adopter le résultat de Bnrg. 2So MECANIQUE CELESTE, Inégalité* déduites des Coëfficiens de %£%%£$: ffâk'VÏÏfâÏÏ tables de JMasOn. ma théorie. duits des tables de Barg,snr ceux déduits Mason. des tables de Mason. 4- 1 7 2" 2%. sin. Cagç — 2v + 2mv — 2Q)*. . . + ïjk'flï. '. . + 3*46... + 6",48 + a7",47.sin. (ic'mv — 2™')* + ^i",2f... + 3^,78 . - . — 8",95 + 360 ",12. sin. (v — mv)* + ^6",^S6.(iH) + i7",59 — 58",5o.sin. (v — mv+c'mv — -*')*. . . — <)8\o^.(i + i) + i6",g8. Inégalités du quatrième ordre et d'un ordre supérieur , qui ont été comparées aux observations. — i/',o3 .sin. (iev — &-&)* ...... , + o",09 — 6", 10. sin. (zgç — 2 cv — 2 9 + a«rj* 4- o",3i + 3^,765 ■• sin: (gv—v— 9; *..... + 17V35, .'"... — 6",63... —£",778 — ■ 2i",67.sin. (iv — ynv)* v + ^",86 + îy^joL-siri. (iv — kmv)* + 4",63 + 2 ",3 8. sin. (cv + 2 c'mv — -b- — 2^')* — o",5X ■ — 2",38.sin. (cv — 2c mv — ^+2^')* 4- o'^i — 27",4g.sin. (2cvJr2v — 2mv — 2<&)*... — ^"503 + i",66... + 2",78 + 89",34.sin. (kv — bmv — cv + ^)* +io3",oi +'13 ",67.'.'. + 5 ", 5 5 + 46",7g.sin. (kv — bmv — 2cv+2 + 3 *•,) **" — 3 ",39 + i'\o/Sc.sixi.(acv-2v-\- 2mv-c'mv-2^+^' )** — o",y6 — 3",8o... + 3",70 + 4",o<| • sin.(cv — v + mv — c'mv — &■{■<&')** . .; + 3 ",39 + \C)\r]5.S\Ta.(2CV-2V+2mV+c'mv-2'V:-1z')**:* + I8*Ji5 "~~ x "> 5 7 — ■ 3",73 -sin. (iv — btnv + cv — &)*** + ô", 15 6 . sin. (kev — 4^H-4mf — 4-3I-J*"** — i2",o6.'sin. (2v — 2mv + 2gv — 2 6) ***" d= 3//,36.sin. (zgvàzc'mv — 26^6)*** l",03 .sin.(2gV-\-2CV-2V+2mV-26-2'&)*** =i= 6'',26.sm.(2gv-2v_l-2mv^c'?rJ-F-2Q=pa')*** Inégalités SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 281 Inégalités du quatrième ordre et d'un ordre supérieur, déduites des tables de Mason , et qui n'ont point été comparées aux obser- vations. T , ,.,, „, . , _..„..•,-, Excès Je ces coëflî- Inegautes déduites des Coerhciens de ciens sur ceux dé- tables de Mason. ma théorie. MuiÔn." UbleS *" + 15^32. sin. (icv — c'mv — 2^+w'j. . . . . + i3",89 — 1"/iî — 8",ji .sin. (zcv + c'mu — 2 -s- — <&') — 9">75 — i',o4 + i4",52.sin. (iv — tïmv — cv — c 'mv + ■■s- + -s ') — 1 3 ",78 . sin. (ZV 2mv + 2gV CV 2lJ + Tt) — 1 ",18. sin. (zv — -2mv — 2gi> + zcv + 20 — 2™) + 5 ",9g. sin (tkv — kmv — zcv+c'mv+z^ — °5 avec beaucoup de précision, par la théorie : on n'a point à craindre à son égard, l'incertitude que le peu de convergence des approxima- tions laisse sur les coefhciens de la plupart des inégalités lunaires j et comme elle est liée à l'applatissement de la terre , sa détermina- tion exacte parles observations , mérite toute l'attention des Astro- nomes. Il résulte sans, aucun doute , des valeurs que Mason et Burg SECONDE PARTIE, LIVRE VIL a83 lui ont assignées, que la terre est moins applatie que dans le cas de l'homogénéité; ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé par d'autres phénomènes, dans les livres III, IV et V. 0,5. Considérons présentement , le mouvement de la lune en latitude. On le détermine par les tables de la manière suivante. Si l'on nomme longitude corrigée de la lune , la longitude moyenne à laquelle on applique toutes les inégalités, à l'exception de la réduction ; la latitude de la lune est égale à * ■ Burg. Mason. + 57163 ",03.. . -f-57i74",4o.sin. (argument de la latitude) — 1 $",43 ... — 3 3 ", 5 8 . sin. (3 . arg. de latitude) , c, iic,r 1 r "oc ■ /s.longit. corrigée .. . + 11',4-sin À-long corrige -a.long.vraie.©\ \ — arg. de lat. — anom. moy. © / no , Cit • /a.long.corrig. C— 2.1ong.vraie.©\ + 6,7g... + 6,7q.sm. ° , , * ° y] u lu \ — arg. de lat. + anom. moy. C / . „ , , „ ■ /arg. de lat. -fan. moy. C — 2.1ona. \ •f 40 ,07 . . . + 49 ,07 . sin.l & . , J ■ J . M na' ; ■? ' \comg.C +2. long. vraie.© J . r-,, . Tp» . • /arg. delat. + 2. anom. moy. C — \ + 10,05... + 10 ,05. sin. ( ° ' J. ] \2.l0ng. cor. C 4- 2 . long. vraie . ©/ — a4",69i4. — o ',00. sin. (long, corrigée. ([). En réduisant ces formules, en sinus d'angles croissans proportion- nellement àc,- j'ai obtenu les résultats suivans, Nn 2 284 MECANIQUE CELESTE, r.;œ.;.„ .J. Excès de ces coeffi- Excès îles enefficiens Tables de Mason. ^ocmciens cie c;ens sor ccux dé. a^tluits des ufcie» de matlléorie. duils des tables de Bure;. sur ceux déduits Mason. des tables de Mason. 572.34/',37-sm. (g?-**);* 5723o",8} . . . — 3 ", 5 4 . . . — n",37 (1) .+ 4<84.sm.C3^— iV* • + 38V3... — 4",o6... — i",8? + 1627" ,i-$. $iu.( 2 v — imv—gv -h 8)* + i62i",og... — 6",o4... + o",oo ;+ s/;,i6.sin. (-XV — amv-hgv — S) + 3",.i .sin. (gv — cv — ô + ^;* + 6i",27... + o",o6... + o",oo '.+. 66",86. sin. (gv+cv— 2v -Yimv—8— *)* + 66",66... — o",so... + o",oo — 2 ",61. sin. ('iv — imv+gv — cv — 9+^J. — 4",28... — t ",67 . . . -f- o",oo + iS",4ii.sin.(-2v—imi>—gv+cv+Q — •?.)* + ic/',^... + 1 ',5 1 . . . -f o",oo + 76*^0. sin. (gi> + c'mt>— 9 — *-')* + 7 5 ", 1 4 . - - — 1 ', 3 6 . . . — i",66 — 86>7 . sin. (gv — c'mv — 9 + »'; * — 8o"5o6 . . . + 6",o 1 . . . + 1 ",66 — 2,<)",ii. s'm. (2v-2mv-gv-\-c mv + Q-™' )* — 3 1 ",47. . . — 2 ",26... — o",oo + 68",4o.sin (-iv-iinv-gv-c mv \ 9 + ™')* + 6q",iq- . . + o",7g... 4- o",oo + 79",^6. sin. (-icv — gv — zv + Q)*. . . . -)- 84",57... + 5 ", 1 1 . . . + o",oo -f l}",lj.SÏÙ.('2CV + gV-2V + 2.mV-2'V-Q)* + l'\ ' \ — anom. moy. O / (2. long. moy. C — 2. long, vraie. 0\ 4- anom. moy. C J + n5",i2... +iM//)^-cos/2-long-m0y-<î72-loriS-vraie-0^ ' \ — anom. moy. C J , „ / i . long. moy. c — 4. long, vraie. ON + 0,03... + o,93.cos.( rr ) '^ ,i}J \— 2. anom. moy. C J „ „ A. long. moy. C — 2. long. vraie. q\ + 3,oq... + 3 "og.COS.I & rr , ^ J ' J J 7 r \ — anom. moy. C +anom. moy. QJ + ,',85.,. + 1^,C0Sh^ng.moy.l-2Aong.yraie.Q\ 1 ' ' ; \ — anom. moy. C — anom. moy. O/ c8S MECANIQUE CELESTE, Burg. Mason et Mayer. -f o//,62... -f o ",62. cos. (anom. moy. Ç — anom. moy. q) + ô»,62... + o"362.cos/,0nS-ni°y-([-lonS-vraiG-©\ \ — anom. moy. £ ) , a» i l a» /2. long. moy. C — 2. long, vraie. q\ + 6,t7... + 6, 17. cos. 0 j & ^\ ' \ — 2. anom. moy. C / + i<>3... + .^ os/2 -long. moy. du noeud lonaire\ J ' \ — 2. long, vraie. Q / + 578",og. . . -j- 57p/'j32-cos. (anom. corrigée. C ) -h 3o",S6. . . + 3o",86.cos. (2. anom. corrigée. € ) -+- o",62. . . +o",93 .cos. (3 .anom. corrigée. <[ ) + 8o",2Ç... + 8o",25 -cos. (2.1ong. corrigée. C — 2. long, vraie.©) 3 ",09 ... — 3 ",09 . cos.(iong. corrigée . C — long, vraie . O) -f o",62... + o",62. cos. (3. long, corrigée. C — 3. long, vraie. O) v , „ . ( distance vraie de C au nœud\ — 2,47... — 2, 47. cos. . , ' ' \ — anom. corrigée, C ) Pour avoir la parallaxe horizontale à une hauteur quelconque du pôle, Burg suppose l'ellipticité de la terre, — : Mayer la suppose 330 . Je la supposerai conformément à la détermination du n°. pré- 230 1 cèdent, — . On multiplie ensuite les coëfficiens de cette table, par 3°i l'unité moins le produit de l'ellipticité de la terre par le carré du sinus de la latitude. Cela posé, on a pour la parallaxe horizontale de la lune à l'équateur , réduite en cosinus d'angles croissans pro- portionnellement à l'angle v , COëfficlenS de Escèa de ces coëffi- Excès des coëfficieas Mason et Maver. vna )I,in»,'o ciens sur teai îles de Burg sur ceux de ,7 , • ciens sur ceux u ina théorie. labies de Mason. Ma son. + ioG24",8i* +io58o>3... — 44^8... — >a*io + 5 8 1 ",66 . cos. (cv *** in) . . . > + 579'7,26... — 2",4o... — i",23 — i",6i .cos. (xcv — 2™) + o",ô3... + i",64... + o",oo — °"j95 -'g®8» (lcv -** 3*J ••• > + o",oo + ©",30. cos. f4cf — 4 *j * + o",oo + 74",8x .cos. (îu — imv) + 76V8... + 1 ", 3 7 . . . + o",oo + 1 1 S", 5 5 .cos. (2p — 2?np — cv + *r)..... + ii7",62... — o",93 . . . + o"5oo SECONDE PARTIE, LIVRE VIL &«7 Coëfliciens de Excès de ces cocK- Excès de« coëfliciers Masoa et Mayer. m. ,!,/„.;. ??"* s,uv «°x de5 JfBurs sur ceuxde ^ ma ineone. lablcs de Ma-on. Mason. — 3",6a . cos. (2v — 2mp + cu — v) — a",iti 4- i", — imv — c'/raf + 'sr'j 4- 5",o6 — o',n... 4- o ,oo — o",93 .cos. (c'mp — &' ) — - l"i01> — o", io. . . -f- o",oo — o",28.cos.('2f — imv — cv + c'mv + 'n — ^') - — o",68 — o",4o... + o",oo 4- s;",22.cos.('2f — "2-mv — eu — cW+f +«'J 4- î"p^ — o",iS... 4- o",oo — o ",89. cos. (eu -h c' mu — v — 94 MECANIQUE CELESTE, Déterminons présentement le coefficient de cette inégalité. Il est visible qu'elle doit produire un changement, soit dans l'époque des tables pour 1750 , soit dans le moyen mouvement séculaire de ces tables. Nommons e la correction de l'époque des tables en 1750 ; x la diminution de leur moyen mouvement séculaire , et y le coefficient de l'inégalité précédente. La formule de correction des époques des tables , sera en nommant i le nombre des siècles écoulés depuis 1750 , e — x. i+y.sin.£. Pour déterminer les trois inconnues s, x etjj/, j'ai comparé cette formule aux trois époques de 1691, 1756 et 1801 , détermi- nées par les observations j ce qui m'a donné les trois équations suivantes , s + tf.0,59 — ^.0,63660 = — 13 ",58 ; t — x . 0,06 4- y • 0^99898 — 0 ; «—07.0,51 4- y. 0,08 199 = — 87 ",96. Ces trois équations donnent i =— 4i%54; *=-98",6î4; Au moyen de ces valeurs , on trouve — 1 3 ", 5 8 j + o",oo; — 11 ",64; — 3 5 ",o 3 ; — ")7"fi2 5 et — 87*96 , pour les corrections des six époques de i6gi , 1756 , 1766, 1779 , 1789 et 1801. La somme de ces six corrections est — 2o5",83 ; et la somme des six corrections déterminées par les observations , est — i93",2i ; l'ensemble de ces corrections indique par conséquent qu'il faut augmenter de +2", 10, la valeur précédente de s, et alors la formule de correction des tables devient — 39",44— 98",654.i + 47",6. : . . . . - g",54 - o>8; 1779. ... — 28",og. — 32",93 — 4",84, 1789. ... — 54//,32 ~ 5 5 "5 5 2 — »",»o: 1801. ... — Sf,d6 — 85",86 + 2";1Q. Les différences entre les résultats des observations et ceux de la formule, sont dans les limites des erreurs dont ces derniers résul- tats sont susceptibles : elles peuvent dépendre en partie de la for- mule elle-même que l'on rectifiera par de nouvelles observations. 596 M ECANIQUE CELESTE, CHAPITRE VI. i Des variations séculaires des mouvemens de la lune et de la terre, qui peuvent être produites par la résistance d'un fluide éthéré répandu autour du soleil. 2û. Il est possible qu'il y ait autour du soleil, un fluide extrê» mement rare qui altère les moyens mouvemens des planètes et des satellites ; il est donc intéressant de connoître son influence sur les mouvemens de la lune et de la terre. Pour la déterminer, nommons x, y, z , les coordonnées de la lune , rapportées au centre de gravité de la terre; et x', y', z', celles de la terre, rappor- tées au centre du soleil. La vitesse absolue de la lune autour du soleil , sera i/(dx'-t-dx)i+ (dy'+dy^-f- (dz'+ dz)* dt Supposons la résistance que la lune éprouve, égale au carré de cette vitesse, multiplié par un coefficient K qui dépend de la densité de l'éther , de la surface et de la densité de la luue. En la décomposant parallèlement aux axes des x, des y et des z ; elle produit les trois forces suivantes , K.fdx'+dx) , _ ^ -V(dx' + dx)* +(dy'+dy)* + (dz' + dz)a; K.(dy'-t-dy) , : ~ ^^--VCtlx'+dxy+Cdy+djy + Cdz' + dz)*-, K . (dz'+ dz) / — -^ — -.V(dx'+dxy +(dy+dyy+(dz'+dzr- Mais la terre étant supposée immobile, dans la théorie lunaire ; il faut transporter en sens contraire à la lune, la résistance qu'elle éprouve , et qui décomposée parallèlement aux mêmes axes, donne les trois forces SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 297, 3 t dt* dz , dt* K! étant un coefficient différent de K , et qui dépend de la résis- fdO\ tance éprouvée par la terre. Ayant donc représenté par ( -h- 1 > /dQ\ /dQ\ I -7- 1 et ( — - J , les forces qui sollicitent la lune parallèlement aux axes des x , des y et des z ; on aura en n'ayant égard qu'aux forces précédentes , \ dz j dl* ' — k . (^ . /(-<&' + &*7 +( Y'0Q\ _ _i_ /£QY \ds / ' '' u '\th/'3 d'où l'on tire , - (&) - ;;(*") =i: {cos- V-Cë)+Sin- ^(f )}• On a parle n°. 2, . cas. v' sin.«' s' trente fois au moins plus considérable : on a donc à fort peu-près , V (dx + dxT + (d/ + djT + (dz' + dzf = r'dq' + ^^ + %TT. r dq r dq Si l'on néglige l'excentricité de l'orbe terrestre , on a dq' = mdt, le temps t étant représenté par le moyen mouvement de la lune. On a ensuite, dx' . dy> TJ-. — r-r. sm. vj ; -j-, — cos. v ; T dq fdq et par conséquent,, V (dx'+dxf + (dy'+dyy + (dz'+dzj*— 7na'dt—ix.si\\.v'-\-dy.cos.i>'. De-là, il est facile de conclure SECONDE PARTIE, LIVRE VIL 299 /dQ\ (K—K').m*.sm.v' yK.mdx Km dx . Km dy . \dx/ u% 2tt' dt au' dt au dt (dQ\ (K'— K) .m* .cos.v' ^K.mdy Km dx , Km dy dy J u'* su dt au' dt au' dt ' \dz)~ ~'dt' et par conséquent , en substituant pour 'x et y leurs valeurs , et négligeant le carré de l'excentricité de l'orbe lunaire , _ (Ï8\ _ î (M\ = (È. \du / u \ ds ) ■—*K).m*.sin.(v—v') ^Km.du 2U*.u' Km dv Km du , .(2V IV ) — -. --- • COS. (2V-*~?.V ) ; 2U*.u dt 2 u3 . u dt • sin. /dQ\ dv (K' — K).m*.dv , ,s ^Km 7 dv ( -7- )'.— = ; : -COS. (V V ) ; -.dv.~ \dv j u' u*.us nu'.u* dt Km dv , Km du . , , . — ; .dv. — .COS.(2V 2V )-\ ; — : . df.-— . Sin. ( 2Ç 2Cj» nu'.u* dt 2u .ub dt /dQ\ du (K'-K).m' du ■ ;\ ^Km du I — )• — r == ; — -„ — .-r-'Cos. (v — \v ) ; — -.— \dv J u'dv u*.u3 dv au .u* dv Km du ; — r. — .COS. (2P-—21P ). su .u* dv La valeur de K n'est pas constante : si l'on suppose la densité de féther, proportionnelle à une fonction de la distance au soleil; en désignant par .—. Pp s. 3oo MECANIQUE CELESTE En substituant -. {i + e.cos.fct>-). Soit donc a. = H 3 f3- j û3.|— \.m.(u') SECONDE PARTIE, LIVRE VII. 30? L'accélération correspondante du moyen mouvement de la lune , est par ce qui précède , \.H.a\a'.mt\ {z.; lisez — 2 A y>. Page 264, ligne 16, au lieu de 1 — {m'^r-Çi: — m)î;v'; lisez 1— ^m" — (î — m)** SUPPLEMENT AU TRAITÉ DE MÉCANIQUE CÉLESTE; Présenté au Bureau des Longitudes, le 17 Août 1808. ÎVX o n objet, dans ce Supplément, est de perfectionner la théorie des perturbations planétaires, que j'ai présentée dans les second et sixième Livres de mon Traité de Mécanique Céleste. En cher- chant à donner aux expressions des élémens des orbites, la forme la plus simple dont elles sont susceptibles ; je suis parvenu à ne les faire dépendre que des différences partielles d'une même fonc- tion, prises par rapport à ces élémens; et ce qui est remarquable, les coefficiens de ces différences, ne sont fonctions que des élé- mens eux-mêmes. Ces élémens sont les six arbitraires des trois équations différentielles du second ordre, qui déterminent le mou- vement de chaque planète. En regardant son orbite , comme une ellipse variable à chaque instant; ils sont représentés, 1°. par le demi-grand axe , dont dépend le moyen mouvement de la pla- nète; 2°. par l'époque de la longitude moyenne; 3°. par l'excen- tricité de l'orbite; 4°- Par la longitude du périhélie ; 5°. par l'in- clinaison de l'orbite à un plan fixe; 6°. enfin, par la longitude de ses nœuds. M. Lagrange a donné depuis long-temps, à l'expression différentielle du grand axe, la forme dont je viens de parler; et il en a conclu d'une manière très-heureuse , l'invariabilité des moyens mouvemens , lorsque l'on n'a égard qu'à la première puis- sance des masses perturbatrices ; invariabilité que j'ai reconnue le premier, en ne rejetant que les quatrièmes puissances des exceu-1 SUPPL. AU 111° VOLUME. À 2 MÉCANIQUE CÉLESTE, trichés et des inclinaisons, ce qui suffit aux besoins de l'Astronomie. J'ai donné dans le second Livre de la Mécanique Céleste, la même forme, aux expressions différentielles de l'excentricité de l'orbite, de son inclinaison et de la longitude de ses nœuds. Il ne restait donc qu'à donner la même forme, aux expressions différentielles des longitudes de l'époque et du périhélie : c'est ce que je fais ici. Le principal avantage de cette forme des expressions différen- tielles des élémens,est de donner leurs variations finies, parle dé- veloppement seul de la fonction que j'ai nommée B. dans le second Livre de la Mécanique Céleste. En réduisant cette fonction, dans une série de cosinus d'angles croissans proportionnellement au temps; on obtient parla différentiation de chaque terme, les termes correspondans des variations des élémens. Je m'étais attaché à rem- plir cette condition, dans le second Livre de la Mécanique Céleste; mais on y satisfait d'une manière encore plus générale et plus simple, au moyen des nouvelles expressions de ces variations. Elles ont de plus l'avantage de mettre en évidence, le beau théorème auquel M. Poisson est parvenu sur l'invariabilité des moyens mouvemens, en ayant égard au carré des masses perturbatrices. Dans le sixième Livre de la Mécanique Céleste, j'ai prouvé au moyen d'expressions analogues, que cette uniformité n'est point altérée parles grandes inégalités de Jupiter et de Saturne; ce qui était d'autant plus impor- tant, que j'ai fait voir dans le même Livre, que ces grandes inéga- lités ont une influence considérable sur les variations séculaires des orbites de ces deux planètes. La substitution des nouvelles expres- sions dont je viens de parler, montre que l'uniformité des moyens mouvemens planétaires n'est troublée par aucune autre inégalité périodique ou séculaire. Ces expressions me conduisent encore à la solution la plus générale et la plus simple des variations sécu- laires des élémens des orbes planétaires. Enfin elles donnent avec une extrême facilité , les deux inégalités du mouvement lunaire en longitude et en latitude , qui dépendent de l'aplatissement de la terre , et que j'ai déterminées dans le second chapitre du septième Livre. Cette confirmation des résultats auxquels je suis parvenu sur cet objet, me paraît intéressante, en ce que leur comparaison avec les observations donne l'ellipticité de la terre , d'une manière au moins aussi précise, que les mesures directes avec lesquelles ils sont aussi SUPPLÉMENT AU IIP VOLUME. S Lien d'accord qu'il est possible de l'espérer , vu les irrégularités de la surface de la terre. Dans la théorie des deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, que j'ai donnée dans le Livre VII, j'ai eu égard aux cin- quièmes puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites. M. Burckhardt avait calculé les termes dépendans de ces puis- sances. Mais j'ai reconnu depuis , que l'inégalité résultante de ces termes , avait été prise avec un signe contraire. Je rectifie donc à la fin de ces recherches, les formules des mouvemens de Jupiter et de Saturne, que j'ai présentées dans le chapitre VIII du dixième Livre. Il en résulte un léger changement dans les moyens mouvemens et les époques de ces deux planètes ; et ce changement satisfait à l'observation qu'Ebn-Junis fit au Caire en l'an 1007, de leur conjonction mutuelle, observation qui ne s'écarte plus des formules, que d'une quantité beaucoup moindre que l'erreur dont elle est susceptible. Les observations anciennes citées par Ptolémée, sont également représentées par mes formules. Cet accord prouve que les moyens mouvemens des deux plus grosses planètes du système solaire, sont maintenant bien connus, et n'ont point éprouvé depuis Hipparque, d'altération sensible : il garantit pour long-temps, l'exactitude des Tables que M. Bouvard a cons- truites d'après ma Théorie, et que le Bureau des Longitudes vient de publier. Dans la même séance où j'ai présenté ces recherches au Bureau des Longitudes, M. Lagrange lui a pareillement communiqué de savantes recherches qui ont rapport à leur objet. Il y parvient par une analyse très-élégante , à exprimer la différence partielle de i?, prise par rapport à chaque élément , par une fonction linéaire des différences infiniment petites de ces élémens , et dans laquelle les coefficiens de ces différences ne sont fonctions que des élémens eux-mêmes. En déterminant au moyen de ces expressions, les différences de chaque élément ; on doit après les réductions con- venables, retrouver les expressions très-simples auxquelles je suis parvenu, et qui tirées de méthodes aussi différentes, seront par là, confirmées. 1 . Je reprends l'expression de ede , donnée dans le n* 67 du second 4 MÉCANIQUE CÉLESTE , Livre du Traité de Me'canique Céleste. En faisant pour simplifier , /x = i , elle devient ede = anclt . \/i — es . ( -j-J — « • (i — e2) . dR. Dans cette équation, t est le temps; ?zf est le moyen mouvement de la planète m; a est le demi-grand axe de son orbite ; e en est l'excentricité ; v est la longitude vraie de la planète ; R est une fonction des coordonnées des deux planètes m et ni, telle qu'en nommant x, y y z; x'y f ', 2', ces coordonnées; on a MÛ ni . ^+yyL±^ù . _hl '■ f étant la distance mutuelle des deux planètes, et par conséquent étant égal à \/(œr — x)* -+- (y'— ~jY-\- (z' — s)2; r est le rayon vec- teur de la planète ni' ', r étant celui de la planète m ; enfin la caracté- ristique différentielle d se rapporte aux seules coordonnées de la planète m. J'observe que l'on a ( j- ), en différentiant par rapport à nt, l'expression de R développée en série d'angles proportionnels au temps t, en la divisant par ndt, et en ajoutant à cette différentielle ainsi divisée, la différence partielle (-r- J, , avoir égard à l'angle nt , qu'introduit dans R, soit le rayon vecteur r de la planète m , soit la partie périodique de l'expression elliptique de v, développée en série de sinus d'angles proportionnels au temps ; or dans ces fonc- tions, l'angle nt est toujours accompagné de l'angle — ts qui n'est introduit dans R que de cette manière; en ajoutant donc à la diffé- rence partielle — 7- , la différence partielle L-p-jj on aura la valeur de ( -r- 1. L'expression précédente de ede> donnera ainsi j a. VA — e2 , / rN J71, a.\/ \ — e2 , / dR\ On a ensuite par le n° 3 du Livre IX de la Mécanique Céleste, 7 j dœ.^i — e cos. u.y de. sin. u. (a — e2 — e.cos.u) d SUPPLÉMENT AU IIP VOLUME. 5 u est ici l'anomalie de l'excentrique, et g est la longitude de l'e'poque. On peut mettre le second membre de l'e'quation précé- dente , sous cette forme : ediT , „ N (ie.sin.it — d'ûr. l/i — ea-) =^=i;.(2C0S.u — e — e.cos*.u) '- ^-.(2 — e* — e.cos.u). 1 - 1 1 — e L'anomalie ** de l'excentrique est donnée en fonction de l'anomalie vraie v — <& , au moyen des e'quations a . f 1 — e3) , ■, /■ = — : — - r-^ — r = a. Ci — ecos.Mj : 1 -j- e cos. (1/ — -, rr {2 cos. (v — -sr) -f- e + e . cos2. (v — -w)) 7 Y^ ' |i -f-e.cos. (v — ^)) /7 -r (2 -f-e . cos. (v — 'sr) ) 3 ■• / \ vv ' {1 -f-e. cos. (v — -nO) Substituant pour ecfar et cfe , leurs valeurs donne'es à la fin de la page 346 du second volume de la Mécanique Céleste; le second membre de cette équation se réduit à 2andt.r( -j- J j et comme on a r . (~f) = « • ("T~ )> "* devient scfndt . ( -y- J ; • l'expression précédente de de — d-zr , donne ainsi cette équation fort simple que M. Poisson a trouvée le premier , di = d<&.{\ — - \/i — e2) •\-2a%A-r- j.ndt. Si l'on rapporte , comme on l'a fait dans le second Livre de la Mécanique Céleste, le mouvement de la planète m, à celui de son G MÉCANIQUE CÉLESTE, orbite primitive, et que l'on fasse, comme dans le même ouvrage, p = tang.

parce que l'angle «i est toujours accompagné de l'angle +ê; en substituant donc au lieu de day de)de)dpetdq leurs valeurs précédentes ; on aura cette équation très-simple , , _ andt. v/i — e* ( dR\ . e ' \de ) ' ce qui donne , andt. \/i— e1 . vi — :N /dR\ . . ( dR\ . En réunissant ces diverses équations, on aura en observant que 3 n = a % £?a = — 2a\dJR; (1) 4=_«S^Ï.(I_VÎ=7) .(f)+^(f).„*; W , andt / dR\ /rs anc undt / dR \ /cs 7ï=?-U)i- (6) SUPPLEMENT AU Ï1P VOLUME. 7 On peut substituer dans ces équations, au lieu de àR, nd(.(-j-j , et parla, réduire les expressions précédentes, à ne renfermer que des différences partielles des élémens ; mais il est aussi simple de con- server la différentielle àR. Dans le mouvement considéré comme elliptique, on doit rigou- reusement substituer fndt, au lieu de nt; or n = a a ; on a donc en nommant ? le moyen mouvement de la planète m3 £ = fndt ==. 5 .ffandt . àR. (7) 2. Ces équations mettent en évidence le résultat auquel M. Poisson est parvenu, sur l'invariabilité des moyens mouvemens planétaires, en ayant même égard au carré de la force perturbatrice. En dési- gnant par la caractéristique £ les variations finies; on aura en ne faisant varier dans R, que ce qui est relatif à la planète m3 et en observant que (g) =^; «=§.{,(^,+M+(f).^+(f).^@.^+©.*+(f)A. En substituant pour S'a, Se, Smr , etc., les intégrales des valeurs précédentes de da, de, d +F=?,O-^(f)-(f)/-'0}- Pour avoir la valeur de à.^SR — Ê^.S(fndt\ i donnée par cette équation ; il faut différentiel- par rapport aux seules quantités relatives à la planète m. Pour avoir la différentielle relative aux élémens de cette planète, il suffit de supprimer les signes/, qui n'ont été introduits que par les intégrales des valeurs différentielles de ces élémens, et alors cette expression devient identiquement nulle ; il suffit donc pour avoir la différentielle d de la fonction S MÉCANIQUE CÉLESTE, $R — '•££•£ '(/liât) , de différentier par rapport à nt , les quanti te's hors du signe /. L'expression de cette fonction est compose'e de termes de la forme M.fNdt — N.fMdt; M et N pouvant se dé- velopper en cosinus de la forme k.cos. (i'n't — int-\-A), i et ï étant des nombres quelconques entiers , positifs ou négatifs. Supposons que le cosinus précédent appartienne à M , et que k' '. cos. (i'n't — int-j-A') soit le terme correspondant de N. Il faut combiner ces deux termes ensemble , pour avoir des quantités non périodiques dans d . (M .fNdt — NfMdt); cette fonction devient alors k . indt. sia. (i'n't — int-\-A ) .fk'dt. cos. (i'n't — int-\-A') — k'. indt. sin. (i'n't — int-^A^.fkdt . cos. (i'n't — int-^-A); fonction qui, en effectuant les intégrations, se réduit à zéro; ce qui est conforme à ce que j'ai démontré dans le n° 12 du sixième Livre , relativement aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. ainsi R = 21 . R" -f- m' . (xx' -\-jf -f- zz') . (-1 — ^). La variation de R relative aux variations de ce qui se rapporte à la planète m', est donc égale à la variation du second membre de cette équation ^ relative aux variations des coordonnées de ni. Désignons par J' les variations qui se rapportent à ces coordonnées. On voit évidemment par l'analyse précédente , que r-i^-^'-f^) se décompose en termes de la forme M.fNdt — N.fMdt. Pour avoir leur différentielle par rapport à la caractéristique d ; il faut ne faire varier que les quantités hors du signe intégral ; parce que les quantités enveloppées par le signe intégral , sont relatives aux élémens de la planète m'. Soit donc A.cos. Çi'nt — int-\-A) , un terme de M , et h' . cos. ( i'n't — int -f- A'') le terme correspondant de N ; il faut combiner ces tei'mes ensemble , pour avoir des quan- tités non périodiques dans à.(M.fNdt — N.fMdt); et alors il est facile de voir que cette fonction différentielle n'en renferme point. On s'assurera facilement que dJ—j-j-. £' .fn'dt\ n'en contient aucune, par le même l'aisonnement qui nous a fait voir que d. (—1-. £fndt\ ne renferme que des quantités périodiques; ainsi à.S'R', ne con- tient que des quantités semblables. Il nous reste à considérer la variation de m' (xx' -f- yf -f- zz' ) .fjTT — jjV Nommons P cette fonction. On a par le n° 46 du se- cond Livre , m'x m' ddx mm' x m' ( 'dR\ 'J M' dr ~ M "r3 M'\dxJ y SUPPL. AU IIIe VOLUME. B io MÉCANIQUE CÉLESTE, M étant la masse du soleil. Orï a pareillement m'x' m' ddx' 1 ' r'i M'\dx')' r* M ' dt* M Les coordonnées y, z,y', z' fournissent des équations semblables, et il est facile d'en conclure -p m d (x'dx — xdx' -\-y'dy — ydy' -f- z'dz — zdz') p. Q étant une fonction en x, y, z, x',y', z' , de l'ordre du carré des masses m et m'. Il est clair que la variation rri\ d . Y ( xdx — xdx' +y'dy —ydy' + z'dz — zdz' ) M' ~W " ' étant une différence exacte; on aura fdJ'P , en y changeant la caractéristique d en d; et alors il est visible qu'elle ne renferme dans l'ordre m, que des quantités périodiques. Le terme Q donnera dans fàP celui-ci fàQ. En n'ayant égard qu'aux quantités de l'ordre ut dans dQ , il suffit de substituer dans Q, au lieu dés coordonnées , leurs valeurs elliptiques , et alors fdQ ne contient que des quantités périodiques. Ainsi fd.SJP ne renferme que de semblables quantités. Il suit de là que fd.£R ne contient dans, l'ordre m, que des quantités périodiques, en faisant varier dans R, les coordonnées des deux planètes m et m'. S'il y a une troisième planète m" ; elle ajoute à R la fonction m". (,rx"+yy"+zz.") nS p' étant la distance de m' à m. La partie de R , relative à l'action de m' sur m , reçoit alors une variation dépendante de l'action de m' sur m'. Cette partie de R est m' . ( xx' + yy' + za' ) m' la variation des coordonnées x, y' } z' par l'action de m*, y produit des termes multipliés par m'ni , et qui sont fonctions des coor- données elliptiques x, y , z, et des angles n't et n"t. Mais ces angles devant disparaître dans la partie non périodique de dR} et ne pouvant être détruits par l'angle nt} qu'introduisent les valeurs de x3y , z; SUPPLÉMENT AU IIP VOLUME. it il faut n'avoir égard, dans le développement de la variation de Rt qu'aux termes indépendans de n't et de n't. Ces termes seront de la forme m'inX, X étant fonction des coordonnées de la planète m ; ils introduisent dans fàR , des termes de la forme ?rim"fàX , ou m'm"X , qui ne peuvent donner que des quantités non pério-* diques de l'ordre mm' , quantités que nous avons négligées dans/di?. Pareillement, la variation des coordonnées x,J, s, par l'action de m" , ne peut introduire dans la partie précédente de R, que les angles nt et lit; il ne faut donc considérer dans cette partie, que les termes indépendans de n't , et par conséquent de la forme m'm"X3 X étant fonction des seules coordonnées x,j, z ; ce qui, comme on vient de le voir , ne peut produire que des quantités négligibles. Ainsi , en n'ayant égard qu'aux quantités non péi'iodiques de l'ordre m , dans fàR , on peut supposer que m" est nul , lorsque l'on considère la partie dé R relative à l'action de mr sur m; et l'on peut supposer m' nul, lorsque l'on considère la partie de R, relative à l'action de m" sur m : on vient de voir que dans ces deux cas , la variation sé- culaire àefdR est nulle. Cette variation est donc généralement nulle, lorsque l'on considère les actions réciproques de trois, ou d'un nombre quelconque de planètes, si l'on n'a égard qu'aux carrés et aux produits des masses perturbatrices , dans la valeur de dR. Reprenons maintenant l'équation (7) du n° 1 , £ = 3.ffandt.àR. Sa. variation est eT£= Zan.ffdt.d.£R-\- Za\ff(ndt.dR.fdR). On vient de voir que àdR est nid , lorsque l'on n'a égard qu'aux quantités séculaires de l'ordre du carré des masses planétaires ; on a vu pareillement que dR/dR est nul, eu égard à ces quantités. En ne considérant donc que les quantités séculaires qui par la double intégration , acquièrent un dénominateur de l'ordre du carré des masses planétaires ; on voit que la variation cT£ est nulle. Ainsi l'on peut assurer que cette variation , en ayant égard soit aux quan- tités séculaires , soit aux quantités périodiques, ne peut être que de l'ordre des niasses perturbatrices ; résultat important auquel M. Poisson est pai-venu le premier. 3. Considérons deux planètes m et m' , en mouvement autour du i3 MÉCANIQUE CÉLESTE, soleil dont nous prendrons la masse pour unité'. Nommons u la distance angulaire de la planète m à la ligne d'intersection des deux orbites, u la distance angulaire de la planète m' à la même droite ; nommons encore y l'inclinaison mutuelle des oirbites. En prenant pour plan des coordonnées , l'orbite de m , et la ligne des nœuds dès orbites, pour origine des x; on aura x = r .cos. v; y=r.sin.v; z==o; x'= r.cos.v; j'^zj-'.sia. v'cos.y; s' = r'.siu. y. sin. u' ; ce qui donne en faisant i — cos. y — 2 . sin*. \ y _= £ j R__m'.(xx'-i-yy'-\-zz') m' » i/lcc'—xy+ay—yr+iz'-zy ni . r r , . . . , -, m? = — 77— .{cos. [y, — v) — G.sin.v.sint/ \ r" y r*-\-r'% — arr . cos.(t/ — u)+aS.n/.sin.v.si sin.u R ■ sous cette forme , devient indépendant du plan auquel on a rapporté les coordonnées. En le développant en sinus et cosinus d'angles croissans proportionnellement au temps t, par la substi- tution des valeurs elliptiques de /•, /•', v , t/; il devient fonction des distancés moyennes nt -f- e. , rît -f- s' , des planètes à la ligne des noeuds; des distances des périhélies à la même ligne; des demi- grands axes a et a ; des excentricités e et é ; et de £ ou de l'in- clinaison mutuelle des orbites, ë étaut très-petit et de l'ordre du carré de cette inclinaison. Sous cette forme R ne renferme point explicitement , les variables p et cj ; mais on peut les y faire naître de la manière suivante. Si au lieu de rapporter les mouvemens des planètes à leurs or- bites, on les rapporte au plan fixe de l'orbite pi'imitive de m • alors z ne sera point nul , et il sera égal h. rs , s étant le sinus de la latitude de m , au-dessus de ce plan. En négligeant le carré des forces per- turbatrices , on pourra négliger le carré de s ; on aura ainsi au lieu de R , la fonction suivante que nous désignerons par R, — y^- . {cos. (v — v) — & . sin. v . sin. tZ-f-s . sin. y . sin. t/} ' m' =^— "" ' ' ' ' ■ ■ ' — . u .,._■■■■..__■■■ 1 . . 1 — ■_ yV-f- r'* — ffî? . cos. (t/— 1O + 2C • rr' . sin.v . sin. u' — 2/t' .s . sin. v. sin. u' SUPPLÉMENT AU IIIe VOLUME. i3 Retranchons de v et de v , tant dans R que dans R , la longitude 6' du nœud de l'orbite de m avec wz , cette longitude étant comptée sur l'orbite de m ; ce qui revient à changer les origines des v et de u ; et supposons s = q . siu. (w — 9') — /? . cos. (u — G') ; on aura m'r iî==2Lf.{(i-.ig).cos.(«' — u) + |.e.cos.(«'+u — 25')} ^ |/r»-f-V»J_2rK{(i — i£).cos.(y— y) + ie.cos.(u'+w~2b')) ' -B__mV f(i— ie+ig.sin.7).cos.(y'— u) + (K— iÇsin->)-cos.(u'+y— 2Ô')l """r^'l — ip.sin.3/.sin.(i/ — v) — ^p.sia.y.sïn.(y'-j-v — 26') j m' I / ^ ,,/,_„ ~t (C1 — \Ç+iq.sm-y)-cos.(?'— v}+QÇ-±q.sm.y)cos.(v'+v-2V)\ K l — |p.sin.3/.sin.(t/' — w) — £p.sin.3,.sin.(i/-{- w — 26') J Maintenant, il est visible que l'on changera R dans R, si l'on fait varier dans R} £ de Je, 0 de «Tu, et 6' de Jê'} de manière que l'on ait é"C = — y.sin.j/; (1 — f €). «Tu =cos\ ly.Jv — — |^.sin.>; £.efô' — -j£. Ju = — §/?.sin. y. On aura ainsi 5=*-,..*.,.$ )-,,a„g.i, . $)_£ . (§) ) on a par le n° 1 , l^-\ = — ^ -f- f ^-J ; cela pose, les équations (5)- et (6) donneront les deux suivantes : j andt . fdR\ ,„. En re'unissant ces équations, aux équations (1), (2), (5), (4), (7) du n° 1 , on aura par la seule différentiation des termes du dé- veloppement de R} les termes correspondans de chacun des çlé- i4 MÉCANIQUE CÉLESTE, mens du mouvement de m ; ce qui facilite extrêmement le calcul de ces différens termes. Soit m'k . cos. (Frit — int -f- i'ë' — ie — gs"'- ('"'-»»' + "-«-gg-g* -agy,); le terme correspondant de />, sera ■t/ . ./, ■ : ( -Te" ) • sm- ( J " * - OTi + f Ê - Iê -g<*— gV ~ 2g 6 ) s enfin le terme correspondant de q, sera = • (g"+0'"+g) • sin*- ï>} • cos • ij-'nt— int+i','— k— gv— gV— AgV)' (t'n' — jn).sin.j/. \/i — ea Ces résultats sont conformes à ceux que l'on a trouvés dans le cha- pitre VIII du second Livre de la Mécanique Céleste ; mais ils ont sur eux, l'avantage de s'étendre à toutes les puissances des excen- tricités et des inclinaisons. SUPPLÉMENT AU IIP VOLUME. i5 On aura les variations séculaires des élémens de l'orbite de m, en réduisant R à sa partie non périodique , que nous désignerons par m F. Alors àR est nul, ainsi que da, et l'on a c l/i— a* , ,, A^\ . de= -*—e ™ndt\dZ)> , am,ndt.V'i—é> /dF\ = - ^^.-^.(x- vî=?) • (f )+ £: (£5 • m'ndt -' e i'ndt_ /dF V/i— ^ ' \rf<7 , am'ndt fdF\ _ am'ndt /dF\ ou On peut observer ici que i? étant égal à (,TJ/ + vy + zz' ) lW..# il est aux quantités près de l'ordre m'1, égal à , x. ddx -\-y.ddy -\- z. ddz') m' sa partie non périodique ne dépend donc que de la partie non pé* riodique de ; F est donc égal à la partie non périodique de , développé en série de cosinus d'angles croissans propor- tionnellement au temps t; ensorte qu'il est le même pour les deux planètes. En faisant varier dans Fy les élémens de l'orbite de m , et substituant pour S~e , £a,£py £q , lem-s valeurs données par les intégrales des équations différentielles précédentes, on voit que . , mf. sm.y sin.

my a-\-m. y a équation à laquelle je suis parvenu dans le n° i5 du sixième Livre , en n'ayant égard qu'aux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. Il en résulte que le plan invariable déterminé dans le n° 62 du second Livre , reste invariable , en ayant même égard au carré de la force perturbatrice. 4- On peut, au moyen des expressions différentielles des élémens, ao MÉCANIQUE CÉLESTE, déterminer d'une manière fort simple , l'influence de la figure de la terre , sur les mouvemens de la lune. On a vu dans le second chapitre du septième Livre, que cette action ajoute à la valeur de R, la fonction ap est l'aplatissement de la terre ; u

aQ4- (ap — lat? ) •— • sm- *• cos- * -y • cos- (§'y ~"fi) ' 2C (~\=4a . i*Q — 6 . (*i>—i*)• — .sin. A. cos. A.^.cos. (gu — fu) ; d'où l'on tire 2 + y . sin. (g —f)u . cos.fu ; en la comparant à celle-ci : s = q . Ûvl.Ju — p .cos.fu | as MÉCANIQUE CÉLESTE, on aura > = — y. sin. (g —f).u; q = y.cos.(g — /).y, ce qui donne dp = — (g—f).qdu; dcl — (g—f)-Pd»- La valeur de i? l'enfermant le terme (ap — ia* . . — — =-?— . — - . sm. A . cos. A : S—f a d'où résulte dans la latitude s , l'inégalité — — V— . -r • sm. A. cos.A.>.sm./u, ce qui est conforme au résultat du chapitre II du septième Livre. Le terme constant de q donne, dans la fonction p p -, le terme Z)2 \ . (ctp — i ct

.C*P-jygJ . £\ sin. À . cos. A . 3/ . sin. (gu—fu); résultat entièrement conforme à celui du second chapitre du septième Livre. Enfin, la fonction R étant indéterminée; les expressions diffé- rentielles précédentes des élémens des orbites, peuvent également servir à déterminer les variations qu'ils reçoivent , soit par la résis- tance de milieux étliérés, soit par l'impulsion de la lumière solaire, soit par les changemens que la suite des temps peut apporter dans les masses du soleil et des planètes. Il suffit pour cela, de déterminer la fonction i? qui en résulte , par les considérations exposées dans le chapitre Vil du dixième Livre. Sur les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne. 5. Dans la théorie de ces inégalités , exposée dans le sixième Livre, j'ai eu égard aux cinquièmes puissances des excentricités et des in- clinaisons des orbites. Mais j'ai reconnu que les valeurs de -iV00 JV-0, etc. du n° 7 du sixième Livre, avaient été prises avec un sio-ne contraire , et qu'ainsi la partie de ces inégalités , dépendante de ces valeurs , doit changer de signe. Il faut donc ajouter aux ex- pressions des longitudes moyennes , que j'ai données dans le huitième chapitre du dixième Livre , le double de cette partie prise avec une signe contraire. Cette partie pour Jupiter est par le n° 53 du sixième Livre, (5^692571 ■— *.o>o54i8). sin. (5nyt — 2n"t-i-5&1—2^\ — (25",o6470 1 -j- 1. o",o 1 5076) . cos.(5nvt — sn1Jt -J- 5é7— 2e") ; et pour Saturne , elle est par le 11° 55 du même Livre , ■— (89ff>95244° — ^oV 12596). sin. (5n"t — 2n"t-t-5zy 2£1V) + (58ff,27o553 -f- 1. o",o55o48) . cos.(5«v* — sn"i -j- 5êv — as"). L'addition aux longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne, du 24 MÉCANIQUE CÉLESTE, SUPPLÉM. AU IIP VOLUME. double de ces inégalités prises avec un signe contraire, ne doit chan- ger que les moyens mouvemens et les époques de ces deux planètes : elle ne peut altérer que d'une manière insensible , les autres élémens elliptiques conclus des observations faites depuis l'jSo jusqu'en 1800; parce que dans cet intervalle , les variations de ces inégalités sont à fort peu près proportionnelles aux temps : on peut donc déter- miner les corrections des moyens mouvemens, de manière qu'elles rendent le double de ces inégalités affectées d'un signe contraire, nul en iy5o où t est nul, et en 1800 où t = 5o. On trouve ainsi en ayant égard à la correction de la masse de Saturne, trouvée dans le chapitre VIII du Livre X, qu'il faut ajouter à la longitude moyenne <7'v de Jupiter, donnée dans le même chapitre , la fonction 5i",98-M-o",4i56 — (73",58 — i.o',oio5o).sin. (5n'< — 27i'V-r-5ev — 2€") ■+- (47%65 -f- 1 . 0V2870) . cos.(5»V— a»' H + 5è» — 2S,T) ; et à la longitude moyenne qw de Saturne , donnée dans le même chapitre, la fonction I27",l3 ?.l",02I2 + (1 79ff,952 — t . o",025.i 92) . sin. (5h?t — 211" t + 5et — 21") — (n6",54i+Z.o",o7oi96).cos.(5/zTf — 2»,T*-f-5eT — ae"). Ces corrections ont l'avantage de rapprocher les formules des mou- vemens de Jupiter et de Saturne , données dans le chapitre cité , d'une observation très-précieuse d'Ebn-Junis , et qui réduite au mé- ridien de Paris, eut lieu le 3i octobre 1807, à o',i6. Les formules citées donnent 225 1" pour l'excès de la longitude géocen trique de Saturne sur celle de Jupiter à cet instant , et l'astronome arabe la trouva par son observation, de 4444" 5 la différence est 2195"; mais les corrections précédentes augmentent de 1198% l'excès de la lon- gitude de Jupiter sur celle de Saturne , et rapprochent conséquem- ment de cette quantité , les formules , de l'observation qui n'en diffère plus que de 995% ou d'environ cinq minutes sexagésimales ; ce qui est bien inférieur à l'erreur dont cette observation est sus- ceptible. FIN. Wm FW jj\ ^^^ÊS^ ' v^*